Автоматизированное проектирование и расчет шнековых машин - часть 16

Толщина стенки цилиндров из хрупких или малопластичных материалов может быть опреде-

лена по соотношению 

 

C

P

P

R

S

+















−

−

σ

+

σ

=

1

]

[

]

[

max

max

вн

,  

(3.80) 

 

где R

 вн

 

–

 

внутренний радиус цилиндра, м; [

σ] – допускаемое напряжение, МПа; Р

max

 – макси-

мальное давление, возникающее в цилиндре машины, МПа; С – добавка толщины на коррозию, м. 

 

Для  цилиндров  из  пластичных  сталей  расчетная  формула  для  определения  толщины  стенки 

имеет вид 

 

C

P

R

S

+













−

−

σ

σ

=

1

73

,

1

]

[

]

[

max

вн

.   (3.81) 

 
При расчете цилиндров допускаемое напряжение 

]

[

σ

 выбирают в зависимости от температуры 

стенки: 

• 

до температуры 250 °С допускаемое напряжение выбирают по пределу прочности с коэффициен-

том запаса m

в

 = (3,2...4) 

 

в

в

]

[

m

σ

≤

σ

; 

 

• 

в интервале температур 250…375 °С допускаемое напряжение выбирают одновременно по пре-

делу текучести 

σ

т

 с коэффициентом запаса m

т

 = (1,5...2) и по пределу прочности 

σ

вг

,  

 

в

в

]

[

m

σ

≤

σ

  и  

т

т

m

σ

≤

σ

, 

 

в дальнейших расчетах принимают меньшее значение [

σ]; 

• 

для интервала температур 375…475 °С выбор допускаемых напряжений производится по преде-

лу текучести или по пределу ползучести, из которых в расчетах используют меньшее значение [

σ]. 

3.2.1. Расчет однослойных толстостенных цилиндров 

 
Величина  напряжений  в  любой  точке  поперечного  сечения  цилиндра  при  действии  только 

внутреннего давления может быть определена по следующим соотношениям [38]: 

• 

радиальное напряжение (сжимающее) 

 















−

−

=

σ

2

2

н

2

вн

2

н

2

вн

max

1

R

R

R

R

R

P

r

, МПа;                         (3.82) 

 

• 

тангенциальное напряжение (растягивающее)  

 















+

−

=

σ

2

2

н

2

вн

2

н

2

вн

max

1

R

R

R

R

R

P

t

, МПа; 

 

       (3.83) 

 

• 

осевое напряжение, возникающее в цилиндре в результате воздействия осевого усилия,  

 

2

вн

2

н

2

вн

max

ос

R

R

R

P

F

S

z

−

−

=

σ

, МПа.   

               (3.84) 

 
Эпюры радиальных, тангенциальных и осевых напряжений, возникающих в стенках толстостен-

ных сосудов, представлены на рис. 3.12. Сопоставление величин напряжений показывает, что наи-
большими по абсолютной величине из всех трех напряжений являются тангенциальные напряже-
ния, возникающие на внутренней поверхности толстостенных цилиндров. 

В  корпусе  машины 

возникают  напряжения  за  счет  разности 

температуры 

внутренней  и  наружной  поверхностей. 

При этом возможны два 

случая 

действия 

температурных 

напряжений  (учитывая, 

что  цилиндры  нагружены  внутренним 

давлением): 

1)  тепловой поток 

направлен  от  внутренних  слоев  к 

наружным, 

что 

соответствует 

охлаждению 

цилиндра 

извне (

0

н

0

вн

t

t

>

); 

2)  тепловой поток 

направлен 

от 

наружных 

слоев 

к 

внутренним, 

что 

соответствует  нагреву  цилиндра  извне 

(

0

вн

0

н

t

t

>

). 

Характер 

возникающих температурных напряжений 

для этих случаев изображен на рис. 3.13, где знаком плюс обозначены растягивающие напряжения, 
знаком минус – сжимающие напряжения.  

В случае рис. 3.13, а наружные, слои, как менее нагретые, мешают расшириться внутренним 

слоям, в результате наружные слои оказываются растянутыми, а внутренние – сжатыми. 

Во внутренних наиболее нагруженных слоях цилиндра растягивающие напряжения от внутрен-

них давлений, имеющие знак плюс, суммируются со сжимающими температурными напряжениями, 
имеющими знак минус, в результате чего растягивающие напряжения уменьшаются, что улучшает 
условия работы цилиндра (рис. 3.13, а). 

В случае нагрева (рис. 3.13, б) температурные напряжения ухудшают условия работы цилинд-

ра, следовательно при внутреннем избыточном давлении наиболее опасным является случай рабо-
ты, когда цилиндр нагревается извне. 

 
 













−

−

−

µ

−

−

α

=

σ

вн

н

2

вн

2

н

2

н

0

вн

0

н

вн.

ln

ln

1

2

)

1

(

2

)

(

0

R

R

R

R

R

t

t

E

t

; (3.85) 

 
 













−

−

−

µ

−

−

α

=

σ

вн

н

2

вн

2

н

2

вн

0

вн

0

н

.

н

ln

ln

1

2

)

1

(

2

)

(

0

R

R

R

R

R

t

t

E

t

,            (3.86) 

 
 
 

 

 

Рис. 3.13. Эпюры тангенциальных 

σ

t

 и температурных напряжений,  

возникающих в корпусе машины  

при охлаждении (а) и  нагреве (б) цилиндра извне 

где Е – модуль упругости материала цилиндра машины; 

α – коэффициент линейного темпера-

турного 

расширения 

материала 

цилиндра;  

 

 

Рис. 3.12 Эпюры ради-

альных 

σ

r

,  

тангенциальных 

σ

t

 и  

m

m

µ – коэффициент Пуассона; 

0

вн

t

 

и 

0

н

t

 

температуры внутренней и наружной поверхностей цилиндра, 

°С. 

Значения Е, 

α и µ следует принимать в зависимости от материала, из которого изготовлен ци-

линдр и средней температуры стенки. 

Наиболее точные результаты расчета эквивалентных напряжений цилиндров, работающих при 

температуре ниже 400 °С, дает IV теория прочности: 

 
 

(

) (

) (

)

[

]

2

2

2

э

2

1

r

r

r

r

r

r

t

z

z

r

r

t

σ

+

σ

+

σ

−

σ

+

σ

+

σ

=

σ

. 

     (3.87) 

 
 
Подставляя в уравнение (3.87) значения главных напряжений, получим необходимые соотно-

шения для проверочных расчетов при определении эквивалентных напряжений у внутренней 

э.вн

σ

и 

наружной 

э.н

σ

 поверхностей цилиндра: 

 

2

вн

2

н

2

н

max

э.вн

73

,

1

R

R

R

P

−

=

σ

,  

           (3.88) 

 
 

2

вн

2

н

2

вн

max

э.н

73

,

1

R

R

R

P

−

=

σ

.   

          (3.89) 

 
При  одновременном  нагружении  цилиндра  внутренним  давлением  с  учетом  возникающих 

температурных напряжений величина напряжений в любой точке поперечного сечения может быть 
определена по следующим соотношениям: 

 

z

p

r

t

t

t

σ

+

σ

=

σ

; 

 

 

    (3.90) 

 

t

p

r

r

r

r

σ

+

σ

=

σ

; 

 

 

    (3.91) 

 

t

p

r

z

z

z

σ

+

σ

=

σ

. 

 

 

    (3.92) 

 

Из рассмотрения эпюр напряжений видно, что наиболее нагруженной является внутренняя поверх-

ность  цилиндра,  для  которой  величина  температурных напряжений  может  быть  определена  по  соотно-
шениям [59]: 

0

=

σ

t

r

; 

 

 

            (3.93) 

 













−

−

−

µ

−

−

α

=

σ

=

σ

вн

н

2

вн

2

н

2

вн

0

вн

0

н

ln

ln

1

2

)

1

(

2

)

(

R

R

R

R

R

t

t

E

t

t

z

r

. 

     (3.94) 

 
Эквивалентные  напряжения  для  внутренней  поверхности,  определенные  по  соотношению 

(3.87) с учетом (3.90), (3.91), (3.92), должны обеспечивать необходимый запас прочности по отно-
шению к пределу текучести 

т

т

э

m

σ

≤

σ

. 

 

При температурах стенки цилиндра выше 400 °С температурные напряжения могут не учитываться, 

так как они выравниваются по толщине стенки из-за явления ползучести металла. 

 

3.2.2. Расчет цилиндров с запрессованной гильзой 

 
В современных шнековых машинах применяют цилиндры с запрессованной в них гильзой вы-

полненной  из  износостойких  материалов  (двухслойный  цилиндр).  Гильза  устанавливается  в  ци-
линдр  по  одной  из  переходных  посадок  с  натягом,  который  вызывает  давление  на  наружной  по-
верхности гильзы, в результате чего на ее внутренней поверхности возникают напряжения сжатия 
(рис. 3.14). Эти  напряжения  снижают  величину  тангенциальных  напряжений,  возникающих  от 
гидростатического давления расплава полимера. 

Давление  на  наружной  поверхности  гильзы  называется  давле-

нием натяга и может быть определено по формуле 

 

k

E

P

δ

=

1

0

,        (3.95) 

 

где 

1

D

∆

=

δ

 – относительный расчетный натяг; 

∆ – величина на-

тяга; D

1

 – наружный диаметр гильзы 

)

(

)

(

2

2

2

1

1

1

µ

+

α

+

µ

−

α

=

E

E

K

, 

 

   (3.96) 

 

Е

1

 и Е

2

 – соответственно, модули упругости материала цилиндра и гильзы; 

µ

1

и 

µ

2

 – соответст-

венно,  коэффициенты  Пуассона  материала  цилиндра  и  гильзы; 

α

1

  и 

α

2

 – коэффициенты,  опреде-

ляемые по соотношениям: 

2

1

2

1

1

1

1

C

C

−

+

=

α

;   

 

      (3.97) 

 

2

2

2

2

2

1

1

C

C

−

+

=

α

,  

 

      (3.98) 

 
где 

1

1

D

D

C

=

 и 

н

1

2

D

D

C

=

; D – внутренний диаметр гильзы; D

н

 – наружный диаметр цилиндра. 

При одинаковых значениях модуля упругости материалов цилиндра и гильзы и равных значе-

ниях коэффициента Пуассона (

2

1

µ

=

µ

) 

 

2

1

α

+

α

=

K

. 

 

Наибольшие напряжения возникают на внутренних поверхностях гильзы и цилиндра. На рис. 

3.14 изображены эпюры тангенциальных (

σ

t

) и радиальных (

σ

r

) напряжений в сечении двухслой-

ного  цилиндра.  Пунктирными  линиями  изображена  эпюра  тангенциальных  и  радиальных  напря-
жений  в  сплошном  цилиндре,  толщина  стенки  которого  равна  сумме  толщин  стенок  цилиндра  и 
гильзы. Из эпюры напряжений видно, что в двухслойном цилиндре происходит перераспределение 
напряжений, а именно, величина тангенциальных напряжений 

t

σ

 в точке А уменьшается, а в точке 

В  увеличивается,  при  этом  величина  радиальных  напряжений 

r

σ

  увеличивается  незначительно 

[63]. 

Эквивалентные  напряжения  в  любой  точке  на  внутренней  поверхности  гильзы  (точка  А  рис. 

3.14) по энергетической теории прочности определяются по формуле 

 
 

0

1

max

0

2

1

max

2

4

э.вн.г

1

2

1

3

P

P

P

C

P

С

С

β

−

γ

=

−

−

−

+

=

σ

, (3.99) 

 

 

РИС. 3.14. ЭПЮРА НАПРЯЖЕНИЙ  

В СТЕНКАХ ДВУХСЛОЙНОГО 

ЦИЛИНДРА