Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 28

s

1

(p

1

= f (ρ

1

, s

1

)) и q

2

m

= q

2

1

+ 2i(ρ

1

, s

1

). На изогнутом участке стенки

условие непротекания v · n = 0 (n — нормаль к стенке) можно преоб-
разовать к виду:

θ





y=−h(x)

= arctg h

′

(x)

Область влияния прямолинейного участка стенки ограничивается пря-
молинейной характеристикой C

+

: y = x tg α

1

(рис. 5.1). Теорема един-

ственности решения задачи Коши и смешанной задачи с условием непро-
текания позволяет утверждать, что в указанной области решение по-
стоянно. По характеристике C

+

происходит примыкание простой l−волны

к постоянному решению. В области определения простой волны выпол-
нены соотношения

θ + µ(q) = µ(q

1

),

y = x tg(θ + α) + f (θ).

На первом шаге построения решения определяется вид функции f .
Значения θ на кривой Γ ( y = −h(x) ) известны: θ = θ(x). Первое
соотношение (5.6б) позволяет найти q |

Γ

= q(x) . Из второго соотноше-

ния после подстановки y |

Γ

, θ |

Γ

, d(q) |

Γ

определяется вид функции

f . После того как f определена, функции θ(x, y), q(x, y) в области
простой волны находятся из уравнений (5.6б). Значения θ, q на ха-
рактеристике C

+

, выходящей из точки A, принадлежащей Γ, опреде-

ляются следующим образом. Из точки A проводится характеристика
C

+

A

: y −y

A

= (x −x

A

) tg(θ(x

A

) + α(x

A

)). Вдоль характеристики полага-

ем θ(x, y)







C

+

A

= θ(x

A

), q(x, y)







C

+

A

= q(x

A

). Определив θ, q на каждой

характеристике, мы будем знать θ(x, y), q(x, y) в окрестности жесткой
стенки. Вообще говоря, при продолжении решения в более широкую
окрестность характеристики могут пересечься (возникает градиентная
катастрофа) и решение задачи обтекания может стать разрывным.

Простая r-волна, центрированная в фиксированной точке x = x

0

,

y = y

0

, определяется соотношениями

r = θ − µ(q) = r

0

(= const), tg(θ − α) =

y − y

0

x − x

0

Простая центрированная l-волна определяется соотношениями

l = θ + µ(q) = l

0

(= const), tg(θ + α) =

y − y

0

x − x

0

Рассмотрим установившееся течение, описываемое центрированной

простой волной.

112

p

p

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Пример 5.2. Пусть в условиях примера (5.1) h(x) = x tg θ

0

. По-

строить решение задачи сверхзвукового обтекания стенки с изломом.

Решение. Так же как в предыдущем примере, решение постоянно

в области левее характеристики C

+

: y = x tg α

1

(рис. 5.2). По этой ха-

рактеристике происходит примыкание постоянного решения к простой
l-волне. Так как заданные значения θ |

Γ

кусочно-постоянны, задача ин-

вариантна относительно преобразования растяжения независимых пе-
ременных x → ax, y → ay (a — параметр растяжения). Решение задачи
будет автомодельным, соответственно, простая волна будет центриро-
вана в точке x = 0, y = 0. В области центрированной волны

θ + µ(q) = µ(q

1

), tg(θ + α) =

y
x

Из этих двух уравнений определяются функции θ(

y
x

), q(

y
x

). Область

простой волны замыкается звуковой характеристикой C

+

, на которой

достигается значение θ = −θ

0

. Значение q

0

на этой характеристике

определяется из первого соотношения (5.6б). При этом замыкающая
характеристика задается уравнением y = x tg(−θ

0

+α(q

0

)). Правее этой

характеристики течение постоянно θ = −θ

0

, q = q

0

, соответственно

плотность ρ

0

можно найти из интеграла Бернулли:

q

2

0

+ 2i(ρ

0

, s

1

) = q

2

1

+ 2i(ρ

1

, s

1

) = q

2

m

,

а давление — с помощью уравнения состояния: p

0

= f (ρ

0

, s

1

). Устано-

вившееся сверхзвуковое течение газа при обтекании угла большего π
называется течением Прандтля — Мейера.

Следует отметить, что при некотором значении θ

0

= θ

0max

модуль

скорости достигает значения q

0

= q

m

, а плотность — значения ρ

0

= 0.

113

Это означает, что при θ

0

> θ

0max

происходит отрыв потока от стенки;

на замыкающей характеристике простой волны θ = −θ

0max

, ρ = 0, а

в области между замыкающей характеристикой и стенкой появляется
зона вакуума, где p = 0.

Переходы, описываемые решениями из класса простых волн, удобно

изображать на плоскости переменных θ, p специальными кривыми —
(θ, p) — диаграммами простых волн:

r − волна:

θ − c

µ

1

(p) = θ

1

− c

µ

1

(p

1

);

l − волна:

θ +

c

µ

1

(p) = θ

1

+

c

µ

1

(p

1

).

Здесь индекс “1” соответствует течению перед простой волной. Функ-
ция

c

µ

1

(p) задается так: интеграл Бернулли (5.2), в котором q

2

m

= q

2

1

+

2i(ρ

1

, s

1

), уравнение состояния p = f (ρ, s

1

) определяют зависимость

q = q

1

(p) и величину c

∗

; тогда, по определению,

c

µ

1

(p) = µ(q

1

(p)). Легко

заметить, что

c

µ

1

′

(p) < 0. Будем называть l–волну обращенной вправо,

r−волну обращенной влево (для наблюдателя, находящегося в точке
0 (см. рис. 5.2), обращенного лицом в сторону, противоположную на-
правлению вектора скорости, фронт, ограничивающий область простой
волны, отходит вправо от точки 0, так как θ + α > θ).

5.3

Косые скачки уплотнения

В стационарном течении нормальная скорость ударного фронта D

n

=

0. Вектор скорости при переходе через фронт в общем случае изменя-
ет свое направление, так как проекция этого вектора на касательное
к фронту направление сохраняется, а нормальная составляющая из-
меняется. Стационарные ударные волны называются косыми скачками
уплотнения.

Если поток перед скачком уплотнения известен: v = v

1

= (u

1

, v

1

),

p = p

1

, ρ = ρ

1

, то параметры течения за скачком v

2

, p

2

, ρ

2

и вектор

нормали к фронту n = (cos(δ), sin(δ)), направленный в сторону состоя-
ния перед скачком, связаны четырьмя соотношениями на разрыве:

ρ

1

v

1n

= ρ

2

v

2n

, ρ

1

v

2

1n

+ p

1

= ρ

2

v

2

2n

+ p

2

, v

1l

= v

2l

,

ε(τ

1

, p

1

) + p

1

τ

1

+

v

2

1n

2

= ε(τ

2

, p

2

) + p

2

τ

2

+

v

2

2n

2

.

(5.7)

Здесь v

il

= v

i

· l, l · n = 0. Для течения перед скачком уплотнения

должно выполняться неравенство |v

1

| > c

1

, так как в силу теоремы

Цемплена |v

1

· n| > c

1

. Для определения всех параметров течения за

114

A

Рис. 5.3

скачком уплотнения необходимо дополнительное задание одной из ве-
личин за фронтом или величины δ.

Исключив p

2

, τ

2

, δ из (5.7), получим уравнение ударной поляры:

v

2

(q

1

− u)

2

=

Γ

1

(M

2

1

(q

1

− u)/q

1

)

(q

1

− u)/q

1

− 1.

(5.8)

Здесь u, v — компоненты вектора скорости за скачком в декартовой
системе координат с осью абсцисс, направленной по вектору v

1

; функ-

ция Γ

1

определяется представлением уравнения адиабаты Гюгонио в

виде

1 −

τ

τ

1

= Γ

 p − p

1

ρ

1

c

2

1



.

(5.9)

Индекс “1” означает, что Γ

1

зависит в общем случае от p

1

, τ

1

. Для

политропного газа Γ

1

= Γ (Γ не зависит от p

1

, τ

1

), где

Γ(z) =

2z

2 + (γ + 1)z

.

(5.10)

График ударной поляры для политропного газа изображен на рис.

5.3. Если соединить начало координат с произвольной точкой D на
ударной поляре, то вектор

−−→

OD определяет скорость за косым скачком

уплотнения. Точка A соответствует скачку уплотнения нулевой интен-
сивности, точка B — прямому скачку, в котором вектор скорости не
изменяет направления при переходе через разрыв (такой ударный пе-
реход возникает в случае, когда вектор скорости набегающего потока,
перпендикулярен к фронту). Для модели нормального газа ударная по-
ляра, симметричная относительно оси Ou, замкнутая кривая. В точке
u = u

0

, где (q

1

− u

0

)/q

1

= Γ

1

(M

2

1

(q

1

− u

0

)/q

1

), она имеет вертикальную

касательную, в точке u = q

1

: dv/du = ± ctg α

1

.

115