XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 16

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 6. Дифракция на нанокристаллах 

 

1.

 

Сложность  в  том,  как  правильно  определить  угол  дифракции.  Угол  между  двумя 
векторами на рисунке 2 – это удвоенный угол дифракции 2θ, в то время как в условие 
Вульфа-Брэггов входит именно угол дифракции θ: 
 

              

 
Полагая  порядок  дифракции  n = 1  (т.к.  ближе  к  оси  пучка  других  рефлексов  нет), 
получаем для межплоскостного расстояния: 
 

   

 

       

 

 

      (

 

       

 

   ) 

          

 

2.

 

Так  как  нанокристаллы  в  пленке  разупорядочены,  т.е.  не  имеют  определенной 
ориентации,  то  вместо  точечных  рефлексов  будут  наблюдаться  темные 
дифракционные кольца радиуса h. 

 

122

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 7. Фотоэлектронная спектроскопия наноматериалов 

 
Одним  из  методов  диагностики  структуры  материалов  является  рентгеновская 
фотоэлектронная  спектроскопия  (РФЭС).  Этот  метод  позволяет  получать  информацию  о 
составе и характере взаимодействия атомов в тонком приповерхностном слое исследуемого 
образца.  Анализируемая  глубина  составляет  обычно  не  более  5  нм,  что  позволяет 
эффективно  применять  РФЭС  для  исследования  наноструктурированных  материалов.  Под 
действием  рентгеновского  излучения  атомы  вещества  эмитируют  фотоэлектроны, 
распределение которых по их кинетическим энергиям представляет собой фотоэлектронный 
спектр.  Из  полученных  спектров  можно  определить  энергию  связи  внутренних  (остовных) 
электронов, зависящую как от заряда ядра атомов (порядкового номера элемента), так и от 
их степени окисления, что позволяет определять не только элементный состав образца, но и 
характер  химических  связей  между  атомами.  Дополнительно  для  изучения  распределения 
атомов по глубине образца может применяться ионное травление, которое позволяет, в том 
числе, избавиться от возможных загрязнений исследуемой поверхности или присутствующих 
на ней чужеродных пленок. 
 

1.

 

В  эксперименте  методом  РФЭС  исследовалась  тонкая  пленка,  содержащая 

распределенные в слое диоксида кремния нанокристаллы кремния, покрытая сверху 
дополнительным защитным слоем стехиометрического диоксида кремния. Пользуясь 
полученными  при  исследовании  поверхностного  слоя  SiO

2

  спектрами  РФЭС  (см.  рис. 

1), оценить энергию связи электронов Si 2p-уровней, если известно, что энергия связи 
электронов О 1s-уровней составляет ~ 533 эВ. (5 баллов)   

 

2.

 

После  стравливания  поверхностного  слоя  SiO

2

  ионным  пучком  и  измерения  спектра 

РФЭС  исследуемой  пленки  с  нанокристаллами  кремния  в  области  энергий  Si  2p 
фотоэлектронов  было  замечено,  что  в  спектре  появился  дополнительный  пик  с 
энергией  около  1387  эВ  (см.  рис.  2).  Объяснить  наблюдаемое  качественное 
изменение спектра. (5 баллов) 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1 

Рис. 2 

 
Всего – 10 баллов 

123

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 7. Фотоэлектронная спектроскопия наноматериалов 

 

1.

 

Принцип,  лежащий  в  основе  метода  РФЭС,  –  явление  фотоэффекта,  т.е.  выбивание 
электронов  из  поверхностного  слоя  вещества  под  действием  падающих  квантов 
электромагнитного  излучения.  Энергию  связи  эмитированных  фотоэлектронов 
определяют из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: 
 

      

     

   

   

 

 

На рис. 1 имеем два пика с энергиями около 954 эВ ( 

   

 1 

) и 1383.5 эВ ( 

   

    

). Исходя 

из  того,  что  оба  пика  получены  в  одном  эксперименте,  т.е.  при  одной  и  той  же 
энергии  квантов    ,  получаем  выражение  для  энергии  связи  электронов  Si  2p-
уровней: 
 

 

     

    

   

     

 1 

   

   

 1 

   

   

    

                                

 
Таким образом, наблюдаемые в РФЭС спектрах на рис. 1 пики соответствуют атомам 
Si и O, связанным между собой ковалентной полярной связью в диоксиде кремния.  

 
 

2.

 

Появление  дополнительного  пика  в  РФЭС  спектре  исследуемой  пленки  с 
нанокристаллами кремния в области энергий Si 2p-уровней (около 1387 эВ, см. рис.  ) 
можно объяснить вкладом электронов, вырванных из внутренних оболочек атомов Si, 
входящих  в  состав  нанокристаллов  кремния,  т.е.  образующих  ковалентную 
неполярную  Si-Si  связь.  Различный  характер  Si–O  и  Si–Si  связей  и  обуславливает 
наблюдаемый 

относительный 

сдвиг 

соответствующих 

максимумов 

в 

фотоэлектронных спектрах. При этом основной пик в спектре на рис.   соответствует 
атомам кремния, входящим в окружающий нанокристаллы слой  SiO

2

, что следует из 

совпадения энергии его максимума с максимумом Si 2p пика РФЭС спектра на рис. 1 
(~ 1383.5 эВ). 

124

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 8. Наносенсор на вирусы 

 

 

 
Юный  изобретатель  Саша  предложил  схему  наносенсора,  чувствительного  на  вирусы. 
Сенсор представляет из себя двухслойную  структуру: нижний слой  – пористый кремний pSi 
(пористость  P  = 50%,  размер  пор  –  5  нм)  толщиной  d

1

  =  100 мкм,  верхний  –  слой  пористых 

нанонитей  диаметром  200  нм  и  толщиной  d

2

  =  500  нм  (эффективная  пористость  для  всего 

слоя – 25%), который и является чувствительным.  
 

1.

 

Почему  чувствительным  является  только  верхний  слой?  (1  балл)  Каким  образом 

можно обеспечить селективность такого сенсора? (2 балла)  

 
Сверху  и  снизу  на  сенсор  напылены  сеточные  металлические  контакты  и  подсоединены  к 
катушке с индуктивностью L = 0.5 мкГн.  
 

2.

 

Насколько  изменится  частота  колебаний  контура  после  того,  как  на  поверхности 

элемента  высушить  100  мкл  вирусной  суспензии  с  концентрацией  вирусных  частиц 
10

6

  мл

–1

?  (7  баллов)  Площадь  сенсора  S  =  1  см

2

,  радиус  вируса  r  =  50  нм,  его 

диэлектрическая проницаемость, 

v

 = 75. 

 
Всего – 10 баллов 

125

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 8. Наносенсор на вирусы 

 

1.

 

Чувствительным является только верхний слой, причем его крупные поры, т.к. только 
туда  могут  попасть  вирусные  частицы.  Малые  поры  диаметром  5  нм  не  позволяют 
вирусам  проникать  внутрь  нижнего  слоя,  поэтому  он  нечувствительный.  Для  того, 
чтобы  сделать  сенсор  селективным  к  определенным  видам  вирусов,  можно, 
например,  иммобилизовать  (присоединить  к  поверхности)  специальные  антитела  – 
биологические  молекулы  которые  будут  связываться  с  рецепторами  определенных 
вирусов. 
 

2.

 

Рассмотрим  сенсорный  элемент  как  три  конденсатора:  параллельно  соединенные, 
которые  соответствуют  кремниевому  (C

2

)  и  воздушному  (C

3

)  верхним  слоям,  в  свою 

очередь последовательно соединенные с нижним слоем (C

1

).  

 

 

 
При  адсорбции  вирусов  изменяется  только  C

3

.  Диэлектрическую  проницаемость  для 

C

1

 и C

2

 примем равной (12 + 1) / 2 = 6.5, учитывая, что для кристаллического кремния 

данная  величина  равна  12.  Теперь  рассчитаем  общую  емкость  всего  сенсорного 
элемента: 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

  

(1) 

 
Емкости  каждого  конденсатора  определяются  по  формуле  для  плоского 
конденсатора: 
 

 

     

   

     

 

 

 

 

     

  

(2) 

 
После  адсорбции  вирусов  емкость  C

3

  изменится  на  C’

3

,  соответственно  и  общая 

емкость будет C’ вместо C. Найдем отношение: 
 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

  

 

   

 

   

 

   

 

 

     

 

  

 

   

 

 

 

  

 

   

 

   

 

   

 

 

     

 

  

 

   

 

 

 

(3) 

 

126

 

 

 

 

 

 

 

  

 

   

 

   

 

   

 

 

     

 

  

 

   

 

 

   

 

   

 

 

  

 

   

 

   

 

   

 

 

     

 

  

 

   

 

 

  

     

 

 

  

 

 

   

 

 

  

 

   

 

   

 

   

 

 

     

 

  

 

   

 

 

 

(4) 

 
Допустим, что C

3

’ близко к C

3

 (позже увидим, что это действительно так), а также, что 

C

1

 << C

2

, C

3

. Тогда выражение упростится: 

 

 

  

     

 

 

  

 

 

   

 

 

  

 

   

 

 

 

     

 

 

  

 

  

 

   

 

 

 

  

(5) 

 
где  C

3

  –  разница  C

3

  до  и  после  адсорбции  вирусов.  Отсюда  относительное 

изменение общей емкости C (безразмерная величина): 
 

    

 

 

  

 

  

 

   

 

 

 

  

(6) 

 
Для того, чтобы рассчитать C

3

, найдем суммарный объем вирусов в капле: 

 

     

    

   

 
 

  

 

          

 

               

  

 

 

          

   

м

 

 

(7) 

 
Объем пор (крупных, доступных для вирусов) составляет: 
 

 

 

   

 

             

  

    

  

                

  

  

 

 

(8) 

 
Таким  образом,  домножая  фактор  заполнения  (отношение  объемов)  на 
диэлектрическую проницаемость самих вирусов, получим: 
 

  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

      

  

    

        

  

   

 

      

(9) 

 
Найдем также выражения для C

1

, C

2

 и C

3

. 

 

 

 

   

 

 

   

  

  

   

 

            

 

  

(10) 

 

 

 

   

 

 
 

   

      

  

   

 

            

 

  

(11) 

 

 

 

   

 

 
 

 

      

  

   

 

      

 

  

(12) 

 
Отсюда C: 
 

127

 

 

 

    

        

 

   

         

 

 

 

          

  

 

(13) 

 
Частота  колебательного  контура  будет  определяться  наименьшей  емкостью  из 
последовательно включенных, т.е. C

1

. Таким образом: 

 

   

 

     

 

 

 

            

  

          

 

           

   

    

  

  

 

 

              

  

        

 

     М ц 

(14) 

 
Измерение  частоты  будет  связано  с  изменением  C,  которое  в  силу  малости  и 
извлечения корня будет умножаться на 0.5: 
 

            

 
 

           

(15) 

 
Отсюда искомое изменение частоты: 
 

      

  

 

           

  

     

(16) 

 

128

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 9. Из крайности в крайность 

 

 

 
Известно,  что  механизм  диффузии  газов  через  пористые  среды  во  многом  обусловлен 
числом  Кнудсена  Kn,  которое  равно  отношению  длины  свободного  пробега  молекул  этого 
газа    к  диаметру  пор  d.  Так,  при  Kn << 1  реализуется  вязкое  течение  газа  в  порах,  а  при 
Kn >> 1 – кнудсеновская диффузия. Принципиальное отличие этих двух механизмов состоит в 
том,  что  вязкий  поток  газа  представляет  собой  движение  сжимаемой  сплошной  среды,  а  в 
случае  кнудсеновской  диффузии  молекулы  проникают  через  пористую  среду  как 
изолированные частицы. Вязкий поток газа задаётся выражением: 
 

4

1

2

2

128

2

P

P

P

d

P

J

L

P















, 

 

где η – динамическая вязкость газа, P

1

 – давление на входе в пору, P

2

 – давление на выходе 

из поры, L – длина пор. Кнудсеновский поток газа через единицу площади мембраны можно 
рассчитать по формуле: 
 

2

2

3

m

Kn

dV

J

P

L

MRT









, 

 

где V

m

 – молярный объём, М – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная, 

Т – температура. 
 

1.

 

На  основе  представленных  данных  оцените  наибольший  диаметр  пор,  для  которых 

ещё может наблюдаться ощутимый вклад Кнудсеновской диффузии при пропускании 
азота под давлением 1 атм и при температуре 27 

о

С. Диаметр молекулы азота равен 

0.37 нм. (4 балла) 

 

2.

 

Представьте,  что  для  экспериментов  доступны  мембраны  трёх  видов  со  средним 

диаметром  пор  10  нм,  50  нм  и  100  нм.  Какую  из  них  следует  выбрать  для  более 
эффективного  разделения  смеси  N

2

  (d  =  0.37  нм,  η  =  1778  Па·с)  и  He  (d  =  0.256  нм, 

η = 1968  Па·с),  взятых  в  мольном  соотношении  1:1  при  давлении  1  атм?  Ответ 
обоснуйте.  Каким  при  этом  в  идеале  будет  мольное  соотношение  газов  в  смеси, 
прошедшей через мембрану? (6 баллов) 

 
Всего – 10 баллов 

129