Автоматизированное проектирование и расчет шнековых машин - часть 13

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Рис. 3.6. Блок-схема алгоритма расчета шнека на прочность,  

жесткость и устойчивость 

 

Р

Р

И

И

С

С

.

.

 

 

3

3

.

.

7

7

.

.

 

 

С

С

Х

Х

Е

Е

М

М

А

А

 

 

Д

Д

Е

Е

Й

Й

С

С

Т

Т

В

В

И

И

Я

Я

 

 

В

В

Н

Н

Е

Е

Ш

Ш

Н

Н

И

И

Х

Х

 

 

Н

Н

А

А

Г

Г

Р

Р

У

У

З

З

О

О

К

К

 

 

Н

Н

А

А

 

 

Ш

Ш

Н

Н

Е

Е

К

К

 

 

(

(

С

С

Е

Е

Ч

Ч

Е

Е

Н

Н

И

И

Е

Е

 

 

А

А

-

-

А

А

 

 

С

С

М

М

.

.

 

 

Р

Р

И

И

С

С

.

.

 

 

3

3

.

.

1

1

0

0

)

)

 

 

 

6. 

 Необходимо задать или определить следующие величины: 

а)   основные размеры вала и витков; 
б)   основные характеристики нагрузки: р (х) – распределение давления по длине вала, МПа; 

Р

max

 – максимальное давление на конце вала, МПа;   (х) – касательные напряжения, действующие 

на вал, МПа. 

в)   основные 

характеристики 

прочности 

и 

жесткости 

вала: 

Е – 

 

модуль упругости материала вала, МПа; [ ] – допускаемое напряжение для вала, МПа;   – удель-
ный вес материала вала, Н/м

3

; f – коэффициент трения; R

1

 – радиус вала с витками, м; R

2

 – радиус ва-

ла, м; l – длина вала между опорами, м; L – длина консольной части вала, м; x

i

 – расстояние до сред-

ней части i-го витка от опоры, м (рис 3.7, а); x

i

c

 – расстояние средней части i-го витка от опоры, м; t

i

 – 

шаг i-го витка, м; 

i

 – средний угол подъема винтовой поверхности i-го витка; n – число витков. 

Порядок расчета максимальных напряжений и прогибов следующий [60]: 

1.   Определяется перепад давления по виткам по формуле  
 
 
 

∆р (х

i

c

) = p (x

i

 + l

) – p (x

i

),                                  (3.52) 

л

экспонен

Закон изменения 

    

А 

А 

 

где 

L

x

P

x

p

i

i

max

)

(

=

 – при  линейном  законе  распределении  давления; 













−

α

=

)

(

exp

)

(

max

L

x

L

P

x

p

i

i

 – 

при экспоненциальном законе распределении давления; 

α – параметр распределения давления (оп-

ределяется экспериментально). 

2.   Если не заданы касательные напряжения, то они определяются по формуле 

τ (x

i

) = f p (x

i

).  

 

 

   (3.53) 

 
 
 

3.  Производится расчет распределенной нагрузки от веса вала 

 

.

2

2

в

π

γ

=

R

q

    

 

  (3.54) 

 
4.   Определяются поперечные силы и моменты, действующие на шнековый вал (рис. 3.5, в) 

по формулам (для изолированного витка) 

 
 
 

Q

уi

 = 

± ∆ p (x

i

c

) R

2 

t

i

 ;  

 

                     (3.55) 

 
 

( )

(

)

[

]

( )

(

)

{

}

.

2

2

tg

2

2

2

1

c

2

2

2

2

1

c

π

π

−

τ

+

+

π

−

β

∆

±

=

i

i

i

i

i

уi

t

R

R

x

t

R

R

R

x

p

M

 

 

 (3.56) 

 
В этих формулах берется знак (+), если разрывной виток начинается с отрицательного напря-

жения относительно оси oy; знак (–), если виток повернут на 180

° (рис. 3.7, а). Для непрерывного 

витка Q

уi

 = 0. 

5.   Расчет  максимального  крутящего  момента,  действующего  на  вал,  производится  по  фор-

муле 

 
 
 

( )

,

3

)

(

2

)

(

3

2

tg

3

2

3

1

0

1

3

2

3

1

2

2

ср

c

1

кр

кр

R

R

dx

x

R

R

R

t

x

p

M

M

L

n

i

i

i

n

i

i

−

π

















τ















−

+

+

β

∆

=

=

∫

∑

∑

=

−

 

 (3.57) 

где 

);

(

1

ср

i

x

L

n

t

−

=

 

(

)

.

tg

2

π

+

=

β

R

R

t

i

i

i

 

Если окажется, что максимальный крутящий момент М

кр max

 больше допустимой величины 

 

М

кр max 

> [М

кр

] = [

τ

кр

]W

р

 

, 

где [

τ

кр

] – допустимое касательное напряжение на кручение; 

2

3

2

R

W

p

π

=

 – полярный момент со-

противления  при  кручении,  для  шнека  без  внутреннего  охлаждающего  канала,  то  крутящий  мо-
мент рассчитывается по формуле 

в

3

кр

2

10

n

N

M

π

=

,   Н 

⋅ м.                                    (3.58) 

 
 

 

Здесь N – мощность привода, Вт; n

в

 – частота вращения вала шнека, об/с. 

6.   Определяется сжимающая продольная сила по формуле 
 
 
 

( )

( )

(

)

.

tg

2

2

2

2

1

1

c

c

1

п

R

R

x

x

p

N

N

n

i

i

i

i

n

i

xi

−

π













β

τ

+

∆

=

=

∑

∑

=

=

       (3.59) 

 
 
 

КАК ВИДНО ИЗ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ (РИС. 3.7, В) ПРИ ДОСТАТОЧНО РЕГУЛЯРНОМ 

РАСПОЛОЖЕНИИ ВИТКОВ, В ЧАСТНОСТИ, В ТЕХ СЛУЧАЯХ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ МЕСТО 

В ПРОИЗВОДСТВЕ, НАИБОЛЬШИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ВОЗНИКАЮТ В СЕЧЕНИИ А, А 

НАИБОЛЬШИЙ ПРОГИБ ВОЗНИКАЕТ В СЕЧЕНИИ С НА КОНЦЕ КОНСОЛЬНОЙ ЧАСТИ 

ВАЛА. 

7.   Максимальный изгибающий момент в сечении А от действия весовой нагрузки 

2

2

в

в

L

q

M

q

−

=

.                                        (3.60) 

 

Наибольший прогиб вала от весовой нагрузки в сечении С равен 

 
 





























−

+

−

=

3

4

в

4

3

24

в

L

l

L

l

EJ

L

q

W

q

,                          (3.61) 

 
 

где J – осевой момент инерции сечения вала. 

8.  Наибольший изгибающий момент в сечении А от поперечной нагрузки Q

уi

 и момента М

уi

  

∑

−

=

n

i

ic

уi

z

x

Q

M

1

;                                      (3.62) 

 

.

1

∑

−

=

n

i

уi

у

M

M

                                       (3.63) 

Прогибы в сечении С от действия гидромеханических сил и моментов: 

 

( )

( )













−

+

=

∑

∑

∑

=

=

=

n

i

n

i

n

i

i

уi

i

уi

i

уi

у

x

Q

x

Q

L

x

Q

lL

EJ

W

1

1

1

3

c

2

c

c

3

2

6

1

;       (3.64) 

( )













−

+

=

∑

∑

∑

=

=

=

n

i

n

i

n

i

i

i

i

i

i

у

x

M

x

M

L

M

lL

EJ

W

1

1

1

2

c

c

3

6

2

6

1

.           (3.65) 

 

9.  Максимальный изгибающий момент в сечении А и максимальный прогиб в сечении С при одно-

временном действии веса и гидромеханических сил: 

 
 

2

1

c

2

1

2

в

max

2













+













+

=

∑

∑

=

=

n

i

i

уi

n

i

уi

x

Q

M

L

q

M

;  

     (3.66) 

 
 
 

.

)

(

3

6

2

)

(

)

(

3

2

4

1

4

3

6

1

2

1

1

2

c

c

1

2

1

1

3

c

2

c

1

c

4

4

в

max





















−

+

+

+













−

+

+









+





























−

+

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

i

n

i

i

уi

i

уi

n

i

уi

n

i

n

i

i

уi

i

уi

n

i

i

уi

x

M

x

M

L

M

lL

x

Q

x

Q

L

x

Q

lL

L

l

L

l

L

q

EJ

W

 

 (3.67) 

 
 

Учет продольной сжимающей силы проводится путем введения коэффициента, равного  

Э

п

1

1

N

N

−

=

η

, 

где 

2

1

max

1

п

R

P

N

N

n

i

xi

π

=

=

∑

=

 – полная сжимающая нагрузка, действующая на шнековый вал; 

2

Э

)

2

( L

EJ

N

π

=

 – Эй-

лерова сила, при которой происходит потеря устойчивости вала. 

Полный прогиб в сечении С при учете продольно-поперечного изгиба вала с достаточной для ин-

женерных расчетов точностью можно определить по формуле W = W

max

η. 

11.  Окончательное  условие  прочности  и  жесткости  шнекового  вала  с  учетом  гидромеханических 

сил и веса вала при продольно-поперечном изгибе будет иметь вид 

 
 
 

]

[

2

0

кр

2

0

п

п

0

max

экв

σ

≤













+













+

+

=

σ

W

M

W

W

N

F

N

W

M

; (3.68) 

 

]

[

1

Э

п

max

W

N

N

W

W

≤

−

=

. 

Здесь 

4

3

2

0

R

W

π

=

 – осевой момент сопротивления вала изгибу; 

2

2

R

F

π

=

 – площадь поперечного се-

чения вала шнека; [W] – допускаемый прогиб вала шнека, который не должен превышать величи-
ны радиального зазора между гребнем винтовой нарезки и внутренней поверхностью материально-
го цилиндра. 

Если условия прочности сечения вала не выполняются, то вал ляжет на гильзу (рис. 3.7, г) и в 

опасном сечении А-А изгибающий момент определяют силы, расположенные до точки касания вала с 
гильзой. В этом случае в формуле (3.68) вместо L следует брать величину L

к 

, равную 

 

4

в

4

2

к

2

q

WE

R

L

∆

π

=

,   

 

     (3.69) 

 

где 

∆W – зазор между гильзой и витком вала.  

Суммы 

∑

=

n

i

yi

M

1

 и 

∑

=

n

i

i

yi

x

Q

1

c

 следует считать для значений i при 

L

x

i

≤

c

. 

Для  проверки  правильности  рассмотренной  выше  методики  расчета  и  расчетных  формул  был 

проведен расчет и анализ шнека с непрерывными и разрывными витками (подобного [61]) для пере-
работки  резиновых  смесей  со  следующими  геометрическими,  силовыми  и  упругими  параметрами: 
R

1

 = 0,0625 м; R

2 

= 0,0425 м; L = 1,750 м; l = 0; t = 0,125 м; p

max 

= 15 МПа; n = 14 (из них первые два 

витка непрерывные, а остальные 12 витков разрывные), tgβ = 0,352; 

∆P = p

max 

/ n = 0,682 МПа; f = 0,2;  

γ = 

ρg =  7,8 ⋅ 10

4

 

н/м

3

; 

ρ = 7800  кг/м

3

 – плотность 

материала 

шнека; 

g = 

 

= 9,81 м/с

2

 – ускорение свободного падения; материал шнека – сталь 38ХМЮА, Е = 2 

⋅ 10

5

 МПа, 

µ =