Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 121

 

Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг.

 

6 

налоговых  сборов  в результате  введения  указанного  выше  налога  составит 
300 д.е.  
Выведите зависимость величины налоговых поступлений в бюджет от ставки 
налога (кривую Лаффера).

 

 

Решение: 

(1).

  Поскольку  спрос  и  предложение  задаются  линейно,  то  кривая  Лаффера 

в королевстве  является  параболой  с  ветвями  вниз  и  выглядит  следующим 
образом: 

2

.

T

t

t





 



 

 

За правильную формулу – 1,5 балла. 

Замечание.

  Данный  вид  кривой  можно  написать  как  сразу,  исходя  из 

предположений о линейности, так и вывести аналитически. А именно: 





s

Q

c

d p

t

 



 

s

d

Q

Q



 





a

bp

c

d p

t



 



 

*

a

c

d

p

t

b

d

b

d











 

*

*

Q

a

bp

 

 

*

a

c

d

Q

a

b

t

b

d

b

d







 















 

*

a

c

d

Q

a

b

b

t

b

d

b

d





 











 









 



 

Пусть 

a

c

a

b

b

d























,  а 

d

b

b

d





 











.  К  тому  же  стоит  обратить  внимание, 

что 

0





 (за счёт того, что 

0

b



 и 

0

d



). Тогда: 

*

Q

t

 

 

 

*

T

tQ



 

2

T

t

t





 



 

 

Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг.

 

7 

 

(2)

. Известно, что 

(2)

(4)

T

T



. Это означает, что: 

2

2

* 2

* 2

* 4

* 4













 



 

4

2

16

4













 



 

6 .







 

За правильные расчёты – 1 балл.

 

Таким образом, мы можем записать, что: 

2

6

.

T

t

t





 



 

(3)

.  Поскольку  это  парабола,  направленная  ветвями  вниз,  то  мы  можем 

определить её вершину: 

 

.

6

3

2 *

верш

t





 





 

 

Замечание:

 

3

t



 можно найти и с помощью того, что 

2

t



 и 

4

t



 находятся от 

вершины на равном расстоянии. То есть достаточно посчитать среднее между 
 2 и 4. 

За правильные расчёты – 1 балл.

 

 

(4). Нам известно, что 

300. 

max

T



 К тому же: 











9

18

9

3

6

3

)

3

(

)

(

2

max























Т

t

T

Т

верш

 

 

Исходя из этого: 

3

100

9

300

300

9











 

(5).  Теперь  мы  можем  вывести  зависимость  величины  налоговых 
поступлений в бюджет от ставки налога: 

t

t

Т

200

3

100

2







 

За правильные расчёты – 1,5 балла.

 

Максимум за задание – 5 баллов. 

 

Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг.

 

8 

 

11.

 Иван Иванович производит глиняные вазы и продаёт на местной ярмарке. Его 

производительность труда уменьшается в процессе производства ваз в течение 
рабочего дня. На производство двух первых ваз ему требуется по 30 минут на 
каждую. Следующие две вазы требуют по часу на каждую, следующие две  – 
по 90 минут, еще две вазы он может сделать за 2 часа на вазу. Рабочий день 
Ивана  Ивановича  длится  не  более  10  часов,  он  также  работает  в  субботу. 
Таким  образом,  в  день  он  может  сделать  8  ваз.  Предположим,  что  для 
производства одной вазы ему требуется только его труд и сырьё стоимостью 
5 долл.  Иван  Иванович  также  может  шить  обувь.  Производительность  труда 
в этой  сфере  деятельности  не  меняется.  После  оплаты  всех  расходов  на 
производство  обуви  ему  от  продажи  обуви  остаётся  20  долл.  в  час.  Таким 
образом, Иван Иванович может как производить вазы, так и обувь в течение 
10-часового  рабочего  дня,  причём  оба  вида  деятельности  ему  нравятся 
одинаково. 

 

В воскресенье он может продать сколько угодно ваз по цене 28 долл. Сколько 
ваз  он  должен  произвести  в  неделю  и  продать,  если  его  целью  является 
максимизация прибыли? 

 

Решение:  

 

Недельные  предельные  издержки  не  должны  превосходить  цену  для 
максимизации прибыли.  

 

Составим таблицу: 

 

Номер 

вазы 

Кол-во часов 

работы 

Предельные 

издержки 

(

 

За формулу – 

2 балла.

 

Предельная 

выручка 

(MR) 

1 

0,5 

15 

28 

2 

0,5 

15 

28 

3 

1 

25 

28 

4 

1 

25 

28 

5 

1,5 

35 

28 

6 

1,5 

35 

28 

7 

2 

45 

28 

8 

2 

45 

28 

 

 

Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг.

 

9 

 

До тех пор, пока предельные  издержки не превосходят предельный  доход, Иван 

Иванович  будет  производить  вазы.  То  есть  выгодно  производить  по  4  вазы 
каждый день. Итого 4 ∙ 6 = 24 вазы в неделю. 

За правильные расчёты – 3 балла.

 

 

Ответ: 

24 вазы. 

Максимум за задание – 5 баллов. 

 

12

.  Про  кривую  производственных  возможностей  страны  известно  следующее: 

альтернативная  стоимость  производства  икса  (

x)

,  выраженная  в  единицах 

игрека (

y

), следующим образом зависит от (

y

): 

1

 (

  )

2

x

AC

единиц у

y



 

При этом известно, что точка 





10;0

 в координатах (

х

, 

у

) лежит на КПВ. 

 

Жители страны потребляют товар икс и игрек в пропорции 1:



, где 

 





целое 

положительное  число.  Также  известно,  что  в  равновесии  потребляется  целое 
количество и икса, и игрека.  

 

Определите,  в  какой  пропорции  жители  предпочитают  потреблять  икс 
и игрек.  

 

Решение: 

 

Как  известно,  альтернативная  стоимость  производства  единицы  икса  равна 
тому  количеству  единиц  игрека,  от  которых  нам  придётся  отказаться 
(дискретный случай). 
В  непрерывном  же  случае,  когда  мы  имеем  дело  с  функцией,  удобнее 
воспользоваться  производной.  Действительно,  производная  функции 
в каждой  конкретной  точке  показывает,  как  известно,  скорость  изменения 
значения функции при «маленьком» изменении аргумента. 

 

Альтернативные издержки производства одной единицы товара

 x

 равны: 

'

1

х

у

AC

x

 

 

Минус  возникает  в  связи  с  тем,  что  принято  говорить  об  альтернативной 
стоимости как о положительной величине.  
(Рассмотрим  пример  КПВ  с  постоянной  альтернативной  стоимостью.  КПВ 
будет  иметь  линейный  вид,  например, 

y 

=  10  –  2

x.

  Понятно,  что  равенство 

в терминах  альтернативной  стоимости  выглядит  так:  10  ∙ 

y 

=  5  · 

x

  или 

y = 0,5 ·

x

 – чтобы произвести один игрек, нужно отказаться от 0,5

x

. Этот же 

результат  

 

Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг.

 

10 

можно  получить,  используя  производную: 

'

2

x

y

 

.  Тогда  альтернативная 

стоимость игрека: 

'

1

0,5

y

x

AC

y

 



 единиц икса.) 

1)

  Зная  альтернативную  стоимость  икса,  как  функцию  от  игрек  находим 

КПВ: 

'

1

1

2

x

y

AC

y

x

 



 

Следовательно, 

'

2

y

x

y

 

 

Подбираем функцию, производная которой равна 

( 2 )

y



: 

Получаем, что 

2

,  где

x

y

C

 



 

С

 – некоторая константа. 

За правильные расчёты 4 балла.

 

2)

 Т.к. точка (10;0) находится на КПВ, находим константу 

C:

 

10

0

C

  

 

10

C



 

Итак, уравнение КПВ в этой экономике выглядит так:  

Или: 

2

10

x

y





 

За правильные расчёты 2 балла.

 

3)

 Жители  страны  потребляют  товар  икс  и  игрек  в  пропорции  1:



. 

Следовательно, в равновесии должно выполняться соотношение:  

y

x





. 

Далее нужно, опираясь на целочисленность икса, игрека и альфы, подобрать 
равновесие. 

Самое простое – перебором. 

Т.  к. 

2

10 и 

x

y

y





 –  целое,  то 

0

3

y

 

 («Жители  страны  потребляют  товар 

икс и игрек в пропорции 1:



», поэтому 

0.)

y



 

Остается 3 варианта: (9;1); (6;2); (1;3). Подставляем их в 

y

x





, получаем, что 

все целое только, если 

x

 = 1; 

y

 = 3.  

Ответ:

 

3;  1: 3.





 

За правильные расчёты – 4 балла.

 

Максимум за задание – 10 баллов. 

 

Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг.

 

11 

 

13. 

На  рассматриваемом  рынке  выполняются  законы  спроса  и  предложения. 

Известно,  что  произведение  эластичностей  спроса  и  предложения  по  цене 
постоянно  и  равно  (–1),  а  их  сумма  также  постоянна  и  равна  0.  Выручка 
производителей в равновесии равна 200. 

 

Если государство вмешается и установит потоварный налог на производителя 
в  размере  3  ед.  за  каждую  проданную  единицу  товара,  то  равновесная  цена 
вырастет в 2 раза. 
Определите равновесное количество товара до вмешательства государства. 

 

Решение: 

 

«На  рассматриваемом  рынке  выполняются  законы  спроса  и  предложения. 
Известно,  что  произведение  эластичностей  спроса  и  предложения  по  цене 
постоянно и равно (–1), а их сумма также постоянна и равна 0». 
Отсюда получаем, что одна эластичность постоянна и равна 1, а другая: (–1). 

За правильные расчёты – 3 балла.

 

Т. к. законы спроса и предложения выполняются, то: 

D

S

B

Q

;  Q

Ap.

p





 

Выручка производителя равна: 

0

0

B

p *

B

200

p

 

 

Поэтому B = 200. 

D

200

Q

p



 

За правильные расчёты – 3 балла.

 

До вмешательства государства: 

0

0

200

p

Ap



  

После вмешательства государства: 

0

0

200

A(2p

3)

2p

 

 

За правильные расчёты – 3 балла.

 

Решая  систему  из  двух  последних  уравнений,  находим,  что 

0

p

2. 



Следовательно, 

0

Q

100.



 

За правильные расчёты – 1 балл.

 

Ответ:

 100. 

 

Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг.

 

12 

 

Максимум за задание – 10 баллов. 

 

14.

  В  стране  Альфа  производится  всего  два  товара: 

x

 и  .

y

 Для  их  производства 

используется  единственный  ресурс  –  труд,  причем  общее  количество  труда, 
доступного в Альфе, составляет 

40.

L



 

Выпуск  первого  товара  следующим  образом  зависит  от  количества 
используемого для его производства труда: 

x

x

L



.

 

Выпуск  второго  товара  следующим  образом  зависит  от  количества 
используемого для его производства труда: 

3

,  

20

40

,  

20

y

y

y

y

L

L

y

L

L





 







 

(а)

  Постройте  КПВ  страны  Альфа.  Укажите  на  своём  рисунке  координаты 

всех ключевых точек. 

(б)

  Жители  страны Альфа  сами не  любят  товары, которые они  производят. 

Всю  произведённую  продукцию  они  продают  на  мировом  рынке,  а  на 
вырученные  деньги  приобретают  импортные  товары,  которые  им 
нравятся.  Известно,  что  товар 

x

 на  мировом  рынке  стоит  2  евро  за 

единицу, а товар 

y

 – всего 1 евро. Определите максимальную выручку, 

которую  могут  получить  жители  страны  Альфа  в  результате  экспорта 
своих товаров. 

(в)

  Пусть  теперь,  наоборот  товар 

y

 на  мировом  рынке  стоит  2  евро  за 

единицу, а товар 

x

 – всего 1 евро. Определите максимальную выручку, 

которую  могут  получить  жители  страны  Альфа  в  результате  экспорта 
своих товаров. 

 

Решение: 

 

(а) 

Производственная функция для второго товара состоит из двух  участков, 

поэтому при построении КПВ удобно рассмотреть два случая: 

 

Случай 1.

 

20

y

L



. Этот случай соответствует ситуации 

20  

  

20

x

L

x



 

. 

40

x

y

L

L





 

1

40

3

x

y





 

120 3

y

x





 

 

Случай 2.

 

20

y

L



. Этот случай соответствует ситуации 

20  

  

20

x

L

x



 

. 

 

40

x

y

L

L





 





40

40

x

y







 

80

y

x





 

 

Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015 гг.

 

13 

 

Таким образом, КПВ задаётся уравнением: 

80

,  

20

           (*).

120 3 ,  

20

x x

y

x x







 







 

Теперь можно построить график: 
 

 

 

За правильный пункт – 4 балла.

 

(б)

  В  соответствии  с  КПВ  (см.  уравнение 

(*)

)  альтернативные  издержки 

производства каждой из первых 20 единиц товара 

x

 равны одной единице 

товара

  y

,  то  есть  1  евро.  В  то  же  время  выручка  от  продажи  каждой 

единицы товара 

x

 равна 2 евро. Следовательно, первые 20 единиц товара 

x

 

производить выгодно. 
Далее  альтернативные  издержки  производства  каждой  дополнительной 
единицы товара 

x 

возрастают до трёх единиц товара 

y

, то есть до 3 евро. 

Следовательно, дальнейшее производство товара 

x

 не является выгодным. 

Таким  образом,  в  этом  случае  следует  производить  20  единиц  товара 

x

, 

а все  остальные  ресурсы  направлять  на  производство  товара 

y

,  что 

позволит произвести 60 единиц этого товара. 
В этом случае выручка составит:  20 2 60 1 100

 

 

 евро. 

Ответ:

 100 евро. 

За правильный пункт – 4 балла.

 

 

(в) 

В соответствии с КПВ альтернативные издержки одной единицы товара 

x 

составляют не менее одной единицы товара 

y,

 то есть не менее 2 евро. В то 

же  время  выручка  от  продажи  одной  единицы  товара 

x

  составляет  всего 

1 евро.  Таким  образом,  товар 

x 

производить  невыгодно,  и  все  ресурсы 

следует  направить  на  производство  товара 

y

.  Это  позволит  произвести 

80 единиц товара 

y

, и выручка составит 80 2 160

 

 евро. 

 

Ответ:

 160 евро. 

За правильный пункт – 2 балла.