содержание .. 108 109 110 111 ..
Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 110
3 апреля 2016 г.
1-й тур. Задачи
Задача 3. Утилизация
(25 баллов)
В стране
N
, разделенной на регионы
W
и
E
, введены суровые таможенные правила относи-
тельно ввоза на ее территорию продуктов питания. Если кто-то пытается ввезти продукты неза-
конно, то весь контрафакт изымается и уничтожается по одной из двух технологий. Будем счи-
тать, что вся еда, импортируемая в эту страну, делится на два типа –– сыр пармезан и персики.
В регионе
W
незаконно ввезенную еду раскатывают бульдозерами. Бульдозеры имеются
в неограниченном количестве, а трудовых ресурсов есть только 35 единиц. Если нанять единицу
труда, то можно раздавить тонну незаконного пармезана или тонну незаконных персиков. Одна-
ко с ростом количества нанятого труда приобретаются знания и накапливается опыт (ранее уни-
чтожением еды никто не занимался), и все единицы труда сверх 10-й, занятые в раздавливании
пармезана, могут раскатать уже не 1, а целых 2 тонны сыра. То же самое и с персиками: первые
10 единиц труда будут раскатывать по 1 тонне персиков, а все следующие –– по 2 тонны.
В регионе
E
незаконно ввезенную еду сжигают на кострах. Так же, как и в регионе
W
, костров
хватит на любое количество продуктов, а труд в этом регионе ограничен 15 единицами. Если
нанять единицу труда, то можно сжечь 2 тонны пармезана или 2 тонны персиков. Повышения
квалификации во регионе
E
не происходит, поскольку роль труда в процессе сжигания невелика.
Продукты можно перевозить между регионами без затрат ресурсов, а ни миграции рабочей
силы, ни перемещения технологий не происходит.
Назовем
кривой утилизационных возможностей
(КУВ) множество точек в координатах (сыр;
персики), ограничивающих доступные наборы из уничтоженных продуктов. Постройте суммар-
ную КУВ страны.
Максим Земцов
Решение
Запишем производственные (или утилизационные) функции в регионе
W
.
x
=
{
L
x
,
если 0
⩽
L
x
⩽
10
,
2
L
x
−
10
,
если 10
<
L
x
⩽
35
.
y
=
{
L
y
,
если 0
⩽
L
y
⩽
10
,
2
L
y
−
10
,
если 10
<
L
y
⩽
35
.
Одновременно
L
x
⩽
10 и
L
y
⩽
10 не может быть, так как в этом регионе
L
=
35. Поэтому рассматри-
ваем три случая:
1.
L
x
⩽
10,
L
y
>
10. Тогда
x
=
L
x
и
y
=
2
L
y
−
10. Поскольку
L
x
+
L
y
=
35, получаем ограничение:
x
+
0
,
5
y
+
5
=
35, или
y
=
60
−
2
x
. КУВ региона будет иметь такой вид при
x
⩽
10.
2.
L
y
⩽
10,
L
x
>
10. Тогда
x
=
2
L
x
−
10 и
y
=
L
y
. Получаем ограничение:
y
+
0
,
5
x
+
5
=
35, или
y
=
30
−
0
,
5
x
. КУВ региона будет иметь такой вид при
y
⩽
10.
3.
L
x
⩾
10,
L
y
⩾
10. Тогда
x
=
2
L
x
−
10 и
y
=
2
L
y
−
10. Получаем ограничение 0
,
5
x
+
5
+
0
,
5
y
+
5
=
35,
y
=
50
−
x
. КУВ региона будет иметь такой вид при
x
>
10 и
y
>
10.
Получаем уравнение КУВ первого региона:
y
1
=
⎧⎪⎪
⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
60
−
2
x
1
,
если 0
⩽
x
1
⩽
10
,
50
−
x
1
,
если 10
<
x
1
<
40
,
30
−
0
,
5
x
1
,
если 40
⩽
x
1
⩽
60
.
Во регионе
E
стандартный случай:
x
2
=
2
L
x
,
y
2
=
2
L
y
, при ограничении
L
x
+
L
y
=
15 получаем
y
2
=
30
−
x
2
.
8