XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 29

 

 

 

 

 

Биомолекула ДНК представляет собой цепочку, записанную 4 буквами нуклеотидов (ACGT), и 
несет  в  себе  наследственную  информацию.  Она  является  перспективным  нано-носителем 
для записи и длительного хранения данных. 
 

1.

 

Сколько  информации  (в  Тбайт)  можно  хранить  на  носителе,  представляющем  собой 
параллелепипед  с  размерами,  как  у  microSD  карточки  памяти  (см.  рисунок), 
заполненный  молекулами  ДНК,  занимающими  20%  от  его  объема?  Известно,  что 
6·10

23

  нуклеотидов  в  составе  ДНК  имеют  массу  в  среднем  350  г.  Считать  плотность 

ДНК  равной  1,1  г/см

3

,  цепочку  нуклеотидов  –  одинарной,  1  Тбайт  равным 

1,1·10

12 

байт. (5 баллов) 

 

2.

 

Молекула  ДНК  при  хранении  медленно  разрушается,  поэтому,  чтобы  через  время  T 
информацию можно было надежно считать, необходимо иметь N копий одинаковых 
цепочек  (см.  график  N(T)).  Сколько  информации  можно  записать  на носитель  из  п.1, 
если ее необходимо надежно хранить в течение T = 1000 лет? (3 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

 

 

226

 

 

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Простые задачи (вариант 2) 

 

Задача 1. Многогранники из ромбов 

 
Рассмотрим  кластер,  поверхность  которого  представляет  собой  F  ромбов,  а  все  вершины 
можно поделить на два типа, в которых сходятся a и b ребер, соответственно. 
 

 

 
Для некоторого кластера X разность b – a = 1. 
 

1.

 

Найдите все возможные пары значений a и b. Ответ обоснуйте. (4 балла) 
 

2.

 

Опишите кластер X (найдите число ребер E, вершин V, а также число вершин каждого 
типа), для F = 14. (4 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 2. Пирамида из шестиугольников 

 

 

 
Некоторый  нанокластер  представляет  собой  шестиугольную  пирамиду,  сложенную,  как 
изображено  на  рисунке,  из  касающихся  друг  друга  n  плотноупакованных  слоев  атомов 
(показан пример для n = 4). 
 

1.

 

Найдите число атомов в кластере для n = 34. (5 баллов) 
 

2.

 

Найдите размер пирамиды как радиус описанной вокруг кластера сферы, если атомы 
имеют радиус a = 0,14 нм. (3 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 3. Наночастицы серебра  

 
Для получения нового лекарства юный химик приготовил суспензию из наночастиц серебра 
в  1  литре  воды.  Затем  он  при  помощи  пипетки  отобрал  1  мл  полученной  суспензии  и 
поместил  его  в  мерную  колбу  объемом  100  мл  и  долил  в  эту  колбу  воды  до  метки. 
Операцию  разведения  (отбор  1  мл  и  доведение  до  100  мл)  он  повторил  еще  7  раз,  после 

227

 

 

 

 

 

чего  разлил  итоговую  суспензию  по  100  одинаковым  пробиркам.  Проведя  анализ,  юный 
химик установил, что 64 пробирки не содержат ни одной серебряной наночастицы. Оцените 
радиус  сферических  наночастиц  серебра  r  (нм),  если  известно,  что  величина  исходной 
навески  равна  42  мг,  плотность  серебра  составляет  10,5  г/см

3

.  Считайте,  что  при  всех 

операциях наночастицы распределяются по объему суспензии равномерно. 
 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 4. Комбинаторная библиотека полипептидов 
 

 

 

Для  создания  комбинаторной  библиотеки

1

  юный  нанотехнолог  Полуэкт  взял  V  =  10,5  мл 

раствора полипептида A

2

, один литр которого содержит c = 3 микромоль полипептида. Затем 

он провел химическую реакцию со смесью аминокислот, в ходе которой к каждой молекуле 
полипептида  случайным  образом  присоединялась  одна  из  20  аминокислот  (см.  схему). 
Найдите максимальный размер комбинаторной библиотеки, которую мог получить Полуэкт, 
если с полипептидом A он последовательно провел n = 13 таких реакций. Ответ обоснуйте. 
 
В одном моле полипептида содержится 6·10

23

 молекул. 

 

1

 Представляет  собой  в  данном  случае  смесь  большого  числа  различных  пептидных 

последовательностей, среди которых можно искать новые лекарства. 

2

 Представляет собой известную последовательность из a = 13 аминокислот. 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 5. Биомолекулярная карта памяти  

 

 

 

228

 

 

 

 

 

Биомолекула ДНК представляет собой цепочку, записанную 4 буквами нуклеотидов (ACGT), и 
несет  в  себе  наследственную  информацию.  Она  является  перспективным  нано-носителем 
для записи и длительного хранения данных. 
 

1.

 

Сколько  информации  (в  Тбайт)  можно  хранить  на  носителе,  представляющем  собой 
параллелепипед  с  размерами,  как  у  microSD  карточки  памяти  (см.  рисунок), 
заполненный  молекулами  ДНК,  занимающими  20%  от  его  объема?  Известно,  что 
6·10

23

  нуклеотидов  в  составе  ДНК  имеют  массу  в  среднем  350  г.  Считать  плотность 

ДНК  равной  1,1  г/см

3

,  цепочку  нуклеотидов  –  одинарной,  1  Тбайт  равным  1,1·10

12

 

байт. (5 баллов) 
 

2.

 

Молекула  ДНК  при  хранении  медленно  разрушается,  поэтому,  чтобы  через  время  T 
информацию можно было надежно считать, необходимо иметь N копий одинаковых 
цепочек  (см.  график  N(T)).  Сколько  информации  можно  записать  на носитель  из  п.1, 
если ее необходимо надежно хранить в течение T = 100 лет? (3 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 
 

 

229

 

 

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Простые задачи (вариант 3) 

 

Задача 1. Многогранники из ромбов 

 
Рассмотрим  кластер,  поверхность  которого  представляет  собой  F  ромбов,  а  все  вершины 
можно поделить на два типа, в которых сходятся a и b ребер, соответственно. 
 

 

 
Для некоторого кластера X разность b – a = 1. 
 

1.

 

Найдите все возможные пары значений a и b. Ответ обоснуйте. (4 балла) 
 

2.

 

Опишите кластер X (найдите число ребер E, вершин V, а также число вершин каждого 
типа), для F = 16. (4 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 2. Пирамида из шестиугольников 

 

 

 
Некоторый  нанокластер  представляет  собой  шестиугольную  пирамиду,  сложенную,  как 
изображено  на  рисунке,  из  касающихся  друг  друга  n  плотноупакованных  слоев  атомов 
(показан пример для n = 4). 
 

1.

 

Найдите число атомов в кластере для n = 36. (5 баллов) 
 

2.

 

Найдите размер пирамиды как радиус описанной вокруг кластера сферы, если атомы 
имеют радиус a = 0,14 нм. (3 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 3. Наночастицы серебра  

 
Для получения нового лекарства юный химик приготовил суспензию из наночастиц серебра 
в  1  литре  воды.  Затем  он  при  помощи  пипетки  отобрал  1  мл  полученной  суспензии  и 
поместил  его  в  мерную  колбу  объемом  100  мл  и  долил  в  эту  колбу  воды  до  метки. 
Операцию  разведения  (отбор  1  мл  и  доведение  до  100  мл)  он  повторил  еще  7  раз,  после 

230

 

 

 

 

 

чего  разлил  итоговую  суспензию  по  100  одинаковым  пробиркам.  Проведя  анализ,  юный 
химик установил, что 28 пробирок не содержат ни одной серебряной наночастицы. Оцените 
радиус  сферических  наночастиц  серебра  r  (нм),  если  известно,  что  величина  исходной 
навески  равна  84  мг,  плотность  серебра  составляет  10,5  г/см

3

.  Считайте,  что  при  всех 

операциях наночастицы распределяются по объему суспензии равномерно. 
 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 4. Комбинаторная библиотека полипептидов 
 

 

 

Для  создания  комбинаторной  библиотеки

1

  юный  нанотехнолог  Полуэкт  взял  V  =  7  мл 

раствора полипептида A

2

, один литр которого содержит c = 5 микромоль полипептида. Затем 

он провел химическую реакцию со смесью аминокислот, в ходе которой к каждой молекуле 
полипептида  случайным  образом  присоединялась  одна  из  20  аминокислот  (см.  схему). 
Найдите максимальный размер комбинаторной библиотеки, которую мог получить Полуэкт, 
если с полипептидом A он последовательно провел n = 14 таких реакций. Ответ обоснуйте. 
 
В одном моле полипептида содержится 6·10

23

 молекул. 

 

1

 Представляет  собой  в  данном  случае  смесь  большого  числа  различных  пептидных 

последовательностей, среди которых можно искать новые лекарства. 

2

 Представляет собой известную последовательность из a = 11 аминокислот. 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 5. Биомолекулярная карта памяти  

 

 

 

231

 

 

 

 

 

Биомолекула ДНК представляет собой цепочку, записанную 4 буквами нуклеотидов (ACGT), и 
несет  в  себе  наследственную  информацию.  Она  является  перспективным  нано-носителем 
для записи и длительного хранения данных. 
 

1.

 

Сколько  информации  (в  Тбайт)  можно  хранить  на  носителе,  представляющем  собой 
параллелепипед  с  размерами,  как  у  microSD  карточки  памяти  (см.  рисунок), 
заполненный  молекулами  ДНК,  занимающими  30%  от  его  объема?  Известно,  что 
6·10

23

  нуклеотидов  в  составе  ДНК  имеют  массу  в  среднем  350  г.  Считать  плотность 

ДНК  равной  1,1  г/см

3

,  цепочку  нуклеотидов  –  одинарной,  1  Тбайт  равным  1,1·10

12

 

байт. (5 баллов) 
 

2.

 

Молекула  ДНК  при  хранении  медленно  разрушается,  поэтому,  чтобы  через  время  T 
информацию можно было надежно считать, необходимо иметь N копий одинаковых 
цепочек  (см.  график  N(T)).  Сколько  информации  можно  записать  на носитель  из  п.1, 
если ее необходимо надежно хранить в течение T = 1000 лет? (3 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

 

232

 

 

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Простые задачи (вариант 4) 

 

Задача 1. Многогранники из ромбов 

 
Рассмотрим  кластер,  поверхность  которого  представляет  собой  F  ромбов,  а  все  вершины 
можно поделить на два типа, в которых сходятся a и b ребер, соответственно. 
 

 

 
Для некоторого кластера X разность b – a = 1. 
 

1.

 

Найдите все возможные пары значений a и b. Ответ обоснуйте. (4 балла) 
 

2.

 

Опишите кластер X (найдите число ребер E, вершин V, а также число вершин каждого 
типа), для F = 18. (4 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 2. Пирамида из шестиугольников 

 

 

 
Некоторый  нанокластер  представляет  собой  шестиугольную  пирамиду,  сложенную,  как 
изображено  на  рисунке,  из  касающихся  друг  друга  n  плотноупакованных  слоев  атомов 
(показан пример для n = 4). 
 

1.

 

Найдите число атомов в кластере для n = 38. (5 баллов) 
 

2.

 

Найдите размер пирамиды как радиус описанной вокруг кластера сферы, если атомы 
имеют радиус a = 0,14 нм. (3 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 3. Наночастицы серебра  

 
Для получения нового лекарства юный химик приготовил суспензию из наночастиц серебра 
в  1  литре  воды.  Затем  он  при  помощи  пипетки  отобрал  1  мл  полученной  суспензии  и 
поместил  его  в  мерную  колбу  объемом  100  мл  и  долил  в  эту  колбу  воды  до  метки. 
Операцию  разведения  (отбор  1  мл  и  доведение  до  100  мл)  он  повторил  еще  7  раз,  после 

233