XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 30

 

 

 

 

 

чего  разлил  итоговую  суспензию  по  100  одинаковым  пробиркам.  Проведя  анализ,  юный 
химик установил, что 70 пробирок не содержат ни одной серебряной наночастицы. Оцените 
радиус  сферических  наночастиц  серебра  r  (нм),  если  известно,  что  величина  исходной 
навески  равна  84  мг,  плотность  серебра  составляет  10,5  г/см

3

.  Считайте,  что  при  всех 

операциях наночастицы распределяются по объему суспензии равномерно. 
 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 4. Комбинаторная библиотека полипептидов 
 

 

 

Для  создания  комбинаторной  библиотеки

1

  юный  нанотехнолог  Полуэкт  взял  V  =  20  мл 

раствора полипептида A

2

, один литр которого содержит c = 6 микромоль полипептида. Затем 

он провел химическую реакцию со смесью аминокислот, в ходе которой к каждой молекуле 
полипептида  случайным  образом  присоединялась  одна  из  20  аминокислот  (см.  схему). 
Найдите максимальный размер комбинаторной библиотеки, которую мог получить Полуэкт, 
если с полипептидом A он последовательно провел n = 14 таких реакций. Ответ обоснуйте. 
 
В одном моле полипептида содержится 6·10

23

 молекул. 

 

1

 Представляет  собой  в  данном  случае  смесь  большого  числа  различных  пептидных 

последовательностей, среди которых можно искать новые лекарства. 

2

 Представляет собой известную последовательность из a = 9 аминокислот. 

 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 5. Биомолекулярная карта памяти  

 

 

 

234

 

 

 

 

 

Биомолекула ДНК представляет собой цепочку, записанную 4 буквами нуклеотидов (ACGT), и 
несет  в  себе  наследственную  информацию.  Она  является  перспективным  нано-носителем 
для записи и длительного хранения данных. 
 

1.

 

Сколько  информации  (в  Тбайт)  можно  хранить  на  носителе,  представляющем  собой 
параллелепипед  с  размерами,  как  у  microSD  карточки  памяти  (см.  рисунок), 
заполненный  молекулами  ДНК,  занимающими  30%  от  его  объема?  Известно,  что 
6·10

23

  нуклеотидов  в  составе  ДНК  имеют  массу  в  среднем  350  г.  Считать  плотность 

ДНК  равной  1,1  г/см

3

,  цепочку  нуклеотидов  –  одинарной,  1  Тбайт  равным  1,1·10

12

 

байт. (5 баллов) 
 

2.

 

Молекула  ДНК  при  хранении  медленно  разрушается,  поэтому,  чтобы  через  время  T 
информацию можно было надежно считать, необходимо иметь N копий одинаковых 
цепочек  (см.  график  N(T)).  Сколько  информации  можно  записать  на носитель  из  п.1, 
если ее необходимо надежно хранить в течение T = 100 лет? (3 балла) 

 
Всего – 8 баллов 
 

 

235

 

 

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Более сложные задачи   

 

Задача 6. Три нанотрубки углеродного тора 

 

 

 

Рис.1 а) Симметричный  углеродный нанотор типа «гайка», состоящий из шести 

одинаковых сегментов, может быть получен из углеродной нанотрубки Т1, которой 

придали прямоугольную форму с отношением высоты к ширине z = h/w. При этом 

внутренняя и внешняя поверхности такого нанотора также представляют собой 

фрагменты нанотрубок Т2 и Т3, соответственно. 

б) Выкройка сегмента симметричного нанотора на листе графена может быть 

представлена в виде двух прямоугольников (фрагментов нанотрубок Т2 и Т3), 

соединенных одинаковыми трапециями, боковые стороны которых соединяют центры 

семи- и пятиугольных циклов. 

 

1.

 

Для  нанотора  (рис. 1)  определите  индексы  хиральности  нанотрубок  Т1 (n

1

,m

1

), 

Т2 (n

2

,m

2

) и Т3 (n

3

,m

3

), а также z. (3 балла) 

 

2.

 

Оцените  размер  этого  нанотора  как  диаметр  цилиндра,  описанного  вокруг  боковой 
поверхности. Атомы углерода считать точечными, длину связи С–С равной a = 0,14 нм. 
(1 балл) 

 

3.

 

Для нанотрубки Т1 (11,0) и z = 2/9 найдите: 

а)

 

минимальные значения (n

2

,m

2

), (n

3

,m

3

); (3 балла) 

б)

 

общий вид (n

2

,m

2

), (n

3

,m

3

) для получающейся серии торов; (1 балл) 

в)

 

число атомов углерода в наноторе из п.3а. (3 балла) 
 

4.

 

Из  нанотрубки  Т1 (x

1

,0)  и  параметром  z  был  получен  самый  маленький  нанотор. 

Выведите в общем виде зависимости индексов хиральности (n

2

,m

2

) и (n

3

,m

3

) от x

1

 и z. 

(5 баллов) 
 

5.

 

Чему должно быть кратно x

1

 у наноторов с z = 1? Ответ обоснуйте. (4 балла) 

 

236

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2. Почти любая пара шестиугольников на графеновом листе может задавать 

углеродную нанотрубку. Зафиксируем центр первого шестиугольника в точке O. 

Расположение второго шестиугольника (X) относительно первого можно задать парой 

натуральных чисел (n,m) являющихся его координатами в «скошенной» системе 

координат и называющихся индексами хиральности нанотрубки. Линии разреза 

развертки перпендикулярны OX. 

На рисунке приведен пример развертки нанотрубки (4,3). 

 

Всего – 20 баллов 
 

Задача 7. Треугольник Серпинского 

 

 

 
Рассмотрим плоский треугольный нанокластер T

0

, ребро которого содержит n атомов золота 

(на  рис. а  показан  пример  для  n  =  2).  Из  трех  таких  нанокластеров  можно  собрать  (как 
показано  на  рис.  б)  новый  треугольный  нанокластер  –  T

1

.  Повторив  для  T

1

  процедуру 

складывания трех треугольников,  получаем треугольный нанокластер T

2

, из T

2

 получаем T

3

, 

и так далее вплоть до фрактального треугольника Серпинского T

x

. 

 

1.

 

Сколько  атомов  N  будет  содержаться  в  нанокластере  T

x

  в  зависимости  от  n  и  x? 

(3 балла) 
 

2.

 

Установите  n  и  x  для  золотого  нанокластера  A  с  N = 10206.  Опишите  оптимальную 
стратегию их поиска. (5 баллов) 

 

3.

 

Рассчитайте  размер  нанокластера  A  (как  диаметр  описанной  вокруг  треугольника 
окружности), если радиус атома золота равен r = 0,144 нм. (3 балла) 

 

4.

 

Сколько  атомов  золота  надо  добавить  в  нанокластер  A,  чтобы  получить  полностью 
заполненный плоский треугольный нанокластер B того же размера? (3 балла) 

 
Изомерными называются нанокластеры, имеющие одинаковое число атомов N, но разные n 
и x: 

 





 





2

1

2

1

n

T

N

n

T

N

x

x



. 

 

237

 

 

 

 

 

5.

 

Рассчитайте N и найдите n

2

 и x

2

, отвечающие изомерам нанокластеров: 

 

а)

 

Т

2

 (5) (2 балла); 

б)

 

Т

4

 (10) (4 балла). 

 
Всего – 20 баллов 
 

Задача 8. Геометрия каркасных молекул  

 
Методом  самосборки  из  k-валентных  k-угольников  (3, 4, 5-угольных  фрагментов  X)  и 
трехвалентного  фрагмента  Y  можно  получить  всего  три  типа  высокосимметричных 
каркасных молекул: 

(1) X

12

Y

4

   

(2) X

24

Y

8

  (3) X

60

Y

20

 

 

1.

 

Рассчитайте размеры молекул 1 и 2 как радиусы описанных сфер. (5 баллов) 
 

2.

 

Рассчитайте радиусы вписанных в молекулы 1 и 2 сфер. (5 баллов) 

 

3.

 

Примерно оцените размер молекулы 3. (5 баллов) 

 

4.

 

При  сборке  каркасов  в  присутствии  лекарства  такие  молекулы  включают  его  во 
внутреннюю полость. Рассчитайте соотношение z(1):z(2):z(3), где z – отношение массы 
лекарства к массе оболочки. (5 баллов) 

 
Считать, что: 
 



 

расстояния X–X и X–Y равны a = 1 нм; 



 

o

XYX

90





; 



 

для  молекул  1  и  2  описанная  сфера  касается  атомов  Y,  а  вписанная  –  центров 
шестиугольных граней; 



 

для молекул 1 и 2 радиус внутренней полости равен полусумме радиусов вписанной 
и описанной сфер; 



 

молекулы лекарства занимают весь объем внутренней полости без промежутков. 

 
Вспомогательная информация: 
 



 

Теорема  Эйлера  для  выпуклого  многогранника:  V – E + F = 2,  где  V,  E,  F  –  это, 
соответственно, число вершин, рёбер и граней многогранника. 



 

4

,

1

2 

, 

7

,

1

3 

, 

2

,

2

5 

, 

7

,

2

7 

, 

3

,

3

11 

 



 

sin36º ≈ 0,59, cos36º ≈ 0,81,  tg54° ≈ 1,4 



 

При расчетах π считать равным 3,1. 

238

 

 

 

 

 



 

Формула суммы квадратов последовательности натуральных чисел 1, 2, …, n: 







6

1

+

2n

1

+

n

n

1

2









n

m

m

m

. 

 

 

 
Всего – 20 баллов 

 

 

239

 

 

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Решения. Простые задачи (вариант 3) 

 

Решение задачи 1. Многогранники из ромбов 

 

1.

 

В состоящем из ромбов многограннике число ребер составляет E = 4·F/2 = 2F (каждой 
грани принадлежит четыре ребра, но каждое ребро принадлежит двум граням). 
 
Воспользовавшись теоремой Эйлера для выпуклых многогранников, выразим общее 
число вершин:  V = 2 – F + E = 2 – F + 2F = 2 + F. 
 
Поскольку  каждое  ребро  соединяет  две  вершины,  то  среднее  число  ребер, 
приходящееся на одну вершину, будет 2E/V = 4F/V = 4F/(2 + F) = 4/(1+2/F). 
 
Полученное  среднее  значение  заведомо  больше  a  (поскольку  по  условию  b  –  a  =  1, 
следовательно,  a < b), следовательно, a < 4/(1+2/F). 
 
C другой стороны, для любого натурального F выражение 4/(1+2/F) < 4. 
 
Следовательно,  a  <  4.  Поскольку  в  любой  вершине  многогранника  сходятся  более 
двух  ребер,  единственное  решение  a  =  3  и  b  =  4.  Пример  такого  многогранника 
показан на рисунке. 

 

 

 

2.

 

Обозначим  x  число  вершин,  в  которых  сходятся  a  =  3  ребра  и  y  число  вершин,  в 
которых сходятся b = 4 ребра. Составим систему уравнений: 
 

ax/2 + by/2 = 3x/2 + 4y/2 = E = 2F = 32 (общее число ребер) 

и x + y = V = 2 + F = 18 (общее число вершин), 

 

Решая, получаем x = 4(2 + F) – 4F = 8 и у = 4F – 3(2 + F) = F –  6 = 10. 
 

Решение задачи 2. Пирамида из шестиугольников 

 

1.

 

Число  атомов  в  плоском  шестиугольном  кластере  со  стороной  n  атомов  металла 
можно  представить  как  сумму  атомов  металла  в  шести  треугольных  кластерах  со 
стороной n – 1 атомов (число атомов в треугольнике с ребром m представляет собой 

сумму  ряда  натуральных  чисел  от  1  до  m: 





1

5

,

0

1









m

m

k

T

m

m

)  и  одного 

центрального атома: 





1

3

3

1

1

3

1

6

2

1



















n

n

n

n

T

N

n

n

. 

 

 

 

240

 

 

 

 

 

Тогда в пирамиде всего 















3

1

2

2

1

3

6

1

2

1

3

1

3

3

n

n

n

n

n

n

n

m

m

P

n

n























= 46656 атомов. 

 

 

 

2.

 

Рассмотрим  шестиугольную  пирамиду,  вершины  которой  лежат  в  центрах  атомов 
образующих вершины нанокластера. 
 

1)

 

Радиус  окружности,  описанной  вокруг  шестиугольного  основания  пирамиды, 
равен сумме n – 1 расстояний между центрами атомов R

6

 = 2a(n – 1) = 9,8 нм. 

2)

 

По  условию,  атомы  металла  из  соседних  слоев  касаются  друг  друга,  значит, 
высота пирамиды также  равна сумме n – 1 расстояний между центрами атомов 





1

n

a

2

H





= 9,8 нм. 

3)

 

Поскольку  высота  этой  пирамиды  равна  радиусу  окружности,  описанной  вокруг 
ее  основания,  то  радиус  сферы,  описанной  вокруг  пирамиды,  равен  радиусу 
окружности, описанной вокруг основания: R = H = R

6

 = 2a(n – 1) = 9,8 нм. 

4)

 

Радиус  сферы  R’,  описанной  вокруг  кластера,  будет  больше  R  на  радиус  атома, 
значит: R’ = R + a = 2a(n – 1) + a = a(2n – 1) = 9,94 нм 

 

Решение задачи 3. Наночастицы серебра 

 
После последнего шага разбавления в суспензии содержится n

1

 = 100 – 28 = 72 наночастицы. 

Таким образом, концентрация на этом шаге равна c

x

 = n

1

/100 = 72/100 = 0,72 наночастиц/мл. 

Каждый из x шагов разбавления уменьшает концентрацию наночастиц в суспензии в 100 раз. 
Тогда  концентрация  после  первого  шага  равна  c

1

 = c

x

·10

2x

 = 0,72·10

2·(7+1)

 = 72·10

14

 

наночастиц/мл. 
 
Всего в исходной суспензии было n

2

 = V

s

c

1

 = 1000·72·10

14

 = 72·10

17

 наночастиц. 

Масса одной сферической частицы m

1

 = V

1

ρ = 4πr

3

ρ/3 = 4·3,1r

3

10,5/3 = 43,4r

3

 г. 

Их общая масса m = m

1

n

2

 = 43,4r

3

·72·10

17

 = 3,12·10

20

r

3

 г. 

 
Тогда радиус одной частицы  составляет  
 

8

8

3

3

20

3

10

5

,

6

10

269

10

3,12

10

84





















r

см или 0,65 нм. 

 

Решение задачи 4. Комбинаторная библиотека полипептидов 

 
После  первой  реакции  можно  получить  максимум  20  различных  полипептидов,  после 
второй реакции, каждый из этих полученных 20 полипептидов может образовать максимум 
20 новых полипептидов, …, после n-ой стадии таким способом можно получить не более 20

n

 

полипептидов. 
 

241