XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 17

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 9. Из крайности в крайность 

 

1.

 

Длина свободного пробега молекул газа определяется по формуле  

 

2

1

4 2 r n

 



, 

 

где n – концентрация молекул газа, r – их радиус. Концентрацию молекул газа можно 
рассчитать согласно молекулярно-кинетической теории: P = nkT, где P – давление, n – 
концентрация, k – постоянная Больцмана, T – температура. Отсюда получаем, что при 
заданных условиях 
 

25

3

23

101325 Па

1

2.11 10

Дж

м

1.6 10

300К

К

n













. 

 
Теперь можно определить длину свободного пробега молекул азота: 
 

8

9

2

25

3

1

λ

9.2 10  м 92 нм

1

4 2π (0.17 10  м)

2.11 10

м





















. 

 
Из условия следует, что с ростом числа Кнудсена увеличивается доля  кнудсеновской 
диффузии,  поэтому  её  вклад  будет  ощутимым,  если  Kn  по  меньшей  мере  больше  1. 
Следовательно,  d  <  ,  или  d  <  92  нм.  Таким  образом,  диаметр  пор  должен  быть 
меньше 100 нм. 
 

2.

 

Диаметры  молекул  азота  и  гелия  намного  меньше  среднего  диаметра  пор  всех 
предложенных  мембран,  поэтому  разделение  газовой  смеси,  основанное  на 
различиях  в  размерах  молекул,  невозможно  ни  для  одного  из  описанных  образцов. 
Однако  разделение  можно  осуществить,  подобрав  необходимый  механизм 
диффузии.  Вязкий  поток  селективностью  не  обладает,  так  как  вязкости  N

2

  и  He 

довольно  близки  (η(He)  /  η(N

2

)  =  1.11).  Зато  кнудсеновский  поток  зависит  от 

молекулярной массы газа, поэтому для разделения смеси её необходимо пропускать 
через мембрану в режиме кнудсеновской диффузии, то есть при больших Kn. Так как 
число  Кнудсена  обратно  пропорционально  размеру  поры,  то  следует  выбрать 
мембраны со средним диаметром пор 10 нм. 
 

В идеальном случае мольное соотношение газов определяется отношением потоков в 
режиме диффузии Кнудсена. Поэтому оно будет равно 
 

2

2

2

2

N

,  He

He

He

N

,  N

He

N

2

2

0.028 

3

7

2

2

0.004 

3

m

Kn

Kn

m

dV

кг

P

M

J

L

M RT

моль

кг

J

M

dV

P

моль

L

M

RT



























 

130

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 10. Автостопом на комете 

   

 

 

Рис. а 

Рис. б 

 
В  качестве  альтернативы  «обычным»  ракетным  двигателям  инженеры  NASA  предложили 
использовать для разгона космических кораблей трос, сделанный из углеродных нанотрубок 
(УНТ). В предложенной схеме космический корабль «ловит» на кончик троса пролетающую 
мимо с большой скоростью комету, и, разматывая натянутый трос, постепенно увеличивает 
свою  скорость.  В  нужный  момент  времени  трос  отделяется,  и  разогнавшийся  корабль 
продолжает свое путешествие на окраины Солнечной системы (рис. а). 
 
Оценим эффективность предложенной схемы на простом примере (рис. б). 
 

1.

 

Найдите массу m

nt

, длину l и толщину d УНТ троса, если 



 

масса космического корабля с тросом составляет m =1000 кг; 



 

максимальное ускорение, которое может выдержать корабль, составляет 10g (в 
десять раз больше ускорения свободного падения на Земле); 



 

кораблю  необходимо  разогнаться  при  помощи  троса  до  скорости  кометы;  ее 
скорость изначально больше скорости корабля на Δv = 7 км/с. (5 баллов) 

 

2.

 

Сравните,  во  сколько  раз  приращение  скорости  корабля  при  разгоне  УНТ  тросом 

будет  отличаться  от  приращения  скорости  с  использованием  реактивного  топлива, 
если  массы  троса  и  топлива  равны.  Для  расчета  использовать  формулу 
Циолковского*,  удельный  импульс  ракетного  двигателя  на  корабле  считать  равным 
5000 м/с. (1 балл) 

 

3.

 

Оцените,  какое  предельное  значение  Δv  возможно  при  разгоне  корабля  с 

использованием троса из УНТ (т.е. безотносительно суммарной массы корабля и его 
максимально возможного ускорения). (4 балла) 

 
Считать, что: 



 

трос из УНТ можно для удобства расчетов представить как «рулон» из листа графена 

той  же  массы,  длины,  диаметра  и  прочности;  плотность  графена  равна  2260  кг/м

3

, 

прочность на разрыв – 1,3·10

11

 Н/м

2

; 



 

комета движется параллельно курсу корабля и имеет несоизмеримо большую массу; 



 

ускорение корабля, «поймавшего» комету, постоянно и равно максимальному; 



 

растяжением троса можно пренебречь. 

 
*Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под 
воздействием  тяги  ракетного  двигателя:  Δv = I·ln(m/m

2

),  где  Δv  –  изменение  скорости 

корабля,  I  –  удельный  импульс  ракетного  двигателя,  m  –  начальная  масса  корабля  с 
топливом, m

2

 – масса корабля, выработавшего топливо. 

 
Всего – 10 баллов 

131

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 10. Автостопом на комете 

 

1.

 

 

1)

 

За время t = Δv/a от момента «загарпунивания» корабль достигает скорости Δv и 
проходит  расстояние  L

1

 =  at

2

/2 = Δv

2

/2a.  За  это  же  время  комета  проходит 

расстояние L

2

 = Δvt = Δv

2

/a.  

 
Разность пройденных путей равна длине троса:  
 

2

2

2

1

2

v

v 2

v 2

L

L

L

a

a

a

 

 

 

 

. 





2

2

5

v 2

7000

2 10 9,8

250000

2,5 10

L

a

 



 







м = 250 км 

 

2)

 

Поскольку  ускорение  корабля  постоянно,  то  сила,  ускоряющая  корабль, 
составляет  F = ma.  Необходимо,  чтобы  трос  в  момент  прикрепления  к  комете 
выдерживал эту силу, т.е. F = σs. Следовательно, ma = σs. 
 
Стоит  отметить,  что  трос  имеет  две  особых  точки  –  точку  соприкосновения  с 
кораблем и точку крепления к комете. Силы, действующие на трос в этих точках, 
при  выбранной  схеме  ускорения  со  временем  станут  меньше  F  (следовательно, 
не  повлияют  на  выбор  толщины  троса).  В  первой  точке  –  из-за  разматывания 
троса и уменьшения массы корабля (т.к. ускорение корабля постоянно); во второй 
точке  –  из-за  меньшего  ускорения  точки  центра  масс  системы  трос-корабль  (т.к. 
точка центра масс удаляется от движущегося с постоянным ускорением корабля). 
 

7

11

1000 10 9,8

7,54 10

1,3 10

ma

s



 













м

2

 

2

4

d

s





, 

7

4

4

4 7,54 10

9,8 10

3,14

s

d



















м ≈ 1 мм 

5

11

1000 10 9,8 2,5 10 2260

1,3 10

nt

F

ma

m

sL

L

L

 







  

 

 









426 кг 

 

2.

 

По формуле Циолковского 

 

2

nt

1000

v

ln

ln

5000 ln

1000 426

m

m

I

I

m

m m













 



































= 2,78 км/с 

 

прирост  скорости  для  такой  же  массы  реактивного  топлива  в  7/2,78  =  2,5  раза 
меньше. Трос из нанотрубок заметно превосходит лучшие из ракетных топлив. 

 

3.

 

Из 

2

v 2

L

a

 

 находим  

 





nt

nt

nt

nt

2

v

2

2

2

m

F

s

aL

L

L

m m

m m

m m





 















 

132

 

 

 

nt

nt

11

1

2

2 1,3 10

lim

v

10725

2260

m

m m











 







м/с ≈ 11 км/с 

 

Стоит отметить, что использовавшаяся в задаче упрощенная схема ускорения корабля 
и нагрузки троса не оптимальна (трос только в первый момент времени испытывает 
натяжение  близкое  к  максимальному).  Например,  рациональнее  было  бы 
использовать  трос  с  уменьшающимся  сечением,  однако  это  заметно  усложнит 
расчеты, приводя к качественно близкому решению. 

133

Биология для школьников

Биология

Категория участников: школьники 7-11 классов

Блок теоретических заданий по биологии для школьников 7-11 классов включает
задачи разной сложности. Для повышения вероятности прохождения на очный тур Вам
желательно решить задачи не только по биологии, но и по физике, математике, химии,
чтобы набрать больше баллов. Все прошедшие на очный тур обязательно решают задачи
по всем четырем предметам.

Задания

1. Нанороботы в системе кровообращения

Профессор Гемоглобинов изобрел наноробота для диагностики системы кровообращения.
Этот наноробот прикреплялся к одному из ретикулоцитов в крови и активировался в тот
момент, когда ретикулоцит превращался в эритроцит...

2. Эндосимбиоз в клетках

Природа начала создавать наномашины задолго до того, как это начал делать человек.
Так, митохондрия – это готовая фабрика по созданию высокоэнергетического топлива –
молекулы АТФ. Считается, что митохондрия – это результат эндосимбиоза...

3. Урок зельеварения

Гермиона решила вступить в клуб Зельеварения. Руководила клубом новая учительница,
которая особо увлекалась таким разделом науки маглов, как нанобиотехнологии. На
первом же занятии учительница сняла с руки кольцо и кинула его в раствор 50% азотной
кислоты...

4. Приключения Ясона и Геракла

Ясон и Геракл решили стать биологами. Ясон был первым, кто изобрел машину времени и
совершил путешествие в архейскую эру. А Геракл в это время изучал кишечник коровы.

134

Что Ясону надо было бы обязательно взять с собой...

5. «Прививка от Кроша»

В мультфильме «Смешарики. Прививка от Кроша» друзья Крош и Ежик решают помочь
выздороветь заболевшему гриппом пингвину Пину. В специальной летающей и
плавающей капсуле они уменьшаются, попадают в стакан c лекарством, который
выпивает Пин...

6. Синдром Рефсума

Слышали ли Вы что-нибудь об орфанных заболеваниях? В эту категорию выделяют
заболевания, которыми болеет небольшая часть популяции, это – редкие заболевания.
При этом в какой-либо стране или среди группы людей заболевание может быть широко
распространено...

7. Митохондриальные заболевания

В эту группу выделяют наследственные заболевания, связанные с нарушением в
функционировании митохондрий. Это приводит к нарушению энергетических функций в
различных органах и тканях. В настоящее время не существует надежного способа
лечения митохондриальных заболеваний...

8. Светящиеся в темноте

Студент-биолог Вася нырял с аквалангом ночью в море и увидел интересных
полупрозрачных животных, светящихся сине-зеленым светом и переливающихся разными
цветами. Поскольку Вася хорошо знал зоологию беспозвоночных, он сразу узнал, к какому
типу относятся эти животные...

9. Вот это поворот!

Афанасий Тимофеевич Филимонов прибывает на станцию Энергетическая с двумя
чемоданами. Он становится возле дверей, а мимо него пробегает Парамон, а потом снова
и снова. И тут – вот это поворот! – у Афанасия Тимофеевича уже три чемодана!..

10. Вижу цель, не замечаю препятствий

Живые клетки у растений и животных разделены мембранами на отдельные
пространства – компартменты, так же, как дом разгорожен стенами на комнаты. И,
конечно, вся клетка отделена надежной стеной – мембраной – от окружающей среды...

135

 

 

 

 

Биология для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 1. Нанороботы в системе кровообращения 

 
Профессор  Гемоглобинов  изобрел  наноробота  для  диагностики  системы  кровообращения. 
Этот  наноробот  прикреплялся  к  одному  из  ретикулоцитов  в  крови  и  активировался  в  тот 
момент,  когда  ретикулоцит  превращался  в  эритроцит.  Начиная  с  этой  стадии,  наноробот 
передавал  информацию  о  линейной  скорости  кровотока,  диаметре  сосуда,  который  он  в 
данный момент проходит, и о количестве кислорода в эритроците. Так наноробот проходил 
общую сонную артерию диаметром 7 мм со скоростью 13 см/с. 
 

1.

 

Какой  объем  крови  проходит  через  эту  артерию  в  мл,  если  объемная  скорость 

кровотока  равна  произведению  линейной  скорости  кровотока  на  площадь 
поперечного сечения сосуда? (1 балл) 

 
Наноробот передал информацию, о том, что прошел один из участков кровеносной системы 
с линейной скоростью 45 см/с, а второй — со скоростью 15 см/секунду.  
 

2.

 

Что вы можете сказать о сосудах, которые он проходил? (1 балл) 

 

3.

 

Где в итоге будет наноробот утилизирован? Через сколько примерно дней после его 

активации это произойдет? (1 балл) 

 

4.

 

Учитывая  тот  факт,  что  полный  круг  кровообращения  занимает  24  секунды  и  вы 

знаете  среднюю  продолжительность  жизни  эритроцита,  сколько  раз  наноробот 
передаст  сигнал  из  общей  сонной  артерии?  Сколько  раз  из  наружной  сонной 
артерии? (1 балл) 

 
Всего – 4 балла 

136

 

 

 

 

Биология для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 1. Нанороботы в системе кровообращения 

 

1.

 

Объемная скорость кровотока = 13 см/с  0.35 см  0.35 см  3.14 = 5 мл/с. 

 

2.

 

Чем  выше  линейная  скорость  кровотока,  тем  больше  диаметр  сосудов,  по  которым 

проходит наноробот. 

 

3.

 

Наноробот будет утилизирован в печени или селезенке – макрофагами. 
 

4.

 

Средняя  продолжительность  жизни  эритроцита  –  120  дней.  Сонную  артерию 

наноробот проходит за один круг кровообращения длительностью в 24 секунды. 
 

606024 / 24 = 3600 раз в сутки или 3600120 = 432000 в течение всей жизни. 

 
Так  как  она  раздваивается,  то  за  время  жизни  эритроцита  наноробот  пройдет 
наружную сонную артерию 216000 раз. 

137