Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 123

Рассмотрим  сначала  ситуацию,  когда  фирма  не  сталкивается  с  налогом.  В  этом  случае 
прибыль фирмы имеет вид: 

𝑝𝑟 = 𝑝𝑞 − 5𝑞

2

. Это парабола, с ветвями направленными вниз, 

и  с  вершиной  в  точке 

𝑞 = 0,1𝑝

.  Эта  вершина  удовлетворяет  условию 

𝑞 < 2

  при 

𝑝 < 20

. 

Таким  образом,  при   

𝑝 < 20

  оптимально  быть  малым  предприятием,  даже  если  не 

учитывать налог (а уж с налогом и подавно).

 (2 балла)

 

Теперь рассмотрим ситуацию, когда 

𝑝 ≥ 20

. В этой ситуации фирме будет выгодно либо 

производить  ровно  две  тонны  продукции  (максимальный  выпуск,  при  котором  не  надо 
платить налог), либо производить больше двух тонн и платить налог.

 (2 балла)

 

Если фирма производит ровно две тонны продукции, то ее прибыль составит 

𝑝𝑟

1

= 𝑝 ∗ 2 − 20 = (𝑝 − 10) ∗ 2.

 (1 балл)

 

Если  фирма  будет  производить  больше  двух  тонн,  то  ее  прибыль  будет  иметь  вид 
 

𝑝𝑟 = 𝑝𝑞 − 5𝑞

2

− 10𝑞

 (относительно 

𝑞

 — это парабола с ветвями направленными вниз). 

(1 

балл) 

Ее максимальное значение будет достигаться в вершине параболы при 

𝑞 = 0,1𝑝 − 1

 

и составит 

𝑝𝑟

2

= 𝑝(0,1𝑝 − 1) − 5(0,1𝑝 − 1)

2

− 10(0,1𝑝 − 1) = (𝑝 − 10)

2

∗ 0,05

 

(1 балл)

 

В  каком  случае  фирма  решит  выбрать  первый  вариант  из  двух?  В  том  случае,  когда 
прибыль от него не меньше, чем от второго 

(3 балла)

: 

𝑝𝑟

1

≥ 𝑝𝑟

2

 

(

𝑝 − 10

)

∗ 2 ≥

(

𝑝 − 10

)

2

∗ 0,05

 

С  учетом  того,  что  мы  рассматриваем  ситуацию,  когда 

𝑝 ≥ 20

,  это  неравенство  легко 

решить: 

2 ≥ (𝑝 − 10) ∗ 0,05

 

𝑝 ≤ 50

 

Итак, теперь мы знаем, что при цене от 20 до 50 д.е. фирма будет производить ровно две 
тонны продукции. А при цене больше 50 д.е. ее выпуск составит 

𝑞 = 0,1𝑝 − 1

.

 (2 балла)

 

Теперь можно записать функцию предложения фирмы: 

Ответ: 

𝑞

𝑠

=

{

0,1𝑝,          при 𝑝 < 20
2,     при 20 ≤ 𝑝 ≤ 50
0,1𝑝 − 1, при 𝑝 > 50

  

Примечание: засчитываем верный ответ независимо от того, в какой из участков включена 
точка 

𝑝 = 50

.  Ниже  представлен  требуемый  график,  на  котором  жирные  линии 

изображают три участка функции предложения 

(2 балла)

: 

 

 
Задача 3. «Перераспределение доходов» (15 баллов) 

 
Предположим,  что  в  некоторой  стране  N  проживают  три  группы  населения:  бедные, 
средний  класс  и  богатые.  Группы  равны  по  численности  жителей,  но  различаются  по 
уровню  дохода:  средний  класс  зарабатывает  в  два  раза  больше,  чем  бедные,  а  богатые 
зарабатывают в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены 
равномерно. Совокупный доход всех жителей страны равен Y. 
 

(а)

 Нарисуйте график кривой Лоренца и рассчитайте индекс Джини. 

(5 баллов) 

(б)

  Какой  прогрессивный  подоходный  налог  необходимо  ввести,  чтобы  в  стране  N 

достичь  абсолютного  равенства  доходов?  Найдите  величину  доходов 
госбюджета от введения данной меры. 

(4 балла)

 

(в)

 Известно, что до введения прогрессивного налога богатые работали всё рабочее и 

свободное  время,  средний  класс  –  тратили  часть  досуга  на  работу,  а  бедные  – 
работали  только  положенные  по  закону  8  часов.  Все  индивиды  рациональны и 
высоко ценят свой досуг и могут выбирать, сколько времени они будут работать. 
Что  произойдёт  после  введения  прогрессивного  подоходного  налога  и  как 
изменятся доходы государства? 

(3 балла) 

(г)

 В Министерстве финансов подсчитали, что при введении прогрессивного налога 

t 

(величина задана в долях от дохода), доля жителей, желающих перейти в более 
низкую  социальную  группу,  составит 

2t

.  Найдите  такую  ставку 

t

,  при  которой 

налоговые  поступления  будут  максимальными  и  в  стране  N  будет  достигнуто 
абсолютное равенство доходов. 

(3 балла) 

 

Решение: 

(а) Пусть бедные получают Х, средний класс  – 2Х, а богатые – 4Х. Тогда доход жителей 
всей страны равен Y=7Х, где Х=1/7 (в долях). Доля каждой группы равна 1/3.

(1 балл)

 

График оценивается в 2 балла. 

 
 
              1 
 
 
 
 
            3/7 
 
 
            1/7 
 
                                  1/3             2/3 
 
 

G=

7

2

7

1

2

1

)

2

3

1

3

1

2

)

4

2

(

3

1

2

1

(

7

1

2

1































Х

Х

Х

Х

Х

Х

Х

 

(2 балла) 

б) Y=(1-

X

t

X

t

X

t

rich

middle

poor

4

)

*

1

(

2

)

*

1

(

)

*















(1 балл)

 

 
Найдём все t*. 

(по 1 баллу) 

t

middle

*

=

1

2

(

t

poor

*

+

1)

t

rich

*

=

1

2

(

t

middle

*

+

1)

 

 
Обозначим 

t = t*

poor 

Доля доходов 

Доля населения 

t

middle

*

=

1

2

(

t

+

1)

t

rich

*

=

1

4

t

+

3

4

 

 

(1 балл)

 Доходы государства: 

Т = 3tX + 4X=3/7*tY+4/3*Y 

 
в)  После  уплаты  налогов  все  три  группы  будут  получать  одинаковый  доход.  Поэтому 
коэффициент Джини станет равен нулю. Так как все ценят не только сумму заработанных 
средств, но и свободное время, то богатые и средний класс могут снижать время работы 
или  вовсе  отказываться  от  дополнительного  заработка  в  пользу  свободного  времени.  В 
этом случае доходы государства будут сокращаться

.(2 балла)

 В предельном случае, если 

бы  средний  класс  и  богатые  отказались  вовсе  от  дополнительного  заработка  в  пользу 
свободного  времени,  доходы  государства  составили  бы 

Т  =  3tX  , 

что  на  4Х  меньше 

налоговых поступлений в пункте (б).

(1 балл)

 

 
г) Выразим налоговые поступления 

(2 балла)

: 

max

)

2

1

(

)

2

2

1

(

)

2

1

2

1

(

2

)

2

1

(

)

4

3

4

1

(

4































t

t

X

t

t

t

X

t

t

X

 

max

3

2

7





t

 

t=0 
 
В каждом слагаемом первый множитель – доход (4Х, 2Х, Х); второй множитель – ставка 
налога, посчитанная в предыдущем пункте; третий множитель – доля людей, перешедшая 
в более бедную группу и пришедшая из более богатой группы. 
Значит, оптимальные налоги на богатых – 75%, на средний класс – 50%, на бедных – 0%, 
ни один из индивидов не перейдет в другую социальную группу 

(1 балл)

. 

 
Задача 4. «Рынок такси» (15 баллов) 

Предположим,  что  на  рынке  такси  средние  и  предельные  издержки  любого  таксопарка 
постоянны и равны 2 денежным единицам (д.е.) за тыс. км. Кривая спроса на услуги такси 
в небольшом городе задана уравнением p=21-0,001Q, где p – тариф за 1 тыс. км поездки, Q 
– количество тыс. км в год. 

(а)  Если  рынок  функционирует  в  условиях  совершенной  конкуренции  и 

производственные мощности каждого таксопарка составляют 1000 тыс. км в год, 
сколько фирм будет осуществлять перевозки в равновесии и по какому тарифу? 

(3 балла) 

(б)  Государство  решило  ограничить  количество  фирм  на  рынке  услуг  такси. 

Государство  выдает  лицензии  на  осуществление  перевозок  только  15  фирмам. 
Каким теперь будет тариф на рынке и какую прибыль получат участники рынка?

 

(3 балла)

 

(в)  Если  фирмы  могут  продать  свое  право  на  перевозки  другим  фирмам,  и 

процентная ставка в банке составляет 10% в год, то по какой цене стоит продать 
лицензию  в  случае  выдачи  государством  лицензии  на  неограниченный  срок? 
Получат  ли  фирмы,  купившие  лицензию  на  рынке,  положительную 
экономическую прибыль?

 (3 балла)

 

(г)  Предположим,  что  на  рынке  может  функционировать  высокопроизводительная 

фирма,  способная  осуществить  2000  тыс.  км  перевозок  пассажиров  в  год. 
Государство  продает  лицензии  на  рынке  совершенной  конкуренции.  Будет  ли 

эта фирма участвовать в аукционе для приобретения лицензии? Получит ли эта 
фирма положительную экономическую прибыль?

 (3 балла)

 

(д) Предположим, что  все 15 фирм  решили совместно определять объем перевозок. 

Какова будет средняя прибыль, приходящаяся на одну фирму? 

(3 балла)

 

 

Решение: 

(а)  В  условиях  совершенной  конкуренции  р=МС.  МС=2  д.е.  за  тыс.  км. 

Следовательно,  Р=2 

(1  балл).

  При  данной  функции  спроса:  2=21-0,001Q  Q=19000. 

(1 

балл)

  Так как производственные мощности фирм равны 1000  тыс.  км в год, то  на рынке 

будет действовать N=19 фирм.

 (1 балл)

 

(б)  Так  как  количество  фирм  ограничено  15,  то  это  значит,  что  введено 

ограничение  на  объем  перевозок  Q=15000  км  в  год 

(1  балл)

.  Для  данного  объема 

перевозок  из  функции  спроса  определяется  тариф  Р=21-0,001*15000  Р=6 

(1  балл)

 

Прибыль каждой фирмы будет: П=6*1000-2*1000=4000 

(1 балл)

 

(в) Лицензию имеет смысл перепродать по цене, не меньшей ее текущей ценности 

 

4000/0,1=40000 д.е. 

(2 балла)

 

Также верной является следующая запись: 

40000

)

1

,

0

1

(

4000

...

)

1

,

0

1

(

4000

1

,

0

1

4000

2















n

 , где n стремится к бесконечности. 

Фирма,  купившая  лицензию  на  вторичном  рынке  не  получит  положительной 

экономической прибыли, так как заплатит ее за лицензию.

 (1 балл)

 

(г)  Если  производственные  мощности  фирмы  2000  тыс.  км  в  год,  то  можно 

ожидать, что фирма будет участвовать в аукционе, так как данная фирма поучит большую 
отдачу от лицензии, чем другие фирмы. 

(1 балл)

, 

Если  новая  фирма  будет  функционировать  на  рынке,  то  новое  равновесие  будет 

при  цене  Р=21-0,001*(14*1000+2000)=5. 

(1  балл) 

Прибыль  новой  фирмы  будет: 

П=5*2000-2*2000=6000 а прибыль каждой из остальных фирм будет равна 3000. 

(1 балл)

 

(д) Если фирмы решили совместно определять свой объем перевозок, то они стали 

монополией (организовали картель). 

(1 балл)

 Условие  максимизации  прибыли:  MR=MC. 

MR=21-0,002Q.  Так  как  МС=2,  то  условие  максимизации  прибыли  2=21-0,002Q.  Так  как 
предельные издержки постоянны, а предельная выручка является  убывающей функцией, 
то найденные параметры равновесия максимизируют прибыль. Q*=9500 Р*=11,5 

(1 балл) 

П=11,5*9500-2*9500=90250 Средняя прибыль каждой фирмы 90250/15=6017 д.е. 

(1 балл) 

Верным также является запись функции прибыли.

 

ХХ Всероссийская олимпиада школьников по экономике 

Заключительный этап 

 

 

 

Первый

 

тур 

Задачи 

 

Дата написания 

12 апреля 2015 г. 

Количество заданий 

6 

Сумма баллов 

150 

Время написания 

240 минут 

 

 

 

 

1-ый тур

 

2015 

 

 

Задача №1.  Повышение квалификации                                        (25 баллов)

 

Компания  Z  может  поставлять  на  конкурентный  рынок  два  товара:  ИКС  и  ИГРЕК. 

Цена  товара  ИКС  равна  16  у.д.ед.  (условные  денежные  единицы),  а  цена  товара  ИГРЕК 
равна 10 у.д.ед. В штате компании Z состоит 160 сотрудников одинаковой квалификации, 
каждый из которых подписывает годовой контракт с работодателем  с заработной платой 
0,4 у.д.ед. в год. За год любой сотрудник может произвести либо 0,05 единиц товара ИКС, 
либо 0,1 единиц товара ИГРЕК, при этом альтернативные издержки производства любого 
товара  всегда  постоянны.  Годовая  стоимость  аренды  помещения  и  оборудования  для 
компании  Z  составляет  10  у.д.ед.  Себестоимость  производства  каждой  единицы  любого 
товара  (без  учета  расходов  на  оплату  труда  и  аренду  помещения  и  оборудования) 
постоянна и равна 1 у.д.ед.  Считайте, что компания в состоянии контролировать работу 
сотрудников, и ни у кого из них нет стимула работать неэффективно.  

(а)

  Изобразите  кривую  производственных  возможностей  компании  и  найдите  ее 

годовую прибыль. 

(б)

  У  компании  есть  возможность  провести  обучение  на  курсах  повышения 

квалификации,  обязательное  для  всех  сотрудников.  Стоимость  курсов  фиксированная  и 
составляет  6  у.д.ед.  независимо  от  числа  обучающихся.  При  этом  известно,  что  после 
обучения  ровно  четверть  сотрудников  незамедлительно  повысит  производительность 
своего  труда  в  производстве  товара  ИКС  на  50%.  Производительность  остальных 
работников  не  изменится.  При  этом  компания  Z  будет  вынуждена  на  25%  поднять 
годовую  зарплату  сотрудников,  повысивших  свою  производительность.  Изобразите 
новую  кривую  производственных  возможностей  компании.  Станет  ли  компания 
проводить курсы повышения квалификации для всех сотрудников? 

(в)

 Почему сотрудники могут быть заинтересованы в прохождении курсов повышения 

квалификации, даже если по их результатам не последует повышения заработной платы? 
Назовите  экономическую  концепцию,  позволившую  вам  ответить  на  вопрос.  На  основе 
положений какой экономической концепции  можно объяснить целесообразность данной 
политики  для  фирм  (организовать  курсы,  полностью  оплатить  из  средств  компании, 
заработную  плату  сотрудникам  не  повышать)?  Представьте  экономическое  обоснование 
выгод фирмы. 

 

Решение: 

(а)

 Кривая производственных возможностей описывается уравнением:  

20𝑋 + 10𝑌 = 160

, или 

2𝑋 + 𝑌 = 16

 

Годовая  зарплата  сотрудников  при  производстве  любого  товара  одинакова  и 
себестоимость  каждой  единицы  любого  товара  постоянна  и  равна  1.  Альтернативные 
издержки  производства  одной  единицы  товара  Х  составляет  2  единицы  товара  Y.  При 
любых  положительных  объемах  производства  обоих  товаров,  отказавшись  от 
производства  одной  единицы  товара  Х  компания  сократит  прибыль  на  16-1=15  у.д.ед,  а 
произведя  взамен  0,1/0,05=2  единицы  товара  Y,  компания  увеличит  прибыль  на  10*2-
1*2=18 

у.д.ед. 

Поэтому, 

максимизируя 

прибыль, 

компании 

необходимо 

специализироваться на производстве товара Y.  
Прибыль компании Z в этом случае составит: 
(10-1)*160/10-0,4*160-10=70 у.д.ед. 
На рисунке ниже 

П

0

= 70 + 10

. 

 

(б)

  Альтернативная  стоимость  производства  одной  единицы  товара  Х  теперь  зависит  от 

того,  какое  количество  сотрудников,  повысивших  производительность  после  обучения, 

1-ый тур

 

2015 

 

заняты в производстве этого товара. Если в производство дополнительной единицы товара 
Х  вовлекаются  сотрудники,  сохранившие  производительность  неизменной,  то 
альтернативные  издержки  производства  одной  единицы  товара  Х  составляют,  как  и 
прежде, 0,1/0,05=2  единицы товара Y. Если же в производство дополнительной единицы 
товара  Х  вовлекаются  лишь  сотрудники,  повысившие  свою  производительность  после 
обучения, то альтернативные издержки производства одной единицы товара Х составляют 
0,1/(0,05*1,5)=4/3 единиц товара Y. Кривая производственных возможностей показывает, 
какое  максимальное  количество  одного  товара  может  быть  произведено  при  данном 
объеме  производства  другого  товара. 

Ч

тобы  построить  кривую  производственных 

возможностей, необходимо заметить, что при любом данном объеме производства товара 
Y максимальное количество товара Х будет произведено, только если в его производство 
будет  вовлечено  максимальное  (из  возможного)  количество  сотрудников,  повысивших 
производительность в производстве  товара Х. То есть, чтобы начать производство товара 
Х,  следует  использовать  сначала  технологический  процесс,  имеющий  наименьшие 
альтернативные  издержки  производства  этого  товара.  Только  после  того,  как  все 
сотрудники,  повысившие  свою  производительность,  будут  вовлечены  в  производство 
товара  Х  (ими  будет  произведено  160*0,25*0,05*1,5=3  единицы  товара  Х),  следует 
использовать  в  производстве  этого  товара  сотрудников,  которые  не  повысили 
производительность  по  итогам  проведения  курсов  (ими  будет  произведено 
160*0,75*0,05=6 единиц товара Х).  
Кривая производственных возможностей в этом случае: 

[

4𝑋

3

+ 𝑌 = 16, где 0 ≤ 𝑋 ≤ 3

2𝑋 + 𝑌 = 18, где 3 < 𝑋 ≤ 9

  

 

Для  максимизации  своей  прибыли  вовлекать  в  производство  любой  дополнительной 
единицы  товара  Х  сотрудников,  не  повысивших  производительность,  компании 
невыгодно, так как в этом случае компания увеличит прибыль от продажи этой единицы 
товара Х на (16-1)*1=15 у.д.ед., и сократит прибыль от сокращения производства товара Y 
на  2  единицы  на  (10-1)*2=18  у.д.ед.  Если  же  не  все  сотрудники,  повысившие 
производительность,  заняты  в  производстве  товара  Х,  то  всегда  выгодно  увеличить  его 
производство,  поскольку  увеличив  производство  товара  Х  на  одну  единицу,  компания 
увеличит  прибыль  от  продажи  этой  единицы  товара  на  (16-1)*1=15  у.д.ед.,  и  сократит 
прибыль  от  сокращения  производства  товара  Y  на  4/3  единицы  на  (10-1)*4/3=12  у.д.ед. 
Таким  образом,  наибольшую  прибыль  компания  может  получить,  только  если  все 
сотрудники,  которые  повысили  производительность  после  обучения,  заняты  в 
производстве  товара  Х,  а  все  остальные  –  заняты  в  производстве  товара  Y.  При  этом 
прибыль компании составит: 
(16-1)*1,5*40*0,05+(10-1)*120*0,1-0,4*1,25*40-0,4*120-10-6=69 у.д.ед. 
На рисунке ниже 

П

1

= 69 + 10 + 6

. 

 
Поскольку  прибыль  компании  в  этом  случае  меньше,  чем  до  курсов  повышения 
квалификации,  то  компания  не  станет  проводить  курсы  повышения  квалификации  для 
своих сотрудников. 
 
Графическое  решение  представлено  на  рисунке.  Можно  заметить,  что  построить  КПВ 
после  проведения  курсов  повышения  квалификации  можно  и  не  описанным  выше 
способом, а путем «сложения» двух КПВ, одна из которых – КПВ той части сотрудников, 
которая  не  повысила  производительность  после  курсов,  а  другая  –  КПВ  той  части 
сотрудников, которая повысила производительность после курсов.  

1-ый тур

 

2015 

 

  

 

(в)

 Возможные ответы: 

Сотрудники:  
Сотрудники  могут  быть  заинтересованы  в  курсах  повышения  квалификации.  Расходы 
компании  на  оплату  обучения  сотрудников  могут  рассматриваться  ими  как  субсидии  на 
образование  и  порождать  увеличение  спроса  на  него.  Например,  в  дальнейшем 
сотрудники могут менять место работы, а пройденные курсы могут свидетельствовать об 
их  квалификации  для  будущих  работодателей.  Сотрудники  могут  сигнализировать  о 
полезности будущих курсов, повышая производительность после уже пройденных курсов. 
Кроме  того,  если  оплата  труда  работников  зависит  лишь  от  выполненного  ими  объема 
работы,  некоторые  сотрудники  после  повышения  квалификации  могут  выполнять  свою 
работу быстрее, высвобождая  время для досуга, например.  
Возможные концепции:  



 

инвестиции в человеческий капитал,  



 

сигнализирование об уровне образования на рынке труда,  



 

максимизация удовлетворения (полезности) работника. 

 
Компании: 
Не  следует  ожидать,  что  без  материального  стимулирования  все  сотрудники  после 
прохождения  курсов  будут  на  деле  демонстрировать  повышение  производительности. 
Поэтому  повышение  зарплаты  сотрудников,  прошедших  обучение  на  курсах,  компании 
могут  не  осуществлять.  Однако,  дополнительное  образование  сотрудников  на  курсах 
повышения  квалификации  может  стимулировать  часть  сотрудников  работать 
производительнее.   



 

Дифференциация работников на основе результатов КПК и поданных ими сигналов 
об  изменении  производительности  может  позволить  в  будущем  пересмотреть 
ставки  заработной  платы  сотрудников,  что  стимулирует  их  повысить  свою 
производительность;  



 

курсы  могут  стимулировать  конкуренцию  между  сотрудниками,  что  позволит 
компаниям  находить  среди  своих  сотрудников  наиболее  талантливых, 

X

Y

Y

P

X

P

Y

X

)

1

(

)

1

(

0











Y

P

X

P

Y

X

)

1

(

)

1

(

1











16

8

9

12

3

)

(

курсов

до

КПВ

)

(

курсов

после

КПВ