Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 31

5.5

Задачи

5.1. Пусть функции u = u(x, y), v = v(x, y), ρ = ρ(x, y), s = s(x, y)

удовлетворяют системе уравнений, описывающей плоскопараллельные
установившиеся течения политропного газа, уравнение состояния ко-
торого имеет вид p = A(s)ρ

γ

. Показать, что формулами

e

u = (A(s))

−1/(2γ)

u,

ev = (A(s))

−1/(2γ)

v,

e

ρ = (A(s))

1/γ

ρ

определено решение системы уравнений изэнтропических плоскопарал-
лельных установившихся течений газа с уравнением состояния

e

p =

e

ρ

γ

.

5.2. Показать, что соотношениями

u = cos α f (y cos α − x sin α), v = sin α f(y cos α − x sin α),

ρ = g(y cos α − x sin α),

p = p

0

(f, g — произвольные функции, g > 0; α, p

0

— произвольные постоян-

ные, p

0

> 0) задано частное решение системы уравнений установивше-

гося плоскопараллельного движения газа.

5.3. Установившееся движение политропного газа определено фор-

мулами

u =

√

2c

0

l

2

l

2

+ (y − x)

2

, v =

√

2c

0

l

2

l

2

+ (y − x)

2

, ρ = ρ

0

l

2

+ (y − x)

2

l

2

, p = p

0

(p

0

, ρ

0

, l — положительные постоянные, c

0

=

p

γp

0

/ρ

0

). Указать об-

ласть в плоскости (x, y), где движение является сверхзвуковым, и найти
минимальное и максимальное значения плотности в этой области.

Ответ: |y − x| < l/

√

3, ρ

min

= ρ

0

, ρ

max

= 4ρ

0

.

5.4. Установившееся течение политропного газа определено форму-

лами

u = c

0

y + 2l

y + l

, v = 0, ρ = ρ

0

y + l

y + 2l

, p = p

0

в полуплоскости y ≥ l (l, p

0

, ρ

0

— положительные постоянные, c

0

=

p

γp

0

/ρ

0

). Показать, что это течение сверхзвуковое, и найти уравнения

характеристических кривых C

+

, C

−

, исходящих из точки x = 0, y = l.

Ответ:

C

+

:

y = l



(x/(2l) +

√

2)

2

− 1



,

x ≥ 0;

C

−

:

y = l



(x/(2l) −

√

2)

2

− 1



,

x ≤ 0.

5.5. Для каждой линии тока определим p

0

, ρ

0

как давление и плот-

ность в точке торможения (в точке, где q = 0). Для установившегося

124

движения политропного газа найти p/p

0

как функцию числа M (p, M

— давление и число Маха в произвольной точке линии тока).

Ответ:

p

p

0

=



1 +

γ − 1

2

M

2



−γ/(γ−1)

.

5.6. В установившемся течении политропного газа приведенная ско-

рость λ = q/c

∗

вдоль линии тока является функцией числа Маха M .

Найти эту функцию.

Ответ: λ

2

=

γ + 1

2

M

2



1 +

γ − 1

2

M

2



−1

.

5.7. Показать, что соотношения на звуковых характеристиках уста-

новившегося плоскопараллельного сверхзвукового течения можно пре-
образовать к виду

C

±

: θ

x

+ tg(θ ± α)θ

y

∓ ctg α(ρq

2

)

−1

p

x

+ tg(θ ± α)p

y

= 0.

5.8. Показать, что в области безвихревого движения линии тока ψ =

const и линии равного потенциала ϕ = const образуют ортогональную
сетку на плоскости (x, y).

5.9. Затупленное тело обтекается установившимся дозвуковым воз-

душным потоком (уравнение состояния политропное, γ = 1, 4), равно-
мерным на бесконечности (при x

2

+ y

2

→ ∞). Определить диапазон

скоростей потока, в границах которого определение плотности в точ-
ке торможения с помощью модели несжимаемой жидкости приводит к
ошибке не более чем в 2%. Скорость звука в воздушном потоке счита-
ется равной 1200 км/ч.

Ответ: 0 ≤ q ≤ 239, 25км/ч.

5.10. Показать, что функцию µ(q) для газа с политропным уравне-

нием состояния можно представить в виде

µ(q) = α −

π

2

+

r

γ + 1
γ − 1

arctg

r

γ − 1
γ + 1

ctg α



.

Найти явные выражения для функций α(x, y), θ(x, y) в l-волне Прандт-
ля — Мейера (l ≡ l

0

).

Ответ:

α = arcctg

"r

γ + 1
γ − 1

tg

r

γ − 1
γ + 1

l

0

− β +

π

2

#

;

θ = β − α



β = arctg

y
x



.

5.11. Проинтегрировать уравнения линий тока в простой центри-

рованной l-волне (газ политропный).

125

Рис. 5.10

Рис. 5.11

Ответ: r = r

0

n

cos

hr γ − 1

γ + 1

(l

0

+

π

2

− β)

io

−

γ

+1

γ−1

. Здесь r

0

— произ-

вольная постоянная, r, β — полярные координаты в плоскости (x, y).

5.12. При каких значениях показателя политропы γ возможна кар-

тина обтекания, изображенная на рис. 5.10?

Ответ: 1 < γ < 5/4.
5.13. Равномерный сверхзвуковой поток газа (q = q

1

, p = p

1

, ρ = ρ

1

)

движущийся вдоль прямолинейной стенки y = 0 (x < 0), обтекает ее
криволинейный участок, форма которого задана уравнением y = −x

2

(x > 0). Найти точку на стенке, где происходит отрыв потока.

Ответ: координаты точки: x = x

0

=

1
2

tg(µ(q

m

) − µ(q

1

)); y = −x

2

0

.

5.14. Вывести уравнение (θ, p)-диаграммы установившихся плоско-

параллельных простых волн для модели политропного газа:

θ − θ

1

= ±

r

γ + 1
γ − 1

arctg



γ − 1
γ + 1

M

2

1

+

2

γ + 1



P

(1−γ)/γ

− 1



1/2

−

− arctg

 γ − 1

γ + 1

(M

2

1

− 1)



1/2



∓

∓

arctg



M

2

1

+

2

γ − 1



P

(1−γ)/γ

−

γ + 1
γ − 1



1/2

− arctg(M

2

1

− 1)

1/2



.

Здесь P = p/p

1

; величины с индексом “1” соответствуют течению перед

простой волной.

5.15. Известно, что установившееся течение политропного газа в

канале, изображенном рис. 5.11, описывается кусочно-постоянными ре-
шениями и простыми волнами Прандтля — Мейера. На входе и выхо-
де из канала потоки равномерные и сверхзвуковые. Найти уравнения

126

кривых, соответствующие верхней и нижней стенкам канала, если из-
вестны ширина входного сечения l, угол δ, расстояние h и параметры
потока на входе q = q

1

, p = p

1

, c = c

1

.

5.16. Показать, что уравнение (θ, p)-диаграммы косых скачков уплот-

нения для газа с политропным уравнением состояния можно предста-
вить в виде

θ − θ

1

= ± arcsin

P − 1

γM

1



2γM

2

1

− γ + 1 − (γ + 1)P

(γ − 1)M

2

1

+ 2 + (γ + 1)P M

2

1

− 2P

2



1/2

.

Здесь P = p/p

1

; p

1

, M

1

, θ

1

— давление, число Маха и угол наклона

вектора скорости к оси Ox перед скачком уплотнения.

5.17. Установившийся воздушный сверхзвуковой поток с постоян-

ным давлением p = p

1

, плотностью ρ = ρ

1

(y), числом Маха M

1

= 5

√

3/2

набегает на фронт косого скачка уплотнения. Определить угол пово-
рота вектора скорости в косом скачке уплотнения, если известно, что
перед скачком v

1

= 0, а за скачком уплотнения p

2

= 11, 5 p

1

(угол по-

ворота вектора скорости считать положительным).

Ответ: θ = arcsin(

√

7/5).

5.18. В условиях предыдущей задачи найти вектор скорости, плот-

ность газа за скачком уплотнения и определить форму ударного фрон-
та, если известно, что точка x = 0, y = 0 принадлежит фронту.

Ответ:

v

2

=

s

21
40

p

1

ρ

1

(y)

3

√

2,

√

7

,

ρ = 4ρ

1

(y);

y = 2

p

2/7 x.

5.19. Используя результаты задач 5.17, 5.18, определить течение в

области за скачком уплотнения.

Указание: Использовать решения, введенные в условии задачи 5.2.
Ответ:

v

=

s

105

8

p

1

ρ

1

2

√

2(

3

√

2

5

y −

√

7

5

x)



3

√

2

5

,

√

7

5



,

ρ = 4ρ

1



2

√

2

3√2

5

y −

√

7

5

x



,

p = 11, 5 p

1

.

5.20. Пусть χ — угол наклона косого скачка уплотнения, θ — угол

поворота вектора скорости в косом скачке (углы отсчитываются от

127