Автоматизированное проектирование и расчет шнековых машин - часть 12

N  (x) – осевая  сила;  S

Э

 – Эйлерова  сила,  определяемая  для  стержней  переменной  жесткости  по 

формуле 

 

2

2

Э

l

EJ

S

η

=

, 

где 

64

)

(

4

4

2

2

d

D

J

−

π

=

 – наибольший момент инерции сечения сердечника шнека;   – коэффици-

ент,  зависящий  от  способа  опирания  шнека  и  отношения 

2

1

J

J

  (значения   приведены  в  табл. 3.2 

[51]); d – диаметр отверстия в теле шнека; 

64

)

(

4

4

1

1

d

D

J

−

π

=

 – наименьший момент инерции сечения 

сердечника шнека. 

Условия прочности и жесткости при продольно-поперечном изгибе имеют вид: 

 

[ ]

σ

≤

+

+

=

σ

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

max

0

max

x

W

x

V

x

N

x

W

x

M

x

F

x

N

;      (3.45) 

 
 

 

Таблица 3.2 

 

х
е
м
а 

 

 

,
1 

,
2

,
4 

,
6

,
8

,
0

,
1
2 

,
4
1

,
2
4 

,
6
4

,
8
3

,25 ,5 ,75 ,0 

0

 ,87 ,62 ,40 ,08 ,77 

[ ]

V

S

N

x

V

V

≤

−

=

Э

max

0

max

1

)

(

,  

            (3.46) 

 

где F (x), W (x) – площадь и момент сопротивления данного поперечного сечения сердечника 

шнека; [ ] – допускаемое напряжение материала шнека; [V] – допускаемый прогиб шнека, значе-
ния  которого  для  диаметров  шнека  D 

 125 мм  равно  [V]   0,005D  [мм],  для  диаметров  

D > 125 мм допускаемый прогиб [V]   0,002D [мм]. 

При совместном действии крутящего и изгибающих моментов от продольных и поперечных сил все 

точки  поперечного  сечения  шнека  будут  находиться  в  условиях  плоского  напряженного  состояния.  В 
этом случае условие прочности шнека (согласно энергетической теории прочности) имеет вид 

 

[ ]

σ

≤

τ

+

σ

=

σ

2

2

э

4

,  

           (3.47) 

S

 

где 

)

(

)

(

p

x

W

x

M

x

=

τ

 – касательное  напряжение  от  действия  крутящего  момента 

)

(

x

M

x

; 

)

1

(

16

)

(

)

(

4

3

p

α

−

π

=

x

D

x

W

 – полярный момент сопротивления в текущем сечении шнека в 

)

(

x

D

d

=

α

. Нор-

мальное напряжение   в текущем сечении шнека определяется по формуле (3.45). 

Кроме  расчета  на  прочность  и  жесткость  сердечник  шнека  проверяется  на  устойчивость  по 

формуле 

 

[ ]

c

2

max

σ

ϕ

≤

F

N

,    

 

(3.48) 

 

где 

max

N

 – осевая сжимающая сила на конце шнека с учетом осевой распределенной нагрузки 

q

x

 ; F

2

 – максимальная площадь поперечного сечения сердечника шнека, 

4

)

(

2

2

2

2

d

D

F

−

π

=

; 

[ ]

c

σ

 – до-

пускаемое  напряжение  при  сжатии  материала  шнека, 

[ ] [ ]

n

т

σ

=

σ

; 

т

σ

 – предел  текучести  материала 

шнека; [n] – допускаемый коэффициент запаса прочности (для стали [n] = 1,6);   – коэффициент 
продольного изгиба, зависит от материала и гибкости стержня. 

Таблица 3.3 

 

Гиб-

кость   

0

1

0 

2

0 

3

0 

4

0 

5

0 

6

0 

  для 

стали 

по-

вышенного 
качества  

≥

σ

т

 320 

МПа 

1

,00 

0

,97 

0

,95 

0

,91 

0

,87 

0

,83 

0

,79 

Гиб-

кость   

7

0 

8

0 

90 

1

00 

1

10 

1

20 

1

30 

  для 

стали 

по-

вышенного 
качества 

≥

σ

т

 320 

МПа 

0

,72 

0

,65 

0

,55 

0

,43 

0

,35 

0

,30 

0

,26 

Гиб-

кость   

1

40 

1

50 

1

60 

1

70 

1

80 

1

90 

2

00 

  для 

стали 

по-

вышенного 
качества 

≥

σ

т

 320 

МПа 

0

,23 

0

,21 

0,19 

0

,17 

0

,15 

0

,14 

0

,13 

 
Значения коэффициента   для легированных сталей приведены в табл. 3.3 [52].  
Значение гибкости с учетом переменности сечения шнека по длине определяют по формуле 

i

l

0

η

π

=

λ

, 

где 

2

2

2

2

1

4

D

d

D

i

+

=

 – максимальный радиус инерции сечения сердечника шнека; 

0

 – коэффици-

ент,  зависящий  от  параметра  n,  представляющего  собой  отношение  равнодействующей  силы  от 
распределенной нагрузки 

0

0

=

x

N

 к Эйлерову значению критической силы для стержня S

Э

: 

2

2

1

2

1

max

Э

0

6

4

cos

0

l

EJ

D

D

D

D

l

P

S

x

N

n

η













−

+

−

−

ϕ

δ

=

=

=

. 

 

Значения коэффициента 

)

(

0

n

f

=

η

 приведены в табл. 3.2. 

Расчет на устойчивость сердечника шнека можно связать с максимальным критическим давле-

нием P

max

 

кр

, действующим в передней зоне дозирования D

2

, используя выражение потенциальной 

энергии деформации в виде следующего уравнения: 

 

q

p

A

A

U

+

=

изг

, 

 

 

     (3.49) 

 

где 

∫

′′

=

l

dx

y

x

EJ

U

0

2

изг

)

(

)

(

2

1

 – энергия  изгиба  сердечника  шнека; 

x

D

P

A

p

λ

π

=

4

2

кр

max

 – работа  про-

дольной критической силы, вызванная критическим давлением; 

∫

λ

=

l

x

x

q

dx

q

A

0

 – работа распределен-

ной осевой нагрузки; 

dx

y

l

x

2

0

)

(

2

1 ′

=

λ

∫

 – перемещение точки приложения продольной силы.  

Форма прогиба оси шнека для расчетной схемы, приведенной на рис. 3.1, будет иметь вид 

 

l

x

c

y

π

= sin

, 

  (3.50) 

 

ГДЕ С – ПОСТОЯННЫЙ ПАРАМЕТР. 

Подставляя  выражение  для  U

изг

,  A

p

,  A

q

  в  уравнение (3.49) и  делая  преобразования,  получим 

окончательную формулу для критического давления на шнек 

 

.

8

2

8

2

2

16

2

6

cos

2

4

4

3

2

10

32

3

8

4

4

6

6

2

2

3

1

2

2

3

1

1

2

3

1

3

2

4

5

2

5

5

4

2

4

4

3

2

3

3

2

2

2

2

1

кр

max













π

−

+

π

−

−

−

−

−

−

ϕ

β

+

π





























π

+

π

−

β

+













π

−

β

+













π

−

β

+

β

+

π

=

=

l

D

D

l

D

D

D

D

l

D

D

l

l

l

D

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

EJ

P

 

(3.51) 

Коэффициент запаса устойчивости определится 

 

[ ]

y

max

кр

max

y

n

P

P

n

≥

=

, 

где [n

y

] = 2,0...3,0 допускаемый коэффициент запаса устойчивости для шнеков. 

На основании полученных уравнений (3.37) – (3.40), (3.43) – (3.47) и (3.51) составлен алгоритм 

и  разработана  программа  расчета  напряжений  и  перемещений  в  поперечном  сечении  шнека  при 
продольно-поперечном  изгибе.  Схема  алгоритма  расчета  шнека  представлена  на  рис. 3.6, текст 
программы на алгоритмическом языке BASIC, приводится в прил. 2 (программа 5). 

 

3.1.7. Расчет консольного шнекового вала  

на прочность и жесткость 

 
Рассмотренная выше методика расчета на прочность и жесткость шнековых валов основывалась 

на предположении, что шнек представляет собой стержень шарнирно опертый по концам и загружен-
ный по длине распределенными нагрузками и моментами, изменяющимися по закону синуса или ко-
синуса. Витки при этом считались непрерывными, а давление действовало на каждый виток только со 
стороны его напорной части. 

Такой подход не всегда может удовлетворить требованиям производства, так как прочность и 

жесткость  вала  зависят  кроме  того  от  перепада  давления,  гидромеханических  сил,  собственного 
веса и наличия по длине вала разрывных витков. 

На основании обобщений известных работ [38, 53 – 60] нами предлагается методика расчета на 

прочность и жесткость длинных шнековых  валов с учетом действия перепада давлений, сил тре-
ния, собственного веса и наличия разрывных витков для консольных шнековых валов с постоян-
ным поперечным сечением применительно к экструзионным и литьевым машинам. 

Основные положения и допущения: 

1. 

Шнековый вал является балкой, закрепленной определенным образом (рис. 3.7, в). 

2. 

Давление Р (х) по длине вала является величиной известной либо из эксперимента, либо из ре-

шения гидромеханической задачи. 

3. 

Касательные  усилия  на  поверхности  вала  определяются  из  гидромеханического  расчета  или  с 

помощью известного коэффициента трения через давление. 

4. 

Вал может иметь отдельные изолированные витки на длине, равной одному шагу витка (рис. 3.7, 

а). 

5. 

Начала всех витков находятся в одной плоскости, т.е. витки могут быть повернуты одни относи-

тельно других на 180  (рис. 3.7, а). 

6. 

Рабочая длина вала шнека имеет целое число витков. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   1  

Н

 

2   

Ввод ис-

ходных данных: 

Р

max

, D, D

1

, D

2

, 

L E T

[ ]

3  

Определение нормальной 

силы N

  4  

Определение момента M

x 

5  

Определение момента M

y 

6  

Определение момента M

z 

7  

Определение прогиба V

Y 

8  

Определение прогиба V

Z 

 

9  

Определение суммарного 

прогиба V

0 

10  

Определение полного про-

б V( )

 

11  

Определение max нор-

мального  

напряжения

max

 

12  

Определение max каса-

тельного напряжения 

max 

 

13  

Определение  

эквивалентного  напряже-

ния по IV теории прочно-

сти

14  

Определение кри-

тического давления Р

max кр 

15  

ВЫВОД ИСХОДНЫХ 

ДАННЫХ И РЕЗУЛЬТАТОВ 

РАСЧЕТА: 

Р

max

, D, D

1

, D

2

, L, E, 

T, x,  

, [ ], [n

y

], N

X

, M

x

, 

M

y

, M

z

, 

16