Автоматизированное проектирование и расчет шнековых машин - часть 9

ству пластикации, однако за счет продольно-попереч-ного изгиба шнека будут наблюдаться преж-
девременный износ его и материального цилиндра и дополнительные затраты мощности.  

Применяется методика расчета шнеков на прочность, жесткость и устойчивость с постоянным 

шагом винтовой линии, переменным поперечным сечением в широком интервале изменения рабо-
чей длины шнека l = (10...35) D при действии гармонических поперечных нагрузок. 

 
Задачей  прочностного  расчета  является  проверка  запроектированных  на  основании  преды-

дущих расчетов размеров шнека и определение максимально допустимого прогиба с целью недо-
пущения контакта витков шнека с внутренней поверхностью цилиндра. Расчетная схема шнека 
представлена на рис. 3.1. 

 
 

 

 

Рис. 3.1. Расчетная схема нагружения шнека и его опор:  

S

ос

 – осевое усилие от давления перед формующим инструментом;  

G – вес материала шнека; R

1

, R

2

 – реакции в опорах I и II, соответственно 

 
Прочностной расчет шнека производится, исходя из максимально возможных значений крутя-

щего момента M

кр

, осевого усилия S

ос

, величина которых рассчитывается по формулам (3.5) и (3.7). 

Расчет шнеков возможен в двух вариантах в зависимости от его жесткости (гибкости): 

• 

рассматривается действие максимального осевого усилия S

ос

 и крутящего момента M

кр

 с учетом 

собственного веса шнека; 

• 

расчет на продольно-поперечный изгиб с учетом максимального осевого усилия S

ос

 и собствен-

ного веса шнека. 

Для определения варианта расчета проверяем шнек на гибкость по формуле 

i

L

µ

=

λ

в

, 

   (3.13) 

 
где 

λ

в

 – гибкость вала шнека; 

µ – коэффициент, зависящий от способа закрепления концов ва-

ла, в данном частном случае 

µ = 2; L – длина шнека, м; i – радиус инерции сечения, определяемый 

из 

F

J

i

=

, м, 

    

(3.14) 

 

где 

)

1

(

64

4

4

α

−

π

=

D

J

,  м

4

 – момент  инерции  поперечного  сечения  А-А  (см.  рис. 3.1); 

)

1

(

64

2

4

α

−

π

=

D

F

–  площадь  поперечного  сечения  шнека  в  сечении  А-А,  м

2

; 

D

d

=

α

,  где  d –  диаметр 

осевого отверстия шнека, м. 

После подстановки значений J и F получим 

 

3.1.1. Расчет кон-
сольного шнекового 

G 

R

1 

М

кр 

S

ос

L

/2 

R

2 

L 

l 

q 

x 

y 

d

D

A 

A 

A

-А 

I 

II 

2

1

4

α

+

=

D

i

, м 

 

 

     (3.15) 

 

и по формуле (3.13) находим значение

λ. Если λ < 50, то расчет шнека проводим по первому вари-

анту, если 

λ ≥ 50, то по второму. 

Первый вариант расчета. Максимальные касательные напряжения на поверхности шнека 

p

кр

max

W

M

=

τ

, 

   

(3.16) 

 
где W

p

 – полярный момент сопротивления, м

3

: 

 

)

1

(

16

4

3

p

α

−

π

=

D

W

. 

 

Окончательно имеем 

 

)

1

(

16

4

3

кр

max

α

−

π

=

τ

D

M

,  Н/м

2

.   

          (3.17) 

 

Нормальные напряжения вызываются осевой силой S

ос

 и распределенной нагрузкой q. Макси-

мальные напряжения будут возникать в месте закрепления шнека (у первого подшипника) 

 

о

.

н

max

и

ос

max

W

M

F

S +

=

σ

,   

     (3.18) 

 
где M

и max

 – максимальный изгибающий момент от распределенной нагрузки шнека, Н 

⋅ м; W

н.о

 

– осевой момент сопротивления относительно нейтральной оси, м

3

: 

,

2

2

max

и

FL

M

γ

=

 

 
где 

γ = ρg, Н/м

3

; 

ρ – плотность материала шнека, кг/м

3

; g = 9,81 – ускорение свободного паде-

ния, м/с

2

; F – площадь поперечного сечения шнека, м

2

. 

С учетом значения площади поперечного сечения шнека 

 

)

1

(

4

4

2

α

−

π

=

D

F

 

 
изгибающий момент будет равен 
 

)

1

(

4

2

4

2

2

max

и

α

−

π

γ

=

D

L

M

. 

 

            (3.19) 

 

Осевой момент сопротивления относительно нейтральной оси 

 

)

1

(

32

4

3

н.о

α

−

π

=

D

W

. 

 

После подстановки соответствующих значений и преобразований уравнение (3.17) принимает вид 

 

)

1

(

)

1

(

)

1

(

4

4

2

4

2

4

ос

max

α

−

π

α

−

πγ

+

α

+

=

σ

D

D

L

S

.   

     (3.20) 

 

Условие прочности шнека по третьей теории прочности 

 

]

[

4

2

max

2

max

p

σ

≤

τ

+

σ

=

σ

, 

 
где 

]

[

σ

 – допускаемое для материала и заданных условий его работы напряжение, Н/м

2

. 

Максимальный прогиб шнека от распределенной нагрузки q 

 

EJ

qL

f

8

4

max

=

, 

 
где  E – модуль  упругости  материала  шнека,  Н/м

2

;  J – момент  инерции  поперечного  сечения 

шнека, м

4

. 

Второй вариант расчета. При продольно-поперечном изгибе уравнение изогнутой оси шнека 

 

.

и

2

2

M

dx

y

d

EJ

=

   (3.21) 

Уравнение изгибающего момента 

 

kx

k

Q

kx

M

kx

k

q

M

sin

cos

)

cos

1

(

н

н

2

и

+

+

−

=

, 

        (3.22) 

 

где параметр 

EJ

P

k

=

;  M

н

 – начальное  значение  изгибающего  момента  при  x = 0; Q

н

 – на-

чальное значение поперечной силы при x = 0, равное 

kL

kL

k

L

q

Q

cos

sin

1

н











 −

=

. 

 

         (3.23) 

 

Для изгибающего момента, подставив из этого уравнения значение Q

н

 в уравнение (3.22), по-

лучим 

 

0

sin

cos

sin

1

)

cos

1

(

2

и

=











 −

+

−

=

kx

kL

k

kL

k

L

q

kx

k

q

M

. (3.24) 

 

Для определения M

и max

 исследуем уравнение (3.23) на максимум 

 

0

cos

cos

sin

1

sin

и

=











 −

+

=

kx

kL

k

k

kL

k

L

q

kx

k

q

dx

dM

.           (3.25) 

 

После соответствующих преобразований получим 

 

kL

kL

kL

kx

cos

tg

tg

−

=

.   

       (3.26) 

 

Из  уравнения (3.25) находим  значение  x,  при  котором  изгибающий  момент  M

и

  будет  макси-

мальным, и по формуле (3.24) найдем величину максимального изгибающего момента M

и max

. 

Максимальные касательные напряжения на поверхности шнека 

 

p

кр

max

W

M

=

τ

.   

               (3.27) 

 

С учетом полярного момента сопротивления сечения шнека максимальное касательное напря-

жение будет 

 

)

1

(

16

4

3

кр

max

α

−

π

=

τ

D

M

.   

 

      (3.28) 

Максимальное нормальное напряжение от максимального осевого усилия S

ос 

и распределенной 

нагрузки q будет равно 

 

64

)

(

4

4

2

2

d

D

J

−

π

=

, 

 

 

    (3.29) 

 

где 

)

1

(

4

4

2

α

−

π

=

D

F

  и 

)

1

(

32

4

3

н.о

α

−

π

=

D

W

 – соответственно,  площадь  поперечного  сечения  шнека 

(м

2

) и осевой момент сопротивления (м

3

) относительно нейтральной оси. 

Условие прочности шнека по третьей теории прочности 

 

]

[

4

2

max

2

max

p

σ

≤

τ

+

σ

=

σ

. 

 
Максимальный  прогиб  шнека  f

max

 = y

max

  для  второго  варианта  расчета  определяется  следую-

щим образом. 

Подставим  значение  изгибающего  момента  из  уравнения (3.24) в  дифференциальное 

уравнение изогнутой оси шнека (3.21) и получим 

 

kx

A

kx

k

q

dx

y

d

EJ

sin

)

cos

1

(

2

2

2

+

−

=

,  

(3.30) 

где 

kL

k

kL

k

L

q

A

cos

sin

1











 −

=

. 

После  двойного  интегрирования  уравнения (3.30) и  нахождения  значений  постоянных  интег-

рирования С

1

 и С

2

 уравнение изогнутой оси шнека примет вид 

 

.

cos

sin

sin

cos

2

cos

sin

sin

cos

2

3

2

4

2

2

2

3

2

4

2

2

kL

k

AL

kL

k

qL

kL

k

A

kL

k

q

k

qL

x

k

pL

kL

k

A

kL

k

q

kx

k

A

kx

k

q

k

qx

EJy

−

−

+

−

+

+













−

+

+

−

+

=

,    (3.31) 

 
Максимальный прогиб шнека f

max

 = y

max

 будет при x = 0 и определится по формуле 

 

.

sin

1

cos

1

2

1

1

2

3

2

2

2

max





























−

−













+

−













+

=

kL

A

k

qL

k

kL

AL

k

q

k

L

k

k

q

EJ

f

 

 

 (3.32)