|
|
|
содержание .. 14 15 16 17 ..
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* !)!@&’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
3
Если
нарушено
условие
(3.27),
то
происходит
потеря
устойчивости
вычислений
,
а
это
означает
,
что
в
решении
задачи
возникают
ложные
колебания
с
увеличивающейся
от
шага
к
шагу
амплитудой
и
быстрым
аварийным
остановом
ЭВМ
вследствие
переполнения
разрядной
сетки
.
Конечно
,
ни
о
ка
-
кой
адекватности
решения
говорить
не
приходится
.
Для
соблюдения
(3.27)
применяют
те
или
иные
алгоритмы
автоматического
выбора
шага
.
Отме
-
тим
,
что
в
сложной
модели
расчет
τ
min
для
непосредственного
выбора
шага
по
(3.27)
слишком
трудо
-
емок
,
кроме
того
,
однократный
расчет
τ
min
мало
чем
помогает
,
так
как
в
нелинейных
моделях
τ
min
мо
-
жет
изменяться
от
шага
к
шагу
.
Условие
(3.27)
накладывает
жесткие
ограничения
на
шаг
интегрирования
.
В
результате
вычис
-
лительная
эффективность
явных
методов
резко
падает
с
ухудшением
#27+4#(4$**#+&’
ММС
.
В
самом
деле
,
длительность
?
инт
моделируемого
процесса
должна
быть
соизмеримой
с
временем
успокоения
системы
после
возбуждающего
воздействия
,
т
.
е
.
соизмерима
с
максимальной
постоянной
времени
τ
max
.
Требуемое
число
шагов
интегрирования
равно
Ш
=
?
инт
/
h
∼ τ
max
/
τ
min
.
Отношение
Ч
=
τ
max
/
τ
min
называют
")62"#+#/
0#+	**.,
("$/$*’
или
1’+4#/
#27+4#(4$**#+&’
.
Чем
больше
это
число
,
тем
хуже
обусловленность
.
Попытки
применения
явных
методов
к
любым
ММС
чаще
всего
приводят
к
недопустимо
низкой
вычислительной
эффективности
,
поскольку
в
ре
-
альных
моделях
Ч
>
1
0
5
—
обычная
ситуация
.
Поэтому
в
настоящее
время
в
универсальных
програм
-
мах
анализа
явные
методы
решения
СОДУ
не
применяют
.
Аналогичный
анализ
числовой
устойчивости
неявных
методов
дает
следующие
результаты
.
Вместо
(3.24)
имеем
V
n
=
(
E
-
h
A)
-n
V
0
и
условие
числовой
устойчивости
принимает
вид
-
1
< |
1
/(
1
+
h
/
τ
j
)
| <
1
,
которое
выполняется
при
любых
h
> 0.
Следовательно
,
неявный
метод
Эйлера
обладает
так
называе
-
мой
K
-
7+&#;1’(#+&5<
.
+-0B.
F690.
.
Метод
интегрирования
СОДУ
называют
K
-
устойчивым
,
если
погрешность
интегрирования
оста
-
ется
ограниченной
при
любом
шаге
h
> 0.
Применение
K
-
устойчивых
методов
позволяет
существенно
уменьшить
требуемые
числа
шагов
Ш
.
В
этих
методах
шаг
выбирается
автоматически
не
из
условий
устойчивости
,
а
только
из
соображе
-
ний
точности
решения
.
Выбор
порядка
метода
решения
СОДУ
довольно
прост
:
во
-
первых
,
более
высокий
порядок
обес
-
печивает
более
высокую
точность
,
во
-
вторых
,
среди
неявных
разностных
методов
,
кроме
метода
Эй
-
лера
,
K
-
устойчивы
также
методы
второго
порядка
и
среди
них
—
метод
трапеций
.
Поэтому
преобла
-
дающее
распространение
в
программах
анализа
получили
методы
второго
порядка
—
модификации
метода
трапеций
.
CD@
48+-/
A+,D.004@
4
+0-.@8+84
9:0+>
*$
O
P
.
Одна
из
удачных
реализаций
неявного
метода
второго
порядка
,
которую
можно
считать
модификацией
/$&#-)
&")0$=’;
,
основана
на
комбиниро
-
ванном
использовании
явной
и
неявной
формул
Эйлера
.
Рассмотрим
вопрос
,
почему
такое
комбини
-
рование
снижает
погрешность
и
приводит
к
повышению
порядка
метода
.
Предварительно
отметим
,
что
в
методах
"
-
го
порядка
локальная
погрешность
,
т
.
е
.
погрешность
,
допущенная
на
одном
n
-
м
шаге
интегрирования
,
оценивается
старшим
из
отбрасываемых
членов
δ
= c||
V
(
p
+
1
)
(
τ
)
||
h
p
+
1
,
в
разложении
решения
V
(
t
)
в
ряд
Тейлора
,
где
с
—
постоянный
коэффициент
,
зависящий
от
метода
,
||
V
(
p
+
1
)
(
τ
)|| —
норма
вектора
(
"
+
1
)-
х
производных
V
(
t
)
,
которая оценивается
с
помощью
конечно
-
раз
-
ностной
аппроксимации
,
τ
—
значение
времени
t
внутри
шага
.
Если
n
-
й
шаг
интегрирования
в
комбинированном
методе
был
неявным
,
т
.
е
.
выполненным
по
не
-
явной
формуле
,
то
следующий
шаг
с
тем
же
значением
h
должен
быть
явным
.
Используя
разложение
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
63
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* !)!@&’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
3
решения
V
(
t
)
в
ряд
Тейлора
в
окрестностях
точки
t
n+
1
,
получаем
для
(
n
+
1
)-
го
неявного
шага
V
(
t
n
) =
V
(
t
n
+
1
) - (
d
V
/
dt
)
h
н
+
(
d
2
V
/
dt
2
)
h
н
2
/ 2! - (
d
3
V
/
dt
3
)
h
*
3
/ 3! + ...,
(3.28)
и
для
(
n
+2)-
го
явного
шага
V
(
t
n
+2
) =
V
(
t
n
+
1
) + (
d
V
/
dt
)
h
я
+
(
d
2
V
/
dt
2
)
h
я
2
/2! + (
d
3
V
/
dt
3
)
h
я
3
/3! + ...,
(3.29)
где
h
н
’
h
я
—
величины
неявного
и
явного
шагов
,
а
значения
производных
относятся
к
моменту
t
n
+
1
.
Подставляя
(3.28)
в
(3.29),
при
h
=
h
я
= h
н
получаем
:
V
(
t
n
+2
) =
V
(
t
n
) + 2(
d
V
/
dt
)
h
+ 2(
d
3
V
/
dt
3
)
h
я
3
/ 3! + ...,
т
.
е
.
погрешности
,
обусловливаемые
квадратичными
членами
в
(3.28)
и
(3.29)
взаимно
компенсируют
-
ся
,
и
старшим
из
отбрасываемых
членов
становится
член
с
h
3
.
Следовательно
,
изложенное
комбини
-
рование
неявной
и
явной
формул
Эйлера
дает
метод
интегрирования
второго
порядка
.
Неявные
методы
и
,
в
частности
,
рассмотренный
комбинированный
метод
целесообразно
ис
-
пользовать
только
при
переменной
величине
шага
.
Действительно
,
при
заметных
скоростях
измене
-
ния
фазовых
переменных
погрешность
остается
в
допустимых
пределах
только
при
малых
шагах
,
в
квазистатических
режимах
шаг
может
быть
во
много
раз
больше
.
Алгоритмы
автоматического
выбора
шага
основаны
на
сравнении
допущенной
и
допустимой
локальных
погрешностей
.
Например
,
вводится
некоторый
диапазон
(
коридор
)
погрешностей
δ
,
в
пре
-
делах
которого
шаг
сохраняется
неизменным
.
Если
же
допущенная
погрешность
превышает
верхнюю
границу
диапазона
,
то
шаг
уменьшается
,
если
же
выходит
за
нижнюю
границу
,
то
шаг
увеличивается
.
E
.-
4
51
8.I.0+>
,+,-./
0.D+0.2016
:
D@
.B8:+A.
,7+6
<8:90.0+2
.
Вычисления
при
решении
СОДУ
состоят
из
нескольких
вложенных
один
в
другой
циклических
процессов
.
Внешний
цикл
—
цикл
пошагового
численного
интегрирования
,
параметром
цикла
является
номер
шага
.
Если
модель
анализируемого
объекта
нелинейна
,
то
на
каждом
шаге
выполняется
промежуточный
цикл
—
итера
-
ционный
цикл
решения
системы
нелинейных
алгебраических
уравнений
(
СНАУ
).
Параметр
цикла
—
номер
итерации
.
Во
внутреннем
цикле
решается
система
линейных
алгебраических
уравнений
(
СЛАУ
),
например
,
при
применении
узлового
метода
формирования
ММС
такой
системой
является
(3.
1
9).
Поэтому
в
математическое
обеспечение
анализа
на
макроуровне
входят
методы
решения
СНАУ
и
СЛАУ
.
Для
решения
СНАУ
можно
применять
прямые
итерационные
методы
такие
,
как
метод
простой
итерации
или
метод
Зейделя
,
но
в
современных
программах
анализа
наибольшее
распространение
по
-
лучил
метод
Ньютона
,
основанный
на
линеаризации
СНАУ
.
Собственно
модель
(3.
1
9)
получена
имен
-
но
в
соответствии
с
методом
Ньютона
.
Основное
преимущество
метода
Ньютона
—
высокая
скорость
сходимости
.
Представим
СНАУ
в
виде
F
(
X
) = 0.
(3.30)
Разлагая
F
(
X
)
в
ряд
Тейлора
в
окрестностях
некоторой
точки
N
k
,
получаем
F
(
X
) =
F
(
X
k
) + (
∂
F
/
∂
X
)(
X
-
X
k
) + (
X
-
X
k
)
T
(
∂
2
F
/
∂
X
2
)(
X
-
X
k
) / 2 + ... = 0.
Сохраняя
только
линейные
члены
,
получаем
СЛАУ
с
неизвестным
вектором
N
:
V
k
(
X
-
X
k
)
= - F
(
X
k
),
(3.3
1
)
где
V
k
= (
∂
F
/
∂
X
)|
k
.
Решение
системы
(3.3
1
)
дает
очередное
приближение
к
корню
системы
(3.30),
ко
-
торое
удобно
обозначить
X
k
+
1
.
Вычислительный
процесс
стартует
с
начального
приближения
X
0
и
в
случае
сходимости
итера
-
ций
заканчивается
,
когда
погрешность
,
оцениваемая
как
|
∆
N
k
| = |X
k
-
X
k
-
1
|,
станет
меньше
допу
c
тимой
погрешности
ε
.
Однако
метод
Ньютона
не
всегда
приводит
к
сходящимся
итерациям
.
Условия
сходимости
метода
Ньютона
выражаются
довольно
сложно
,
но
существует
легко
используемый
подход
к
улучшению
схо
-
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
64
|