|
|
|
содержание .. 16 17 18 19 ..
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* !)!@&’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
3
верхней
части
рисунка
показана
аппроксимация
производной
∂
V
/
∂
x
в
точке
k
,
и
указанным
шаблонам
при
их
просмотре
слева
направо
соответствуют
аппроксимации
h(
∂
V
/
∂
x)
=
V
k
+
1
-
V
k
; 2
h(
∂
V
/
∂
x) = V
k
+
1
- V
k
-
1
;
h
2
(
∂
2
V
/
∂
x
2
) = V
k
+
1
-
2
V
k
+ V
k
-
1
,
где
h
—
шаг
дискретизации
по
оси
,
.
Шаблоны
для
двумерных
задач
в
нижней
части
рис
. 3.
11
соответствуют
следующим
конечно
-
разностным
операторам
:
левый
рисунок
-
h
2
∇
2
V =
:
2
(
∂
2
V
/
∂
x
1
2
+
∂
2
V
/
∂
x
2
2
) =
V
k
+
1
,j
+
V
k
-
1
,j
+
V
k,j
+
1
+
V
k,j
-
1
- 4
V
k,j
,
средний
рисунок
-
2
h
2
∇
2
V =
V
k
+
1
,
j
+
1
+
V
k
-
1
,
j
+
1
+
V
k
+
1
,j-
1
+
V
k
-
1
,
j
-
1
- 4
V
k,j
,
правый
рисунок
-
4
h
2
∂
2
V
/
∂
x
1
∂
x
2
=
V
k
+
1
,
j
+
1
-
V
k
-
1
,
j
+
1
-
V
k
+
1
,
j
-
1
+
V
k
-
1
,
j
-
1
.
Здесь
V
k,j
—
значение
V
в
точке
(
x
1
k
,
x
2
j
);
приняты
оди
-
наковые
значения
шагов
h
по
обеим
координатам
.
L$&#-
%#*$1*.,
B4$/$*&#(
основан
на
аппроксимации
не
производных
,
а
самого
решения
V
(
z
).
Но
поскольку
оно
неизвестно
,
то
аппроксимация
выполняется
выражения
-
ми
с
неопределенными
коэффициентами
q
i
U
(
z
) =
Q
Т
ϕ
(
z
),
(3.34)
где
Q
Т
= (
q
1
,
q
2
,...
q
n
)
Т
-
вектор
-
строка
неопре
-
деленных
коэффициентов
,
ϕ
(
z
) —
вектор
-
столбец
%##"-’*)&*.,
(
иначе
опорных
)
функций
,
заданных
так
,
что
удовлетворяются
граничные
условия
.
При
этом
речь
идет
об
аппроксимациях
решения
в
пределах
конечных
элементов
,
а
с
учетом
их
малых
размеров
можно
говорить
об
использовании
сравнительно
простых
аппроксимирующих
выра
-
жений
U
(
z
) (
например
,
ϕ
(
z
) —
полиномы
низких
степеней
).
В
результате
подстановки
U
(
z
)
в
исходное
дифференциальное
уравнение
и
выполнения
операций
дифференцирования
получаем
систему
невязок
∆
(
z, Q
) =
LU
(
z
) -
f
(
z
) =
L
(
Q
Т
ϕ
(
z
)) -
f
(
z
),
(3.35)
из
которой
требуется
найти
вектор
Q
.
Эту
задачу
(
определение
Q)
решают
одним
из
следующих
методов
:
1
)
/$&#-
%#44#%)=’;
,
в
котором
,
используя
(3.35),
формируют
n
уравнений
с
неизвестным
век
-
тором
Q:
L
(
Q
Т
ϕ
(
z
i
)) -
f
(
z
i
) = 0,
i =
1
, 2,...
n
,
где
n
—
число
неопределенных
коэффициентов
;
2)
/$&#-
*)’/$*5>’,
%()-")&#(
,
основанный
на
минимизации
квадратов
невязок
(3.35)
в
n
точ
-
ках
или
в
среднем
по
рассматриваемой
области
;
3)
/$&#-
V)4$"%’*)
,
с
помощью
которого
минимизируются
в
среднем
по
области
невязки
со
специально
задаваемыми
весовыми
коэффициентами
.
Наибольшее
распространение
МКЭ
получил
в
САПР
машиностроения
для
анализа
прочности
объектов
.
Для
этой
задачи
можно
использовать
рассмотренный
подход
,
т
.
е
.
выполнить
алгебраизацию
исходного
уравнения
упругости
(
уравнения
Ламе
).
Однако
более
удобным
в
реализации
МКЭ
оказал
-
ся
подход
,
основанный
на
вариационных
принципах
механики
.
E’
Q
9
384@8://
:6
:0:
D+?:
/.
6
:0+A.
,7
42
384
A04,-+
.
В
качестве
исходного
положения
при
-
нимают
вариационный
принцип
Лагранжа
(
принцип
потенциальной
энергии
),
в
соответствии
с
кото
-
рым
равновесное
состояние
,
в
которое
может
прийти
система
,
характеризуется
минимумом
потенци
-
альной
энергии
.
Потенциальная
энергия
П
определяется
как
разность
энергии
Э
деформации
тела
и
работы
А
массовых
и
приложенных
поверхностных
сил
.
В
свою
очередь
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
71
%+,
. 3.
))
.
Примеры
шаблонов
для
метода
конечных
разностей
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* !)!@&’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
3
Э
= 0,5
∫
ε
T
σ
d
R,
(3.36)
R
где
ε
T
= (
ε
11
,
ε
22
,
ε
33
,
ε
1
2
,
ε
1
3
,
ε
23
)
T
—
вектор
-
строка
деформаций
,
σ
= (
σ
11
,
σ
22
,
σ
33
,
σ
1
2
,
σ
1
3
,
σ
23
) —
век
-
тор
-
столбец
напряжений
,
R —
рассматриваемая
область
.
Деформации
ε
ij
можно
выразить
через
пере
-
мещения
ε
ij
= 0,5(
∂
W
i
/
∂
x
j
+
∂
W
j
/
∂
x
i
),
(3.37)
где
W
i
—
перемещение
вдоль
оси
,
i
,
или
в
матричной
форме
ε
=
0,5
SW
,
(3.38)
где
S —
очевидный
из
(3.37)
оператор
дифференцирования
.
Деформации
и
напряжения
связаны
между
собой
с
помощью
матрицы
D
,
характеризующей
уп
-
ругие
свойства
среды
,
которая
представлена
в
табл
. 3.5:
σ
= D
ε
.
(3.39)
Коэффициенты
λ
и
µ
,
фигурирующие
в
таблице
,
называют
постоянными
Ламе
,
они
выражают
упру
-
гие
свойства
материала
детали
.
Подставляя
(3.39)
и
(3.38)
в
(3.36),
получаем
Э
= 0,5
∫
W
T
S
T
DSW
d
R,
R
Решением
задачи
должно
быть
поле
перемеще
-
ний
W(X)
,
где
X
= (
x
1
,
x
2
,
x
3
).
В
соответствии
с
МКЭ
это
решение
аппроксимируется
с
помощью
функций
(3.34),
которые
применительно
к
совокупности
конеч
-
ных
элементов
представим
в
матричной
форме
:
U
(
X
) =
NQ
,
где
N —
матрица
координатных
функций
,
Q
—
вектор
неопределенных
коэффициентов
.
Заменяя
W
(
X
)
на
U
(
X
),
получаем
Э
= 0,5
∫
Q
T
N
Т
S
T
DSN Q
d
R =
0,5
Q
T
(
∫
(
SN
)
Т
DSN
d
R
)
Q =
0,5
Q
T
K Q,
(3.40)
R
R
где
K
=
∫
(
SN)
M
DSN
d
R
—
матрица
жесткости
.
R
В
соответствии
с
принципом
потенциальной
энергии
в
состоянии
равновесия
имеем
∂
П
/
∂
Q
=
∂
Э
/
∂
Q -
∂
А
/
∂
Q =
0
или
,
дифференцируя
(3.40),
находим
KQ = B,
(3.4
1
)
где
B =
∂
А
/
∂
Q
—
вектор
нагрузок
.
Таким
образом
,
задача
анализа
прочности
,
согласно
МКЭ
,
сведена
к
решению
системы
линейных
алгебраических
уравнений
(3.4
1
).
Матрица
жесткости
также
оказывается
сильно
разреженной
,
поэтому
для
решения
(3.4
1
)
приме
-
няют
методы
разреженных
матриц
.
+-0B.
F690.
.
Одним
из
широко
известных
методов
разреженных
матриц
является
метод
прогонки
,
применяе
-
мый
в
случае
трехдиагональных
матриц
коэффициентов
в
системе
алгебраических
уравнений
.
*
-
8
<7-
<8:
384@8://
:0:
D+?:
34
E’
Q
0:
/+784
<84
90.
.
Основными
частями
программы
ана
-
лиза
по
МКЭ
являются
библиотеки
конечных
элементов
,
препроцессор
,
решатель
и
постпроцессор
.
C’24’#&$%’
%#*$1*.,
B4$/$*&#(
(
КЭ
)
содержат
модели
КЭ
—
их
матрицы
жесткости
.
Очевид
-
но
,
что
модели
КЭ
будут
различными
для
разных
задач
(
анализ
упругих
или
пластических
деформа
-
ций
,
моделирование
полей
температур
,
электрических
потенциалов
и
т
.
п
.),
разных
форм
КЭ
(
напри
-
мер
,
в
двумерном
случае
—
треугольные
или
четырехугольные
элементы
),
разных
наборов
координат
-
ных
функций
.
Исходные
данные
для
0"$0"#=$++#")
—
геометрическая
модель
объекта
,
чаще
всего
получаемая
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
72
λ
+2
µ
λ
0
0
0
0
λ
λ
+2
µ
λ
0
0
0
0
λ
λ
+2
µ
0
0
0
0
0
0
2
µ
0
0
0
0
0
0
2
µ
0
0
0
0
0
0
2
µ
M:BD+=:
3.5
|