XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 31

 

 

 

 

 

20

14

 = 2

14

·10

14

  = 2

4

·2

10

·10

14

 ≈ 2

4

·10

3

·10

14

 =1,6·10

18 

 

Но с другой стороны, в 7 мл 5 микромолярного раствора исходного полипептида содержатся 
 

10

-6

·c·10

-3

·V·6·10

23

 = 6cV·10

14

 = 6·5·7·10

14

 = 210·10

14

 = 2,1·10

16

 молекул. 

 

Поскольку  количество  молекул  меньше  максимально  возможного  количества  вариантов 
полипептида,  полученная  комбинаторная  библиотека  имеет  размер  не  более  2,1·10

16

 

молекул. 
 

Решение задачи 5. Биомолекулярная карта памяти 

 

1.

 

Объем контейнера V = 1,1·1,5·0,1 = 0,165 см

3

. 

Масса ДНК m = a/100·V·ρ = 30·0,165·1,1 = 0,05445 г. 

Число нуклеотидов 

19

23

10

33

,

9

10

6

350

100

30

1

,

1

165

,

0















o

N

. 

 
Поскольку  каждый  нуклеотид  кодирует  2  бита  информации  (четырем  буквам 
нуклеотидов  можно  сопоставить  четыре  комбинации  двух  бит,  например, 
A=00,C=01,G=10,T=11),  то  общий  объем  закодированной  информации  равен  I  =  2N

о

 

или (не забывая, что в одном байте 8 бит) 2·9,33·10

19

/8/1,1·10

12

 ≈ 2,12·10

7

 Тбайт. 

 

2.

 

log

10

1000  =  3.  Точке  3  по  оси  абсцисс  соответствует  точка  3  по  оси  ординат, 

следовательно, для надежного хранения в течение T = 1000 лет необходимо иметь N 
= 1000 копий информации.  
 
Следовательно, можно хранить I

T=1000

 = I/N = 2,12·10

7

/1000 = 2,12·10

4

 Тбайт. 

 

 

242

 

 

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Решения. Более сложные задачи   

 

Решение задачи 6. Три нанотрубки углеродного тора 

 

1.

 

Нанотрубки: 
 



 

высота  развертки  сегмента  (семь  расстояний  между центрами  шестиугольников) 
равна  индексу хиральности нанотрубки Т1 – (7,0) (обращаем внимание, что один 
из индексов равен нулю); 



 

ширина малого прямоугольника развертки сегмента (характеризуется индексами 
хиральности  (1,1))  равна  1/6  развертки  нанотрубки  Т2,  то  есть,  эта  нанотрубка 
задается индексами (6,6); 



 

ширина  большого  прямоугольника  развертки  сегмента  (характеризуется 
индексами  хиральности  (2,2))  равна  1/6  развертки  нанотрубки  Т3,  то  есть,  эта 
нанотрубка задается индексами (12,12). 

Поскольку расстояние между центрами шестиугольников составляет

a

3

, то h = 

a

3

2

 

и w = 

a

3

5

,

1

, тогда z = 4/3. 

 

2.

 

Диаметр  цилиндра,  описанного  вокруг  шестиугольной  «гайки»,  равен  диаметру 
окружности,  описанной  вокруг  правильного  шестиугольника,  вершины  которого 
лежат  в  центрах  пятиугольных  циклов,  а  значит,  большой  диагонали  такого 
шестиугольника, то есть, удвоенному большому основанию трапеции:  
 

D = 2·6a = 1,68 нм. 

 

3.

 

 

а)

 

минимальные значения (n

2

,m

2

), (n

3

,m

3

); (3 балла) 

 

Индекс  n  для  нанотрубки  Т1,  согласно  выкройке  сегмента,  можно  связать  с 
другими параметрами следующим образом:  
 

3

a

n = 2h + 2w = 2wz + 2w = 2w(z + 1). 

 

То есть, 





9

2

1

2

3

11



 w

a

 и 

a

a

w

3

5

,

4

9

11

2

3

11







. 

При этом боковая сторона трапеции составляет  
 

a

a

w

w

l

o

9

3

3

5

,

4

2

3

2

30

cos











. 

 

Для нанотрубки Т1 (11,0) минимальной внутренней нанотрубкой будет Т2 (6,6). То 

есть, малая сторона трапеции равна 

a

a

l

3

3

6

6

3

2

1









. 

Тогда большая сторона трапеции составляет 
 

a

a

a

a

a

l

o

12

5

,

0

18

3

60

cos

9

2

3

2















. 

 

243

 

 

 

 

 

В тоже время, длина отрезка, задающего нанотрубку Т3, равна 

2

2

3

3

3

2

3

6

3

l

a

m

m

n

n







. 

 

Поскольку

3

3

m

n 

, то

2

2

3

6

3

3

l

a

n



, 

 

2

2

3

6

3

3

l

a

n



, 

24

12

2

2

2

3









a

a

a

l

n

, 

 

что отвечает минимальной нанотрубке Т3 (24,24). 

 

б)

 

общий вид (n

2

,m

2

), (n

3

,m

3

) для получающейся серии торов; (1 балл) 

 

Ширину  малого  прямоугольника  сегмента  можно  увеличить  только  с 
фиксированным  шагом  3a  (





k

a

l





1

3

1

,

0





k

),  что  приведет  к  увеличению 

ширины большого прямоугольника 









k

a

a

k

a

l











4

3

9

1

3

2

.  

Таким образом, получаем Т2 (6(1+k),6(1+k)) и Т3 (6(4+k),6(4+k)), 

0





k

. 

 

в)

 

число атомов углерода в наноторе из п.3а. (3 балла) 

 

Общая площадь поверхности нанотора – это сумма площадей секторов, площадь 
которых,  в  свою  очередь,  представляет  собой  сумму  площадей  двух 
прямоугольников и двух трапеций: 
 











 



 

 



1

6

6

5

,

0

5

,

0

6

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

























z

w

l

l

w

h

l

l

w

l

l

hl

w

l

l

hl

S

 





2

3

495

9

11

3

5

,

4

12

3

6

a

a

a

a

S









 

 

При этом на один атом углерода приходится площадь (как соотношение площади 
правильного  шестиугольника  и  6  атомов,  каждый  из  которых  принадлежит  трем 

шестиугольникам): 

2

2

3

4

3

3

3

6

60

sin

5

,

0

6

a

a

S

o







.  

 

Тогда общее число атомов в торе 

660

3

3

4

3

495

2

2

3







a

a

S

S

. 

 

4.

 

 

1)

 

Индекс  x

1

  для  нанотрубки  Т1,  согласно  выкройке  сегмента,  можно  связать  с 

другими параметрами следующим образом: 

3

a

x

1

 = 2h + 2w = 2wz + 2w = 2w(z 

+ 1). То есть, 









1

2

3

1





z

a

x

w

. При этом боковая сторона трапеции составляет 





1

3

2

1







z

a

x

w

l

. 

 

2)

 

Заметим,  что  нанотрубки  Т2  и  Т3  являются  зубчатыми,  причем,  поскольку  тор 
делится  на  шесть  равных  сегментов,  их  индексы  хиральности  можно  записать 
как Т2 (6x

2

,6x

2

) и Т3 (6x

3

,6x

3

). 

 

244

 

 

 

 

 

3)

 

То есть, малая сторона трапеции равна 

a

x

a

x

l

2

2

2

2

1

3

3

6

6

3









. 

 

4)

 

Тогда большая сторона составляет  









a

z

x

x

z

a

x

a

x

l

l

l

o































1

3

5

,

0

1

2

3

60

cos

2

1

2

1

2

1

2

. 

 

5)

 

В тоже время, длина отрезка, задающего нанотрубку Т3, равна  
 

 

 

2

2

3

3

3

2

3

6

3

6

6

6

6

l

a

x

x

x

x







. 

 

2

2

3

6

3

6

3

l

a

x



, 









1

3

3

1

3

3

1

2

1

2

2

3



























z

x

x

a

a

z

x

x

a

l

x

. 

 

6)

 

Для  нанотрубки  Т1  (x

1

,0)  минимальной  внутренней  нанотрубкой  будет  Т2  (6,6) 

(x

2

  =  1).  То  есть,  при  сворачивании  нанотрубки  заданным  z  мы  получаем 

минимальный тор с нанотрубкой Т3 (





1

2

6

1





z

x

,





1

2

6

1





z

x

). 

 

5.

 

Для z = 1 выполняется равенство x

1

 =

3

4

3

4

a

h

a

w 

.  

 

Для рассматриваемого типа развертки сегмента боковая сторона трапеции соединяет 
центры  семи-  и  пятиугольников,  соединенных  вершинами  через  ребро.  Увеличение 
такой  трапеции  возможно  только  путем  добавления  к  ее  боковой  стороне  пары 
«большая  диагональ  шестиугольника-ребро»,  то  есть,  3a.  Значит,  длину  боковой 
стороны  трапеции  можно  записать  как 

ba

w

w

l

o

3

3

2

30

cos







,  где 

0





b

,  и, 

следовательно, 

3

5

,

1 ba

w 

.  В  то  же  время,  необходимым  условием  является 

0

3





a

h

 (вершины прямоугольников лежат в центрах пяти- и семиугольников),  что 

при w = h приводит к условию b = 2c,

0





c

. 

 
Подставляя полученные условия, получаем x

1

 = 

 

c

a

ca

12

3

3

3

4





. 

 
То есть, параметр начальной трубки должен быть кратен 12. 

 

Решение задачи 7. Треугольник Серпинского 

 

1.

 

В  кластере  T

0

  содержится  n(n + 1)/2  атомов.  Поскольку  на  каждом  шаге  получения 

треугольника  Серпинского  количество  атомов  утраивается,  то  число  атомов  в 
кластере T

x

 в 3

x

 раз больше числа атомов в кластере T

0

: N = 3

x

·n(n + 1)/2. 

 

2.

 

Чтобы  сформировать  оптимальную  стратегию  поиска  n  и  x,  внимательно  посмотрим 
на  полученную  зависимость  N(n,x).  Очевидно,  что  3

x

,  n  и  (n  +  1)  –  это  делители  2N. 

Следовательно, необходимо разложить 2N на простые множители и среди множества 
их  произведений  искать  два  последовательных  натуральных  числа.  При  этом 

245

 

 

 

 

 

очевидно,  что  в  n  и  n  +  1  обязаны  войти  все  множители  2N,  отличные  от  троек, 
поэтому  поиск  пары  последовательных  чисел  необходимо  начинать  с  перебора 
величин, кратных этим множителям. 
 

2N = 2·10206 = 2·3·3402 = 2·3·3·1134 = 2·3·3·3·378 = 2·3·3·3·3·126 = 2·3·3·3·3·3·42 = 

2·3·3·3·3·3·3·14 = 3

6

·2

2

·7 

 

Проверим,  являются  ли  делителями  числа  2N  произведения  пар  последовательных 
чисел, одно из которых кратно 7: 
 

6·7 
не является 
(остается 2) 

13·14 
не является 
(нет 13) 

20·21 
не является 
(нет 5) 

27·28 
является, 
n = 27, x = 3  

41·42  
не является 
(нет 41) 

125·126 
не является 
(нет 5) 

7·8 
не является 
(есть только 2

2

) 

14·15 
не является 
(нет 5) 

21·22 
не является 
(нет 11) 

28·29 
не является 
(нет 29) 

42·43 
не является 
(нет 43) 

126·127 
не является 
(нет 127) 

 

Также  можно  проводить  поиск,  последовательно  деля  2N  на  3  и  каждый  раз  решая 
полученное  квадратное  уравнение  относительно  n,  при  этом,  если  квадратное 
уравнение  будет  иметь  решение  в  натуральных  числах  –  то  это  и  есть  решение 
задачи.  Однако  такой  алгоритм  является  более  трудоемким,  так  как  натуральные 
корни квадратного уравнения заведомо являются делителями 2N. 

 

3.

 

Сторона  такого  плоского  нанокластера  равна  L = 2

x

n  =  2

3

·27  =  216  атомов  золота. 

Размер  треугольного  нанокластера  с  длиной  ребра  L  атомов  равен  диаметру 
окружности, описанной вокруг такого нанокластера:  
 

D = 









r

L

r

r

L

R

2

3

4

3

4

2

3

1

2

2

2















 

D = 



















144

,

0

2

3

1

216

4

73,1 нм 

 
(нахождение  диаметра  окружности,  описанной  вокруг  треугольника,  вершины 
которого  лежат  в  центрах  атомов,  являющихся  вершинами  нанокластера  A,  и 
введение поправки на r, учитывающей отличие от модельного расчета). 

 

4.

 

Число атомов золота в нанокластере B составляет N

0

 = L(L + 1)/2 = 0,5·216·217 = 23436. 

Таким образом, чтобы получить нанокластер B, в нанокластер A надо добавить 
 

N

2

 = N

0

 – N = 23436 – 10206 = 13230 атомов золота. 

5.

 

 

а)

 

2N(Т

2

 (5)) = 5·6·3·3 = 5·2·3·3·3 = 10·9·3 = 2N(Т

1

 (9)) (N = 135, n

2

 = 9, x

2

 = 1). 

б)

 

2N(Т

4

 (10)) = 10·11·3·3·3·3 = 2·5·11·3·3·3·3 = 2·4455. 

 
Проверим пары последовательных чисел, одно из которых кратно 11: 

21·22 – нет 7 

32·33 – нет 2

4

 

43·44 – нет 43 

54·55 – подходит 

65·66 – нет 13 

22·23 – нет 23 

33·34 – нет 17 

44·45 – нет 2

2

 

55·56 – нет 7 

66·67 – нет 67 

 

54·55 = 2·3·3·3·5·11 
4455·2/54/55 = 3 
Таким образом, n

2

 = 54, x

2

 = 1 и N = 4455. 

246

 

 

 

 

 

Примечание:  решения  участников,  считавших,  что  кластер  T

0

  является  полым,  также 

оценивались: 

1.

 

N =  3(n – 1)·3

x

 атомов. 

2.

 

n = 15, x = 5 (а также n = 43, x = 4; n = 127, x = 3; n = 379, x = 2; n = 1135, x = 1). 

3.

 

L = 2

5

·15 = 480, D = 162,5 нм. 

4.

 

N

0

 = 0,5·480·481 = 115440, N

2

 =105234. 

5.

 

а) N = 108, n

2

 =13, x

2

 = 1. 

б) N =3

7

 = 2187, n

2

 = 4, x

2

 = 5; n

3

 = 28, x

3

 = 3; n

4

 = 82, x

4

 = 2; n

5

 = 243, x

5

 = 1. 

 

Решение задачи 8. Геометрия каркасных молекул 

 

1.

 

 
1)

 

Для 1 атомы Y образуют тетраэдр (4 симметричных вершины, в каждой из которых 
сходится по три ребра), для  2 – куб (8 вершин, в  каждой из  которых сходится по 
три ребра). 
Радиусы  описанных  сфер  для  таких  многогранников  (как  несложно  вывести) 
равны 

4

6A

R

тетр



  и 

2

3

A

R

куб



,  соответственно.  A  –  ребро  Платонова  тела, 

равное расстоянию YY в шестиугольнике X

4

Y

2

 (см. рис). 

 

 

 

2)

 

AB = BC = CD = a, 
AE = a·cos EAB



= 





2

2

2

90

cos

a

a

o





, 

A = AD = BC + 2AE =  





2

1

2

2

2







a

a

a

.  

 

3)

 

R(1) =











4

2

1

6

a

R

тетр

1,43a = 1,43 нм, 

R(2) =











2

2

1

3

a

R

куб

2,04a = 2,04 нм. 

 

2.

 

 

1)

 

Для 1 центры шестиугольных граней образуют октаэдр (6 граней X

4

Y

2

) со стороной 

B = A/2  (вершины этого октаэдра лежат в центрах ребер тетраэдра Y

4

, его ребра 

делят треугольную грань тетраэдра на четыре равных треугольника).  
 
Следовательно: 

r(1) = 















4

2

1

2

4

2

2

2

a

A

B

R

окт

0,84a  = 0,84 нм. 

 

2)

 

Для  2  центры  шестиугольных  граней  образуют  кубооктаэдр  (12  граней  X

4

Y

2

)  со 

стороной B = 

2

A

2

 (вершины этого кубооктаэдра лежат в центрах ребер куба Y

8

, 

его ребра отсекают от граней куба равные прямоугольные треугольники). Радиус 
описанной сферы равен 
 

r(2) = 















2

2

1

2

2

2

a

A

B

R

куб

1,68a = 1,68 нм. 

247

 

 

 

 

 

3.

 

 

1)

 

Каркас 3 состоит из 12 пятиугольников X

5

 и 30 шестиугольников X

4

Y

2

.  

 

2)

 

Площадь правильного пятиугольника составляет  
 

2

2

5

75

,

1

4

,

1

4

5

54

2

2

1

5

a

a

tg

a

a

S

o













. 

 

3)

 

Площадь шестиугольника X

4

Y

2

 равна удвоенной площади трапеции X

2

Y

2

: 

 

















2

2

6

38

,

2

2

2

2

2

2

1

45

sin

5

,

0

2

a

a

a

a

a

A

a

h

S

o























. 

 

4)

 

Общая  площадь  составляет 

2

2

2

6

5

4

,

92

38

,

2

30

75

,

1

12

30

12

a

a

a

S

S













,  что 

отвечает сфере радиусом R’ = 







a

a

S

45

,

7

4

4

,

92

4





2,7a. 

 

4.

 

 

1)

 

Обозначим  массу  фрагмента  X

3

Y  как  m

1

,  тогда  m(X

12

Y

4

)  =  4m

1

,  m(X

24

Y

8

)  =  8m

1

, 

m(X

60

Y

20

) = 20m

1

. 

2)

 

Пусть плотность лекарства равна ρ, тогда его масса составляет 















3

R

3

4

V

m

, где для каждого из каркасов соответственно R’: 
 

R’(1) = 0,5(R(1) + r(1)) = 0,5(1,43 +0,84) = 1,14 нм, 
R’(2) = 0,5(R(2) + r(2)) = 0,5(2,04 +1,68) = 1,86 нм. 

 

3)

 

Запишем 

n

Y

X

m

R

m

m

z

)

(

3

3

3

4















. 

 

Тогда z

1

:z

2

:z

3

 = 

20

(3)

'

:

8

(2)

'

:

4

(1)

'

20m

(3)

'

3

4

:

8m

(2)

'

3

4

:

4m

(1)

'

3

4

3

3

3

1

3

1

3

1

3

R

R

R

R

R

R





















 

 

3

3

3

3

2

1

(3)

'

R

2

:

(2)

'

R

5

:

(1)

'

R

10

z

:

z

:

z



 

3

3

3

3

2

1

(2,7)

2

:

5(1,86)

:

(1,14)

10

z

:

z

:

z



 

z

1

 : z

2

 : z

3

 ≈ 14,82 : 32,17 : 39,37 

z

1

 : z

2

 : z

3

 ≈ 4:9:11 

 
 

 

 

248

 

 

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Простые задачи (вариант 1) 

 

Задача 1. Сверхпрочная паутина 
 

В  результате  эксперимента  с  пауками,  спрыснутыми  содержащей  углеродные  нанотрубки 
водой, учеными была получена уникальная сверхпрочная паутина с модулем Юнга в 15 раз 
большим, чем у обычной паутины. 
 

 

 

1.

 

На сколько миллиметров будут различаться  удлинение одной  нити  такой усиленной 
углеродными нанотрубками паутины Δl

CNT

 по сравнению с удлинением нити обычной 

паутины,  равном  Δl

o

 = 3  мм,  если  к  этим  нитям  прикладывать  одну  и  ту  же 

растягивающую силу? (3 балла) Что при этом будет больше: Δl

CNT

 или Δl

o

? (1 балл) При 

расчетах  полагать,  что  исходная  длина  обеих  нитей  была  одинаковой,  а  их  диаметр 
был постоянным и составлял 7 мкм. 
 

2.

 

Какова  максимальная  масса  груза,  который  сможет  выдержать  исследуемая 
усиленная  углеродными  нанотрубками  нить,  если  ее  предел  прочности  составляет 
σ

0

 = 2 ГПа? (4 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 2. Ротор из ДНК 
 

 

 

Ученые из Мюнхена изобрели новый тип  наномотора: его ротор состоит из молекулы ДНК, 
закрепленной  на  полимерной  подложке.  Для  поворота  наномотора  они  приложили 
однородное  электрическое поле, направленное перпендикулярно ротору. 

249