содержание .. 107 108 109 110 ..

Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 109

Всероссийская олимпиада школьников (2016 г.)

Региональный этап

в)

Если Кузьма не платит Гидрометцентру, то, как мы на-

шли в

б)

, при использовании острожной стратегии он по-

лучает

1,7

млн. Рассматривая возможность заплатить гидро-

метцентру, при осторожной стратегии он должен исходить
из плохого прогноза, поскольку там доходность меньше ––
он будет согласен заплатить

𝑋

, если

даже в худшем случае

стоимость его портфеля не уменьшится по сравнению с пунк-
том

б)

Если он заплатит сумму

𝑋

, то при плохом прогнозе

4 балла за идею о том, что по-

купка прогноза должна окупать-

ся в худшем случае.

вложит в акции компании

(1,5 − 𝑋 )

млн руб. Стоимость его

активов в конце, таким образом, составит

1,4(1,5 − 𝑋 )

Чтобы заплатить Гидрометцентру было выгодно, необхо-

димо, чтобы выполнялось неравенство:

1,4(1,5 − 𝑋 )

⩾

1,7.

Отсюда

𝑋

⩽

2/7

млн руб.

3 балла за составление неравен-

ства и нахождение

𝑋

. Если участ-

ник округлил ответ до ближай-
шего целого, снимать баллы не

нужно.

Экономика

Задача 4.

«Осторожный Кузьма»

Всероссийская олимпиада школьников по экономике

Заключительный этап

Москва, 2—8 апреля 2016 года

9—11 класс

Первый тур. Задачи

Дата написания

3 апреля 2016 г.

Количество заданий

Сумма баллов

150

Время написания

240 минут

Решения

Средним гармоническим (

) и средним арифметическим (

)

положительных чисел

, . . . ,

называются величины

. . .

Функция

максимум

: max

{

;

}

{

если

⩾

если

3 апреля 2016 г.

1-й тур. Задачи

Задача 1. Ностальгия

(25 баллов)

В маленьком поселке где-то в центральной России на берегу живописной реки одиноко сто-

ит магазин, продающий только клюквенную настойку (других магазинов в поселке нет). Несмот-
ря на то, что настойка особенно популярна в конце лета, годовой спрос на нее всегда равен

max

{

100

−

;

}

, где

–– цена бутылки в году

, а

–– количество купленных бутылок в ты-

сячах. Продавец настойки закупает ее у поставщика по цене

50 рублей за бутылку и больше

не несет никаких издержек.

Владелец магазина спокойно максимизировал прибыль, пока однажды накануне Нового года

руководить поселком не был назначен новый чиновник, срок полномочий которого составляет
ровно 6 лет. Этот чиновник нашел нарушения в работе магазина, но вместо того чтобы заставить
владельца их устранить, потребовал денег:

— В течение года (t

) я буду смотреть, как ты будешь работать и какую прибыль π

по-

лучишь, а потом (от t

до t

) я тебя контролировать перестану, а ты мне за это будешь

отдавать каждый год всего

% от величины π

за каждую проданную тысячу бутылок.

Владелец магазина загрустил, с ностальгией вспомнив о тех временах, когда он мог спокой-

но продавать настойку. Но потом ему пришла в голову блестящая идея: если получить в

отрицательную прибыль, то тогда чиновнику в соответствии с уговором еще пять лет придется
платить самому! (Известно, что этот чиновник –– человек слова.) С другой стороны, нести боль-
шие убытки тоже не хочется, тем более что в кредит на текущий год ему точно никто больше
250 тысяч рублей не даст (а значит, убытки не могут быть больше 250 тысяч рублей).

Считайте, что владелец магазина может менять цену только в начале каждого года. Какие це-

ны ему нужно установить в каждом из шести лет от

0 до

5, чтобы максимизировать сум-

марную прибыль за все годы (без дисконтирования)?

Даниил Евсеев, Данил Фёдоровых

Решение

Если средние издержки фирмы постоянны и равны

, то ее прибыль можно записать как

(

−

)

, такой записи мы будем придерживаться в течение всего решения.

Разберемся с единицами измерения. Чиновник требует платить 0

8 % от прибыли за каждую

проданную тысячу бутылок. То есть, например, если прибыль в текущем году составит 500 тысяч
рублей, то в последующие годы придется по 500

⋅

008 тысяч рублей за каждую тысячу буты-

лок, или, что то же самое, по по 500

⋅

008

500

125 рублей за каждую бутылку. Таким образом,

средние издержки магазина, начиная с первого года, увеличатся на

125 рублей.

Пусть

–– прибыль текущего года. Тогда функция суммарной прибыли (здесь и далее –– в ты-

сячах рублей) за 6 лет имеет вид

(

100

−

) (

−

125

)

ÍÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÑÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÏ

(

100

−

) (

−

125

)

ÍÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÑÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÏ

. . .

(

100

−

) (

−

125

)

ÍÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÑÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÏ

Если цена текущего года

выбрана и

определено, то все остальные прибыли –– квадратич-

ные параболы с ветвями вниз, причем одинаковые, не зависящие друг от друга и имеющие вер-
шины в точках

100

125

250

где

∈

{

}

3 апреля 2016 г.

1-й тур. Задачи

Тогда максимальное значение прибыли за пять последующих лет равно

∑

(

100

−

250

) (

250

−

125

)

(

−

250

)

А суммарная прибыль за все годы составит

∑

(

−

250

)

Посмотрим, чему может быть равна

. Функция

(

100

−

)(

−

)

–– парабола с ветвями

вниз, область значений которой простирается от

−∞

до 625 (при

75). Ограничение на вели-

чину убытков сокращает область допустимых значений

до отрезка

[

−

250

;

625

]

Функция Π, как нетрудно проверить, –– парабола с ветвями вверх и вершиной в

0. Чем

дальше от вершины параболы (в любую сторону, так как она симметрична), тем больше ее зна-
чение, следовательно,

625 приносит б

ольшую суммарную прибыль, чем

−

250.

Отсюда нетрудно посчитать, что

75,

5, где

∈

, . . . ,

Схема оценивания

7 баллов

ставится за корректно выписанную функцию суммарной прибыли за шесть лет в

зависимости от

и объемов или цен в периоде

. Из них:

•

−

1 балл за неверный переход от процентов к долям

•

−

2 балла за неверную размерность

•

−

2 балла за отсутствие обоснования того, что оптимальные цены и количества с первого

по пятый период равны: в каждом году вид спроса и издержек не отличается.

5 баллов

ставится за обоснованное нахождение оптимальных цен (или количеств) в периоде

в зависимости от прибыли, цены или количества в нулевом периоде

3 балла

–– правильное определение вида функции Π

(

)

–– парабола с ветвями вверх.

2 бал-

ла

–– вывод о том, что максимум суммарной прибыли следует искать «на концах».

Альтернативные правильные варианты:

•

Функция суммарной прибыли положительно зависит от

2
0

⇒

положительно зависит от

∣

⇒

выбираем максимум

∣

•

Функция симметрична относительно оси ординат

⇒

чем больше

∣

, тем больше суммар-

ная прибыль.

3 балла

ставится за поиск максимальной прибыли в нулевом периоде. При этом должно быть

понятно, что речь идет именно о нулевом периоде. Из них:

•

−

1 балл за необоснованность максимизации

•

−

1 балл за неверное нахождение значения максимальной прибыли

4 балла

–– корректное сравнение суммарных прибылей «на концах» и нахождение оптималь-

ных цен.

•

−

1 балл за неверное определение «концов»;

•

−

1 балл за неверное нахождение цен.

Основные ошибки, приводящие к снижению баллов:

•

Арифметическая ошибка, не упрощающая решения –– (-1) балл

•

В записи суммарной прибыли не домножили 0

008

на

–– (-8) баллов

3 апреля 2016 г.

1-й тур. Задачи

•

Арифметическая ошибка, из-за которой прибыль перестаёт быть квадратичной функцией
с графиком параболы ветвями вверх –– (−8) баллов. Примеры:

−

004

или Π

3125

00008

•

Отсутствие обоснования, что найденные точки являются максимумом/минимумом –– (−1)
балл.

•

Попытка нахождения решения через частные производные по обеим переменным (без
проверки достаточного условия) –– (−18) баллов.

3 апреля 2016 г.

1-й тур. Задачи

Задача 2. Таргетировать или нет?

(25 баллов)

В стране Альфа производится и потребляется единственный товар, спрос на который имеет

вид

, где

–– количество товара,

–– его цена,

–– денежная масса. Товар производят

100 одинаковых фирм. Для каждой фирмы ее выпуск (

) следующим образом зависит от количе-

ства нанятых ею работников (

, в человеко-часах):

√

. Рынок товара является совершенно

конкурентным. Фирмы максимизируют номинальную прибыль.

Номинальную заработную плату одного работника в стране Альфа (

) устанавливает проф-

союз. Лидеры профсоюза считают, что справедливый уровень реальной зарплаты равен 1, и ста-
раются выбрать номинальную зарплату так, чтобы реальная была как можно ближе к единице.

Денежную массу в стране Альфа определяет центральный банк, точнее, его глава Джон Смит.

Это господин устанавливает денежную массу так, чтобы максимизировать свое счастье. Его сча-
стье положительно зависит от уровня реального ВВП, потому что за высокий реальный ВВП Сми-
та может похвалить президент. Кроме того, главу центрального банка раздражает нестабиль-
ность цен (как инфляция, так и дефляция). Поэтому уровень счастья Джона Смита описывается
следующим уравнением:

−

(

100

)

где

–– уровень инфляции (в процентах) в стране

Альфа по отношению к предыдущему году (в прошлом году уровень цен был равен 1).

Накануне наступления нового года события в стране Альфа развиваются так: профсоюз уста-

навливает номинальную заработную плату на следующий год; затем центральный банк, зная ре-
шение профсоюза, выбирает денежную массу; после этого фирмы, зная все предыдущие реше-
ния, выбирают оптимальный объем производства.

а) (10 баллов)

Определите равновесные уровни выпуска и цен в стране Альфа.

б) (5 баллов)

В стране Альфа обсуждается законопроект о том, что центральный банк дол-

жен придерживаться

политики таргетирования денежной массы

. Если закон будет принят, Джон

Смит должен будет заранее объявить, какая денежная масса будет установлена в стране, и по-
сле этого не сможет менять свое решение. Затем, зная его решение, профсоюз будет выбирать
номинальную заработную плату, и, наконец, фирмы выберут объем производства. Определите
равновесные уровни выпуска и цен в стране Альфа в случае, если закон будет принят.

в) (5 баллов)

Если вы правильно решили два предыдущих пункта, у вас должно было полу-

читься, что счастье Джона Смита увеличивается в случае принятия закона. Проверьте это. При-
ведите содержательное экономическое объяснение этого факта.

Филипп Картаев

Решение

а)

Решать этот пункт мы будем в три этапа: сначала рассмотрим действия фирм, потом дей-

ствия центрального банка, а потом –– профсоюза.

Начнем с того, что выведем функцию предложения. Прибыль одной фирмы имеет вид:

⋅

√

−

(

)

Относительно

это парабола с ветвями вниз, вершина которой

⋆

. Следовательно вы-

пуск всех фирм, то есть совокупное предложение, имеет вид:

200

Решим теперь задачу центрального банка. Конечно, по условию задачи центральный банк

напрямую воздействует на денежную массу, однако выбирая денежную массу, он может опреде-
лять уровень цен, который сложится в экономике. В условии задачи нас спрашивают про цены,

3 апреля 2016 г.

1-й тур. Задачи

поэтому для удобства выразим счастье Джона Смита через

, а не через

−

200

−

(

−

)

−

100

(

)

−

Относительно

это парабола с ветвями вниз, вершина которой

. Следовательно,

выпуск будет равен

200

(

Понимая, как устроено решение центрального банка, профсоюз подберет номинальную за-

работную плату так, чтобы реальная в точности равнялась единице:

Отсюда нетрудно посчитать, что

⋆

200.

б)

Важное отличие от предыдущего случая состоит в том, что теперь глава центрального

банка понимает, что какой бы уровень цен он ни выбрал, реальная заработная плата

в ре-

зультате действий профсоюза обязательно будет равна 1, откуда

200. Получается, что цен-

тробанк не влияет на реальный ВВП и должен заботиться только об инфляции, которую он может
минимизировать, выбрав

⋆

1. Формально,

−

200

−

(

−

)

200

−

(

−

)

Эта функция достигает максимума при

⋆

1, при этом

⋆

200.

Примечание.

В обоих пунктах можно выражать счастье Джона Смита не через уровень цен,

а через величину денежной массы. Тогда решение будет более громоздким, но результат полу-
чится такой же. Попутно вы найдете, что в пункте

а)

⋆

400, а в пункте

б)

⋆

200.

в)

Уровень выпуска в обоих случаях одинаковый, а инфляция во втором случае равна ну-

лю (в то время, как в первом случае она больше нуля). Поэтому уровень счастья Джона Смита
во втором случае выше.

Эта задача иллюстрирует преимущества ситуации, когда центральный банк проводит поли-

тику по заранее определенным правилам (будь то таргетирование денежной массы или тарге-
тирование инфляции, или еще какое-то правило монетарной политики).

При отсутствии ограничений у центрального банка, он всегда имеет стимул напечатать по-

больше денег, чтобы попробовать увеличить выпуск. Остальные экономические агенты понима-
ют это, и ожидают высокой инфляции. Которая в результате и возникает.

Если же свобода действий ЦБ ограничена правилами, то, как мы видим из решения задачи,

при том же самом уровне выпуска удается обеспечить более низкую инфляцию.

Примечание.

Почему бы в пункте

а)

профсоюзу не вести себя так же, как в пункте

б)

, и не уста-

новить

1? Ведь профсоюзу вроде бы все равно, а центральному банку будет лучше?

Если профсоюз выберет такую зарплату в пункте

а)

, то функция счастья центрального банка

примет вид:

−

200

−

(

−

)

−

300

−

В этом случае ЦБ, конечно, выберет

3, а значит, реальная зарплата окажется равна 1

3 и цель

профсоюза не будет достигнута. Заметим, что в этом случае в экономике будет наблюдаться вы-
сокая инфляция, однако и выпуск будет больше, чем 200.

3 апреля 2016 г.

1-й тур. Задачи

Схема оценивания

а)

3 балла –– уравнение совокупного предложения.

2 балла –– получение функции счастья как функции одной переменной.
3 балла –– нахождение оптимальной цены как функции от номинальной заработной платы.
2 балла –– нахождение номинальной заработной платы и по 1 баллу за нахождение цены и

выпуска.

б)

3 балла –– выписывание целевой функции как функции от единственной переменной.

2 балла –– нахождение оптимальной цены.

в)

1 балл –– сравнение значений функции счастья в двух случаях.

4 балла –– экономическое объяснение.

содержание .. 107 108 109 110 ..