Биофизические основы физиотерапии - часть 16

центр терморегуляции от рецепторов (датчиков). При откло-

нении реальной температуры от значения эталонной устано-

вочной температуры (set point) образуется сигнал ошибки, по-

ступающий в терморегуляторный центр. В зависимости от

знака сигнала ошибки запускаются биохимические реакции

термогенеза (при более низкой температуре относительно

эталонной) либо физиологические реакции термолизиса (при

значениях реальной температуры, которые превышают значе-

ния уставки). В результате отклонения температуры, обуслов-

ленные влиянием внешней среды, нивелируются отрицатель-

ной обратной связью и, таким образом, поддерживаются изо-

термические условия внутренней среды. На приведенном

либо аналогичных примерах, как правило, ограничивается

изложение механизмов отрицательной обратной связи в выс-

шей медицинской школе.

Основная особенность отрицательной обратной связи —

поддержание управляемой переменной на постоянном уров-

не, равном эталонному сигналу, но регуляция не всегда обес-

печивает монотонное стремление управляемой переменной к

эталонному сигналу. Напротив, управляемая переменная мо-

жет с различной скоростью стремиться к эталону, в том числе

и по механизму затухающих колебаний. При перерегулирова-

нии возможны даже незатухающие (расходящиеся) колебания,

т.е. возникает фактическая неустойчивость системы управле-

ния. Примером обратимого физиологического перерегулиро-

вания в организме является гектическая температура при не-

которых инфекционных болезнях.

Для качественного объяснения различных типов поведе-

ния системы управления необходимо рассмотреть понятие

усиления обратной связи, которое является отношением вели-

чины сигнала управления и разности между эталонным сиг-

налом и текущим значением управляемой переменной (т. е.

ошибкой): Х

управления

 = К*Х

ошибки

. Усиление обратной связи,

если находится в «разумных» пределах, может существенно

улучшить качество обратной связи. Слишком большое значе-

ние коэффициента усиления обратной связи может привести

к-обратному эффекту — феномену перерегулирования и поте-

ре устойчивости системы.

2.6.2. Динамические модели саморегулирующихся систем

В ряде случаев процессы управления в системе организованы

так, что ее параметры поддерживаются постоянными вследст-

вие внутренних свойств саморегулирующейся системы.

Рассмотрим простейшую математическую форму регуляции

метаболической активности организма. Допустим, каждое по-

следующее состояние метаболической активности х

n+1

 зависит

124

Рис. 2.34. Динамика активности метаболизма при параметре обрат-

ной связи λ = 1.

от предыдущего х

n

 как х

n+1

 = λ*х

n

*(1 — х

n

). При малой интен-

сивности метаболизма последний сомножитель близок к еди-

нице (условно максимум метаболической активности) и по-

следующее значение метаболической активности прямо про-

порционально предыдущему, т.е. функция х

n+1

 — возрастаю-

щая. Наоборот, при высоких значениях х

n

 близко к единице и

динамика метаболизма определяется последним сомножите-

лем, который достаточно мал. в итоге функция х

n+1

 — убываю-

щая. Отсюда последующее значение будет не прямо пропор-

ционально и без того большой величине х

n,

 а будет корректи-

роваться малым значением 1 — х

n

. Безразмерный коэффици-

ент λ — аналог усиления обратной связи — определяет

характер динамики, «силу» влияния предыдущего значения

активности метаболизма на последующее.

Покажем качественный характер различных вариантов этой

зависимости. Пусть параметр λ равен единице, т.е. текущее

значение метаболической активности слабо влияет на последу-

ющую активность — пример малого усиления обратной связи.

Количественно оценить динамику величины метаболической

активности можно путем подбора значений рекуррентной чис-

ловой последовательности. Представим качественный вид ре-

шения интересующей зависимости х

n+1

 = х

n

*(1 - х

n

) с помо-

щью несложного математического приема — лестницы Ламер-

рея. По оси ординат отложим последующие значения х

n+1

, по

оси абсцисс — текущее значение х

n

, а также проведем биссект-

рису 1-го координатного квадранта, на которой х

n+1

 = х

n

. Ди-

намика изменения значений х будет строиться путем отраже-

ния текущего значения х

n

 от биссектрисы, где х

n

= х

n+1

. В вы-

бранных координатных осях построим график функциональ-

ной зависимости х

n+1

 = х

n

(1 - х

n

) (рис. 2.34).

125

Рис. 2.35. Динамика метаболической активности при параметре об-

ратной связи л = 2.

Из графика следует, что при слабой зависимости последу-

ющего состояния метаболической активности от предыдуще-

го организм умирает вследствие полного угасания обмена ве-

ществ. Если влияние текущего метаболизма на его последую-

щее значение менее некоторого критического уровня, для ор-

ганизма это становится фатальным. Далее предположим, что

параметр X равен 2. Это означает, что влияние реального ме-

таболизма на его последующий уровень усилилось.  Д и н а м и к а

цепочки состояний метаболической активности в таком слу-

чае представлена на рис. 2.35.

Как видно из графика, при увеличении параметра X боль-

ше единицы монотонного угасания интенсивности метабо-

лизма не происходит, а наоборот, с каких бы начальных

условий организм ни «стартовал», его метаболическая актив-

ность будет стремиться к некоторому стационарному состоя-

нию. Это устойчивое стационарное состояние соответствует

пересечению  п р я м о й х

n+1

 = х

n

 и параболы х

n+1

 = 2 • х

n

• (1 — х

n

).

Мы получили, хотя и слишком упрошенную и очень  ф о р -

мальную, но в целом адекватную реальности математическую

модель метаболизма, где при слабой зависимости активности

обмена веществ и энергии от предшествующего уровня мета-

болизма  ж и з н е н н ы е функции угасают, а текущий уровень ме-

таболизма не в состоянии поддержать последующий. При

усилении этой зависимости, наоборот, формируется устойчи-

вая динамика обмена веществ, выводящая организм на опти-

мальный уровень активности при любых случайных отклоне-

ниях от эталонного значения.

Посмотрим далее, как изменится динамика метаболизма в

нашей простейшей модели, если увеличить параметр обрат-

126

Рис. 2.36. Динамика метаболической активности при параметре об-

ратной связи λ = 1 + (5)

1/2

, устойчивые колебания между значениями

x

3

 и x

4

.

ной связи λ, до величины 1 + (5)

1/2

 — удвоенного значения «зо-

лотого сечения» (рис. 2.36). Это пример избыточного усиле-

ния обратной связи, или перерегулирования, когда метаболи-

ческая активность поочередно стремится к некоторым двум

крайним величинам в окрестности оптимального эталонного

значения. Физиологическим примером перерегулирования

может служить терморегуляция оболочки тела человека при

переохлаждении, когда капилляроспазм в мягких тканях обо-

лочки чередуется с расширением сосудов микроциркулятор-

ного русла с периодом в несколько минут. Вследствие подоб-

ного кровоснабжения температура тканей колеблется между

двумя значениями.

Приведенные примеры математического моделирования

физиологических функций не в полной мере реально и ис-

черпывающе отражают их механизмы, однако такую черту

сложной системы, как скачкообразное качественное измене-

ние поведения при количественном изменении некоего пара-

метра, приведенные простые модели отражают по существу.

Если усложнить систему и зависимость метаболической

активности представить в виде х

n+1

 = [λ*х

n

*(1 — х

n

)]

2

, то полу-

чим при λ = 3,5 два устойчивых цикла, осциллирующих в

окрестностях различных метаболических состояний (рис.

2.37).

На рис. 2.37 представлена математическая модель двух

возможных устойчивых состояний метаболической активно-

сти с различной интенсивностью x

1

 и x

2

. Такая модель может

служить иллюстрацией метаболизма при длительном хрони-

127

Рис. 2.37. Пример существования двух устойчивых состояний x

1

 и

х

2

 метаболической активности, в окрестности которых возможны

осцилляции.

ческом заболевании с напряжением адаптационно-компенса-

торных резервов и практически здорового организма. Отме-

тим, что оба состояния существуют при одном и том же пара-

метре λ. Переход из одного («патологического») в другое

(«здоровое») состояние возможен при внешнем, искусствен-

ном и временном повышении метаболической активности.

Следовательно, ряд органонеспецифических физических фак-

торов облегчает переход организма на другой оптимальный

уровень саморегулируемой метаболической активности. При-

мечательно, что во многих научно-популярных книгах по ме-

дицине утверждается, что больному организму надо только

«чуть-чуть помочь, а далее он справится сам». В такой упро-

шенной идеологии содержится, тем не менее, рациональное

зерно.

Продолжая аналогию между реальными механизмами ре-

гуляции активности метаболизма и их элементарными моде-

лями, можно объяснить и суть лечебного воздействия низко-

интенсивными физическими факторами, которые не в состо-

янии даже временно изменить метаболическую активность и

«перевести» организм в другой режим активности, но в со-

стоянии изменить параметр обратной связи λ. Рассуждая та-

ким образом, правдоподобной является мысль о слабой зави-

симости реакции организма от энергии воздействия действу-

ющего фактора. Реакция организма при этом в значительной

степени не зависит ни от вида энергии (электромагнитная,

128

механическая, тепловая), ни от интенсивности действующего

фактора в достаточно широком диапазоне — до трех-четырех

порядков.

В информационном (специфическом) воздействии гораз-

до важнее физической природы интенсивности пространст-

венная структура и временная организация воздействующего

фактора, например время суток, продолжительность воздей-

ствия и его локализация, модуляция или другие спектраль-

ные характеристики. Так, по нашим данным. ИК-лазерное

излучение, модулированное частотой 1000 и 50 Гц, оказыва-

ет соответственно стимулирующее и угнетающее действие на

капиллярный кровоток в коже сразу после воздействия, при

том что интенсивность инфракрасного лазерного излучения

и его продолжительность (доза) на обеих частотах одина-

ковы.

2.6.3. Самоподобие и симметрия биологических объектов.

Фрактальные структуры

Возможности математики для моделирования физиологиче-

ских процессов многие десятилетия оставались существенно

ограниченными, главным образом из-за приблизительного,

не строго детерминированного характера биологических про-

цессов. Для построения точной модели физиологических

процессов математики и физики требовали от биологов точ-

ного задания многих условий, которые зависели от ряда

внешних факторов и изменялись сложным образом. В резуль-

тате к концу XX в. среди биофизиков сложилось мнение, что

не детерминированный, а статистический характер биологи-

ческих закономерностей обусловлен значительной сложно-

стью живых объектов. Аналогичная картина отмечалась и в

физике в начале XX в., когда классическая молекулярно-ки-

нетическая теория газов предусматривала принципиальную

детерминированность значений координат и импульсов каж-

дой молекулы, а для упрощения описания системы был изб-

ран статистический подход. Исходя из этого, механическое

описание всех молекул газа требовало астрономического ко-

личества уравнений и механический подход, хотя и был в

принципе возможен, но практически был неосуществим. Со-

отношение между детерминизмом и случайностью карди-

нальным образом изменилось в физике микромира. В начале

20-х годов XX в. вероятностный подход к описанию систем в

микромире квантовая механика использовала уже не из прак-

тического удобства, а по причине принципиального отсутст-

вия детерминированных координат и импульсов микрочас-

тиц. Материальная микрочастица, при этом в принципе не

имела точно определенных координат, импульса и траек-

тории.

129

В последней четверти XX в. в математической физике бур-

но развивалась динамическая теория хаоса. Теория катаст-

роф, теория канторовых множеств и фрактальных размерно-

стей рассматривала хаос как предельный случай усложнения

структуры. Математическая теория хаоса сразу же оказалась

применима к различным областям естествознания и дала

плодотворные результаты в гидродинамике (турбулентное те-

чение), аэродинамике, метеорологии (описание атмосферных

вихрей). С начала 80-х годов теория хаоса нашла свое приме-

нение и в биологии. Случайный характер биологических за-

кономерностей при этом получил другую интерпретацию.

Например, отклонения периодических физиологических про-

цессов от строгой периодичности объясняются не влиянием

комплекса практически не учитываемых «мешающих» факто-

ров, а внутренним свойством системы, которой принципи-

ально присуще квазипериодическое поведение вне зависимо-

сти от внешних возмущений. Количественный учет отклоне-

ний от идеальной периодичности, «квазипериодичность», на-

пример электрокардиограммы, позволяет получить много

клинически значимой диагностической информации. Строго

периодическая кардиограмма абсолютно без признаков дыха-

тельной аритмии, например, скорее является симптомом па-

тологии, чем идеального здоровья.

Продемонстрируем на простом примере переходы между

структурой и хаосом. Рассмотрим знакомую рекуррентную

последовательность (в которой последующее значение зави-

сит от предыдущего): х

n+1

 = λ*х

n

*(1 - х

n

). При λ < 1 значение

последовательности стремится к нулю, при λ = 2 последова-

тельность стремится к некоторому пределу (см. рис. 2.35).

при λ = (1 + \/5) последовательность стремится к двум значе-

ниям поочередно (см. рис. 2.36). При дальнейшем увеличе-

нии X структура последовательности существенно усложняет-

ся, появляются значения, при которых последовательность

демонстрирует хаотическое поведение, которое далее снова

сменяется упорядоченным решением на некоторых проме-

жутках (см. рис. 2.37).

Полученный результат нетривиален и интересен тем, что

хаотическое поведение оказывается присуще очень простому

математическому объекту. То. что сложная, со многими свя-

зями система имеет хаотическое поведение, интуитивно ясно,

так как. на первый взгляд, в сложной системе именно упоря-

доченное поведение кажется исключением. Простая физиче-

ская система, напротив, подчиняется строго детерминирован-

ным законам и кажется, что хаосу в ней не место. Элемен-

тарная числовая последовательность в разобранном примере

демонстрирует явление, как говорят математики, маломодово-

го хаоса. Кроме периодического и хаотического решения, та-

кая модель демонстрирует раздвоение решения при опреде-

130

ленном значении «λ» — бифуркацию поведения динамической

системы. В точках бифуркации система особенно чувстви-

тельна даже к сверхслабым внешним воздействиям, опреде-

ляющим ее путь развития. Аналогом точек бифуркации в

биологических системах могут служить критические периоды

эмбриогенеза, когда зародыш особенно чувствителен к сла-

бым, в том числе тератогенным, воздействиям.

Некоторые парадоксы числовых последовательностей не исчер-

пываются стремлением к монотонному, периодическому и хаотиче-

скому решениям. Для объяснения результатов отображений число-

вых последовательностей требуется введение дробной, или фрак-

тальной, размерности. Размерность, казалось бы, может быть толь-

ко целочисленной: линия одномерна, плоская фигура двухмерна,

объемная — трехмерна. Длина линии измеряется длиной единично-

го отрезка, объемную фигуру можно измерить емкостью единично-

го куба, однако при некоторых видах отображения отрезка часть

размерности можно «потерять».

Возьмем отрезок единичной длины, разделим его на 3 равные

части и выбросим середину. С двумя оставшимися третями посту-

пим аналогичным образом, и далее будем повторять процедуру

сколь угодно долго. Очевидно, при бесконечном делении отрезка

длина оставшейся части будет стремиться к нулю:

Далее посмотрим на задачу следующим образом. Сначала вы-

бросим 1/3 длины отрезка, на следующем этапе — 1/6, потом — 1/12 и

т.д. Сумма геометрической прогрессии — общей длины «выброшен-

ных» отрезков — будет 13 /(1 - 1/2) = 2/3 Оказалось, длина «выбро-

шенной» части составляет 2/3 а длина того, что осталось, стремится

к нулю. Куда пропала 1/3 длины? Для объяснения этого парадокса и

пришлось ввести понятие фрактальной размерности отрезка при

рассмотренном выше преобразовании. Фрактальные преобразова-

ния обладают свойством подобия различных уровней масштаба: на

каком бы порядковом номере очередного «выбрасывания» середи-

ны отрезка мы ни остановились, картина остается подобной и при

увеличении, и при уменьшении порядковых номеров преобразова-

ний.

Самые простые примеры числовых последовательностей

демонстрируют удивительные явления, имеющие отношение

не только к биологии и медицине, но и философии в целом:

внутреннего единства порядка и хаоса, самоподобия различ-

ных масштабов структуры при нарушении размерности.

В природе имеется множество примеров, где материальные

объекты обладают тем же свойством самоподобия, что и ма-

131