|
|
|
содержание .. 13 14 15 16 ..
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* !)!@&’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
3
неизвестных
и
соответствующего
числа
уравнений
.
Оставшиеся
неизвестные
называют
2)6’+*./’
.
В
зависимости
от
набора
базисных
неизвестных
различают
несколько
методов
формирования
ММС
.
Согласно
/$&#-7
0$"$/$**.,
+#+	*’9
(
более
полное
название
метода
—
метод
переменных
,
характеризующих
состояние
),
вектор
базисных
переменных
W
состоит
из
0$"$/$**.,
+#+	*’9
.
Этот
вектор
включает
неизбыточное
множество
переменных
,
характеризующих
накопленную
в
сис
-
теме
энергию
.
Например
,
такими
переменными
могут
быть
скорости
тел
(
кинетическая
энергия
опре
-
деляется
скоростью
,
так
как
равна
Mu
2
/2),
емкостные
напряжения
,
индуктивные
токи
и
т
.
п
.
Очевидно
,
что
число
уравнений
не
превышает
γ
.
Кроме
того
,
итоговая
форма
ММС
оказывается
приближенной
к
явной
форме
представления
системы
дифференциальных
уравнений
,
т
.
е
.
к
форме
,
в
которой
вектор
d
W
/
dt
явно
выражен
через
вектор
W
,
что
упрощает
дальнейшее
применение
явных
методов
числен
-
ного
интегрирования
.
Метод
реализуется
путем
особого
выбора
системы
хорд
и
ветвей
дерева
при
формировании
топологических
уравнений
.
Поскольку
явные
методы
численного
интегрирования
дифференциальных
уравнений
не
нашли
широкого
применения
в
программах
анализа
,
то
метод
пере
-
менных
состояния
также
теряет
актуальность
и
его
применение
оказывается
довольно
редким
.
В
классическом
варианте
764#(#8#
/$&#-)
в
качестве
базисных
переменных
используются
764#
-
(.$
0#&$*=’)4.
(
т
.
е
.
скорости
тел
относительно
инерциальной
системы
отсчета
,
абсолютные
темпе
-
ратуры
,
перепады
давления
между
моделируемой
и
внешней
средой
,
электрические
потенциалы
от
-
носительно
базового
узла
).
Число
узловых
потенциалов
и
соответственно
уравнений
в
ММС
оказы
-
вается
равным
β
-
1
,
где
β
—
число
узлов
в
эквивалентной
схеме
.
Обычно
β
заметно
меньше
α
и
,
сле
-
довательно
,
порядок
системы
уравнений
в
ММС
снижен
более
чем
в
два
раза
по
сравнению
с
поряд
-
ком
исходной
системы
.
Однако
классический
вариант
узлового
метода
имеет
ограничения
на
применение
и
потому
в
со
-
временных
программах
анализа
наибольшее
распространение
получил
/#-’E’=’"#()**.;
764#(#;
/$&#-
.
P
?D4
9
42
/.-
4
5
.
Матрицу
контуров
и
сечений
E
в
узловом
методе
формируют
следующим
об
-
разом
.
Выбирают
базовый
узел
эквивалентной
схемы
и
каждый
из
остальных
узлов
соединяют
с
ба
-
зовым
фиктивной
ветвью
.
Именно
фиктивные
ветви
принимают
в
качестве
ветвей
дерева
,
а
все
реаль
-
ные
ветви
оказываются
в
числе
хорд
.
Поскольку
токи
фиктивных
ветвей
равны
нулю
,
а
вектор
напря
-
жений
фиктивных
ветвей
есть
вектор
узловых
потенциалов
ϕ
,
то
уравнения
(3.
1
3)
и
(3.
1
4)
принима
-
ют
вид
U
+
M
ϕ
= 0,
(3.
1
6)
M
T
I
= 0,
(3.
1
7)
где
U
и
I-
векторы
напряжений
и
токов
реальных
ветвей
.
Компонентные
уравнения
алгебраизуются
с
помощью
одной
из
формул
численного
интегриро
-
вания
,
линеаризуются
с
помощью
разложения
в
ряд
Тейлора
с
сохранением
только
линейных
членов
,
и
их
представляют
в
виде
I
n
= G
n
U
n
+
C
n
,
(3.
1
8)
где
G
n
—
диагональная
матрица
проводимостей
,
рассчитанная
в
точке
t
n
;
C
n
—
вектор
,
зависящий
от
значений
фазовых
переменных
на
предшествующих
шагах
интегрирования
и
потому
уже
известный
к
моменту
времени
t
n
.
Каждая
ветвь
(
за
исключением
идеальных
источников
напряжения
)
имеет
про
-
водимость
,
которая
занимает
одну
из
диагональных
клеток
матрицы
проводимостей
.
Окончательно
ММС
получаем
,
подставляя
(3.
1
8)
и
затем
(3.
1
6)
в
(3.
1
7):
M
T
I
n
= M
T
(
G
n
U
n
+
C
n
) = - M
T
G
n
M
ϕ
n
+ M
T
C
n
= 0
или
V
n
ϕ
n
= B
n
,
(3.
1
9)
где
V
n
= M
T
G
n
M —
матрица
Якоби
,
B
n
= M
T
C
n
—
вектор
правых
частей
.
Отметим
,
что
матрица
M
име
-
ет размер
равен
α ×
(
β
-
1
),
матрица
G
n
—
α × α
,
а
матрица
Якоби
— (
β
-
1
)
×
(
β
-
1
).
Система
(3.
1
9)
является
+’+&$/#;
4’*$;*.,
)48$2")’1$+%’,
7")(*$*’;
,
полученной
в
результа
-
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
59
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* !)!@&’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
3
те
дискретизации
независимой
переменной
,
алгебраизации
дифференциальных
уравнений
и
линеари
-
зации
алгебраических
уравнений
.
Алгебраизация
приводит
к
необходимости
пошагового
вычисли
-
тельного
процесса
интегрирования
,
линеаризация
—
к
выполнению
итерационного
вычислительного
процесса
на
каждом
шаге
интегрирования
.
Рассмотрим
,
каким
образом
определяются
проводимости
ветвей
.
Для
резистивных
ветвей
проводимость
—
величина
,
обратная
сопротивлению
R
.
При
использовании
неявного
метода
Эйлера
проводимость
емкостной
ветви
получается
из
ее
компонентного
уравнения
следующим
образом
.
На
n
-
м
шаге
интегрирования
i
n
= Cdu/dt
|
n
=
C
(
u
n
-
u
n
-
1
) /
h
n
,
проводимость
g
=
∂
i
n
/
∂
u
n
и
при
:
= const
получаем
g
=
C / h
n
.
При
этом
в
вектор
правых
частей
входит
элемент
a
n
= gu
n
-
1
.
Проводимость
индуктивной
ветви
можно
найти
аналогично
:
u
n
=
L
(
i
n
-
i
n
-
1
) /
h
n
и
при
L
= const
g
=
h
n
/L
,
a
n
=
i
n
-
1
.
Аналогично
определяют
проводимости
и
при
использовании
других
разностных
формул
чис
-
ленного
интегрирования
,
общий
вид
которых
d
U/
dt
|
n
=
µ
n
U
n
—
η
n
,
где
µ
n
зависит
от
шага
интегрирования
,
η
n
—
от
значений
вектора
U
на
предыдущих
шагах
.
Классический
вариант
узлового
метода
имеет
ограничения
на
применение
.
Так
,
недопустимы
идеальные
(
с
бесконечной
проводимостью
)
источники
напряжения
,
зависимые
источники
,
аргумента
-
ми
которых
являются
токи
,
а
также
индуктивности
,
поскольку
в
классическом
варианте
токи
не
вхо
-
дят
в
число
базисных
переменных
.
Устранить
эти
ограничения
довольно
просто
—
нужно
расширить
совокупность
базисных
координат
,
включив
в
нее
токи
-
аргументы
зависимых
источников
,
а
также
то
-
ки
ветвей
индуктивных
и
источников
напряжения
.
Полученный
вариант
метода
называют
/#-’E’=’
-
"#()**./
764#(./
/$&#-#/
.
Согласно
модифицированному
узловому
методу
,
в
дерево
при
построении
матрицы
E
включа
-
ют
ветви
источников
напряжения
и
затем
фиктивные
ветви
.
В
результате
матрица
E
принимает
вид
(
табл
. 3.2),
где
введены
обозначения
:
U
ист
(I
) —
источники
напряжения
,
зависящие
от
тока
;
E
(
t
) —
не
-
зависимые
источники
напряжения
;
I
ист
(I)
—
ис
-
точники
тока
,
зависящие
от
тока
;
L
—
индуктив
-
ные
ветви
;
M
ij
—
подматрица
контуров
хорд
группы
i
и
сечений
фиктивных
ветвей
группы
j
.
Те
же
обозначения
U
ист
,
I, E, I
ист
будем
ис
-
пользовать
и
для
соответствующих
векторов
на
-
пряжений
и
токов
.
Назовем
ветви
,
токи
которых
являются
аргументами
в
выражениях
для
зави
-
симых
источников
,
т
.
е
.
входят
в
вектор
I
,
#+#2.
-
/’
ветвями
.
Остальные
ветви
(
за
исключением
индуктивных
) —
*$#+#2.$
.
Введем
также
обозначе
-
ния
:
I
L
—
вектор
индуктивных
токов
;
I
,
и
U
,
—
векторы
токов
и
напряжений
неособых
ветвей
;
G
,
, G
L
,
G
I
—
диагональные
матрицы
проводимостей
ветвей
неособых
,
индуктивных
,
особых
.
Уравнение
закона
токов
Кирхгофа
(3.
1
7)
для
фиктивных
ветвей
имеет
вид
(
M
11
)
T
I
,
+
(
M
2
1
)
T
I
L
+ (
M
3
1
)
T
I
ист
= 0.
Исключим
вектор
I
,
с
помощью
компонентного
уравнения
(3.
1
8),
а
вектор
I
ист
с
помощью
оче
-
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
60
Тип
ветви
Фиктивные
ветви
U
ист
(I)
E(t)
неособые
ветви
M
11
M
1
2
M
1
3
L
M
2
1
M
22
M
23
I
ист
(I)
M
3
1
M
32
M
33
M:BD+=:
3.2
|