Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 108

Всероссийская олимпиада школьников (2016 г.)

Региональный этап

Задача 2.

«Упрощёнка»

(30 баллов)

В современной России некоторые фирмы могут применять так называемую

упро-

щенную систему налогообложения

, при которой можно выбирать, какой налог — на

выручку или на прибыль — платить.

Рассмотрим подобную систему в рамках простой модели. Представим себе фирму

на рынке совершенной конкуренции, функция издержек которой описывается урав-
нением

𝑇 𝐶 = 0,5𝑞

2

+10𝑞

, где

𝑞

–– объем выпуска. Государство предлагает фирме на вы-

бор два налога — налог в размере 10 % от выручки или в размере 36 % от прибыли (эти
ставки отличаются от действующих в современной России). При каждой цене

𝑃

фир-

ма решает, сколько единиц продукции произвести и какой из двух налогов платить.
Фирма максимизирует прибыль.

Выведите уравнение функции предложения фирмы. Может ли в данном случае

фирма при росте цены

снизить

выпуск? (Если да, то приведите пример, если нет,

то обоснуйте.)

Решение.

Найдем сначала оптимальный выпуск фирмы, ес-

ли она выбрала определенный налог.

1) Налог на выручку. Фирма будет максимизировать

𝜋

▽

(𝑞) = (1 − 0,1)𝑇 𝑅(𝑞) − 𝑇 𝐶(𝑞) = 0,9𝑝𝑞 − 0,5𝑞

2

− 10𝑞.

Графиком функции прибыли является парабола с ветвями

4 балла за нахождение опти-

мального выпуска при выборе
налога на выручку. Из них 1 балл

снимается, если не проверено,

что найден именно максимум
(т. е. нет ссылки на то, что вет-

ви вниз,

𝜋

′

меняет знак с + на −,

или

𝜋

″

отрицательна).

вниз, поэтому оптимальный выпуск находится в ее вершине,
если абсцисса вершины неотрицательна, и равен нулю в про-
тивном случае:

𝑞 = 0,9𝑝−10

при

𝑝

⩾

100/9

и

𝑞 = 0

при

𝑝 < 100/9

.

Максимальная прибыль при этом составит

3 балла за нахождение макси-

мальной прибыли при выборе

налога на выручку. Если участ-
ник забыл про случай

𝑝 < 100/9

,

снимается 1 балл.

𝜋

▽

(𝑝) =

⎧⎪⎪

⎪

⎨⎪⎪

⎪⎩

0,

если

𝑝 < 100/9;

(0,9𝑝 − 10)

2

2

,

если

𝑝

⩾

100/9.

2) Налог на прибыль. Фирма будет максимизировать

𝜋

△

(𝑞) = (1 − 0,36) (𝑇 𝑅(𝑞) − 𝑇 𝐶(𝑞)) = 0,64(𝑝𝑞 − 0,5𝑞

2

− 10𝑞).

Графиком функции прибыли вновь является парабола с вет-

4 балла за нахождение опти-

мального выпуска при выборе
налога на прибыль. Из них 1 балл

снимается, если не проверено,

что найден именно максимум
(т. е. нет ссылки на то, что вет-

ви вниз,

𝜋

′

меняет знак с + на −,

или

𝜋

″

отрицательна).

вями вниз, поэтому оптимальный выпуск находится в ее вер-
шине, если абсцисса вершины положительна, и равен нулю
в противном случае:

𝑞 = 𝑝 − 10

при

𝑝

⩾

10

и

𝑞 = 0

при

𝑝 < 10

.

Максимальная прибыль при этом составит

3 балла за нахождение макси-

мальной прибыли при выборе
налога на прибыль. Если участ-
ник забыл про случай

𝑝 < 10

, сни-

мается 1 балл.

𝜋

△

(𝑝) =

⎧⎪⎪

⎪

⎨⎪⎪

⎪⎩

0,

если

𝑝 < 10;

0,64

(𝑝 − 10)

2

2

,

если

𝑝

⩾

10.

Экономика

8

Задача 2.

«Упрощёнка»

Всероссийская олимпиада школьников (2016 г.)

Региональный этап

3) Теперь найдем, при каких ценах выгоднее выбирать на-

лог на выручку, а при каких — налог на прибыль. Выбирать
налог на выручку выгоднее, если

𝜋

▽

(𝑝) > 𝜋

△

(𝑝)

. Разобьем зна-

чения цены на интервалы в соответствии с полученными вы-
ше результатами:

•

𝑝

⩽

10

. В этом случае оптимальный выпуск при двух

2 балла за разбор первого слу-

чая

налогах совпадает и равен 0.

•

10 < 𝑝

⩽

100/9

. В этом случае

𝜋

△

(𝑝) > 0

, а

𝜋

▽

(𝑝) = 0

––

2 балла за разбор второго случая

лучше выбирать налог на прибыль и производить

𝑞 =

= 𝑝 − 10

.

•

𝑝 > 100/9

. В этом случае налог на прибыль выгоднее,

если

2 балла за формулировку этого

неравенства

0,64

(𝑝 − 10)

2

2

>

(0,9𝑝 − 10)

2

2

.

Это неравенство легко решить, умножая обе части на 2

2 балла за решение неравенства

и извлекая квадратный корень (выражения в скобках
положительны). Получаем

𝑝 < 20

–– условие, при кото-

ром налог на прибыль (и производить

𝑞 = 𝑝 − 10

) выгод-

нее. При

𝑝 > 20

выгоднее выбирать налог на выручку

(и производить

𝑞 = 0,9𝑝 − 10

), при

𝑝 = 20

варианты рав-

нозначны.

В итоге, функция предложения фирмы будет описываться
уравнением

4 балла за вывод итоговой функ-

ции предложения

𝑞

𝑠

(𝑝) =

⎧⎪⎪

⎪⎪

⎨⎪⎪

⎪⎪⎩

0,

если

𝑝 < 10;

𝑝 − 10,

если

10

⩽

𝑝

⩽

20;

0,9𝑝 − 10,

если

𝑝

⩾

20.

(При

𝑝 = 20

оба выпуска (

𝑝 − 10

и

0,9𝑝 − 10

) являются опти-

мальными.)

При росте цены фирма может снизить выпуск. Например,

при росте цены с 19 до 21 фирме выгодно

снизить

выпуск с 9

4 балла за правильный ответ и
любой правильный пример

до 8,9 единиц.

Экономика

9

Задача 2.

«Упрощёнка»

Всероссийская олимпиада школьников (2016 г.)

Региональный этап

Задача 3.

«Закупка и налог»

(30 баллов)

В стране Альфа производится и потребляется всего два товара: X и Z, которые про-

даются и покупаются на рынках совершенной конкуренции. В 2015 году на этих рын-
ках функции спроса и предложения имели вид:

Спрос

Предложение

Товар X

𝑋

𝐷

= 10/𝑃

𝑋

𝑋

𝑆

= 10𝑃

𝑋

Товар Z

𝑍

𝐷

= 40/𝑃

𝑍

𝑍

𝑆

= 10𝑃

𝑍

В 2016 году правительство страны Альфа планирует закупить 15 единиц товара X

для своих нужд. Чтобы сохранить прежнее сальдо бюджета, правительство профинан-
сирует эту закупку за счет потоварного налога, взимаемого с производителей другого
товара.

Считайте, что других событий, способных как-то повлиять на спрос и предложе-

ние товаров, в 2016 году не произойдет. Иными словами, не будет воздействия ни-
каких прочих факторов, а рынки товаров X и Z не связаны между собой (то есть, на-
пример, X не является субститутом или комплементом Z, а также ресурсом для его
производства). При расчете ВВП игнорируйте все возможные мультипликативные эф-
фекты.

а)

(5 баллов)

Не проводя расчетов, определите, вызовет ли политика правительства

инфляцию или дефляцию в стране Альфа в 2016 году. Аргументируйте свой ответ.

б)

(10 баллов)

Какую ставку потоварного налога на производство товара Z следует

установить правительству для выполнения сформулированной задачи?

в)

(10 баллов)

На сколько процентов и в каком направлении в результате указанной

политики изменится реальный ВВП страны Альфа? Считайте базовым 2015 год.

г)

(5 баллов)

Чему будет равен индекс потребительских (ИПЦ) в стране Альфа

в 2016 году? Примите индекс 2015 года за единицу.

Экономика

10

Задача 3.

«Закупка и налог»

Всероссийская олимпиада школьников (2016 г.)

Региональный этап

Решение.

а)

Из-за действий государства на рынке товара X

вырас-

тет спрос и, следовательно, вырастет равновесная цена

. На

По 1 баллу за спрос и равновес-

ную цену

рынке товара Z

из-за введения налога тоже вырастет равно-

весная цена для потребителей

. Так как цены всех товаров рас-

2 балла за рост цены как след-

ствие налога

тут, то

указанная политика правительства приведет к инфля-

ции

.

1 балл за вывод

б)

В 2016 году за счет государственных закупок товара X

спрос на этот товар составит

:

1 балл за новую функцию спроса

𝑋

𝐷

=

10

𝑃

𝑋

+ 15.

Найдем

новое равновесие

на рынке этого товара:

2 балла за новое равновесие

10

𝑃

𝑋

+ 15 = 10 ⋅ 𝑃

𝑋

,

(3.1)

𝑃

2016

𝑋

= 2, 𝑋

2016

= 20.

Для закупки 15 единиц товара X по такой равновесной

цене

государству потребуется

15 ⋅ 2 = 30

денежных единиц,

1 балл за расчет расходов

следовательно, потоварный налог на рынке товара Z нужно
устанавливать таким образом, чтобы поступления в бюджет
в результате его введения равнялись этой сумме.

С учетом налога

функция предложения в 2016 году

будет

1 балл за новую функцию

𝑍

𝑆

иметь вид:

𝑍

𝑆

= 10 ⋅ (𝑃

𝑍

− 𝑡)

, а функция спроса останется без

изменений. Из всего сказанного выше следует система урав-
нений, откуда можно найти

все нужные нам переменные

:

2 балла за запись нужных соот-
ношений в том или ином виде

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩

40

𝑃

𝑍

= 10 ⋅ (𝑃

𝑍

− 𝑡);

40

𝑃

𝑍

⋅ 𝑡 = 30.

(3.2)

Решая эту систему, находим:

3 балла за нахождение

𝑡 = 3

𝑃

2016

𝑍

= 4, 𝑡 = 3.

Ставка налога составляет 3 денежных единицы.

Примечание:

участник может не искать равновесия на двух

рынках по отдельности, а сразу составить систему из уравне-
ния (3.1) и уравнений системы (3.2). При условии объяснения
выполняемых действий баллы за такое решение снижаться
не должны.

Экономика

11

Задача 3.

«Закупка и налог»

Всероссийская олимпиада школьников (2016 г.)

Региональный этап

в)

Чтобы найти равновесные параметры двух рынков до го-

сударственного вмешательства (в 2015 году), приравняем спрос
и предложение из таблицы в условии:

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩

10

𝑃

𝑋

= 10𝑃

𝑋

;

40

𝑃

𝑍

= 10𝑃

𝑍

.

Решив эту систему

, составим таблицу из известных зна-

По 2 балла за каждое из двух рав-
новесий в 2015 году

чений цен и выпусков:

𝑃

𝑋

𝑋 𝑃

𝑍

𝑍

2015

1

10 2 20

2016

2

20 4 10

Реальный ВВП 2015 года

равен:

2 балла за РВВП-2015

𝑃

2015

𝑋

⋅ 𝑋

2015

+ 𝑃

2015

𝑍

⋅ 𝑍

2015

= 1 ⋅ 10 + 2 ⋅ 20 = 50.

Реальный ВВП 2016 года

(в ценах 2015 года) равен:

2 балла за РВВП-2016

𝑃

2015

𝑋

⋅ 𝑋

2016

+ 𝑃

2015

𝑍

⋅ 𝑍

2016

= 1 ⋅ 20 + 2 ⋅ 10 = 40.

Таким образом, в результате реализации предложенной

По 1 баллу за подсчет процент-

ного изменения и определение

его направления

политики реальный ВВП упадет на 20 %.

г)

3 балла за корректную формулу

ИПЦ

2 балла за корректный подсчет

ИПЦ

=

𝑃

2016

𝑋

⋅ 𝑋

2015

+ 𝑃

2016

𝑍

⋅ 𝑍

2015

𝑃

2015

𝑋

⋅ 𝑋

2015

+ 𝑃

2015

𝑍

⋅ 𝑍

2015

=

2 ⋅ 10 + 4 ⋅ 20

50

= 2.

Экономика

12

Задача 3.

«Закупка и налог»

Всероссийская олимпиада школьников (2016 г.)

Региональный этап

Задача 4.

«Осторожный Кузьма»

(30 баллов)

Депозит до востребования стабильно приносит Кузьме 10 % годовых. Сейчас на его

счету находятся 1,5 миллиона рублей. Банк не накладывает никаких ограничений на
снятие средств с депозита, ставка процента в любом случае остается неизменной.

Кузьма рассматривает возможность вложить деньги в более доходные, но и бо-

лее рискованные финансовые инструменты. Он может купить акции компании-тур-
оператора

A

или компании

B

, продающей зонтики, а также комбинировать эти вари-

анты.

Доходность акций в течение будущего года зависит от погоды, которая неизвестна

заранее. Погода может оказаться либо хорошей (и тогда будут пользоваться популяр-
ностью услуги туроператора

A

), либо плохой (и тогда будут пользоваться популярно-

стью зонтики компании

B

). Текущая стоимость активов, а также ожидаемая Кузьмой

стоимость активов в зависимости от погоды представлены в таблице:

Актив

Текущая

Ожидаемая стоимость актива

стоимость актива при хорошей погоде при плохой погоде

Акции

A

10 руб. за акцию

20 руб. за акцию

6 руб. за акцию

Акции

B

10 руб. за акцию

7 руб. за акцию

14 руб. за акцию

Брать кредит Кузьма не может, других способов вложения денег нет. Обозначим

за

𝑎

и

𝑏

суммы денег (в миллионах рублей), вложенные в акции соответствующих

компаний, а за

𝑑

–– сумму, оставшуюся на депозите. Под

стоимостью портфеля

будем

понимать сумму стоимости имеющихся у Кузьмы акций и суммы денег на его счету.

а)

(8 баллов)

Предположим, что перед тем, как Кузьма должен принять решение

о вложении в активы, Гидрометцентр делает одно из двух предсказаний: «будет хо-
рошая погода» или «будет плохая погода». Как Кузьма поступит со своими деньгами
в зависимости от прогноза (считайте, что он безоговорочно верит этому прогнозу),
если он хочет, чтобы стоимость его портфеля через год была максимальной? Чему
будет равна ожидаемая стоимость его портфеля через год в каждом из этих случаев?

б)

(15 баллов)

Предположим, Кузьма должен принять решение до того, как Гидро-

метцентр сделал прогноз. Для каждого распределения денег между акциями и депо-
зитом он рассчитывает стоимость своего портфеля через год при

наименее благопри-

ятной

для данного распределения денег погоде. Затем он выбирает такое распреде-

ление денег, при котором рассчитанная минимальная стоимость портфеля через год
максимальна. Как он распределит деньги в этом случае? (Назовем такую стратегию

осторожной

.) Чему будет равна стоимость его портфеля через год?

в)

(7 баллов)

Если бы у Кузьмы была возможность заплатить Гидрометцентру, что-

бы получить предсказание погоды до вложения в активы, какую максимальную сум-
му он был бы готов заплатить? Считайте, что оплата производится до предсказания,
а Кузьма придерживается осторожной стратегии как при выборе распределения де-
нег, так и и при принятии решения о том, покупать прогноз погоды или нет.

Экономика

13

Задача 4.

«Осторожный Кузьма»

Всероссийская олимпиада школьников (2016 г.)

Региональный этап

Решение.

Заметим, что

𝑎 + 𝑏 + 𝑑 = 1,5

. Составим таблицу

с расчетом стоимости всех активов Кузьмы в разных случаях
и подставим

𝑑 = 1,5 − 𝑎 − 𝑏

:

Ожидаемая стоимость актива

при хорошей погоде

при плохой погоде

𝑆

𝑔

= 2𝑎 + 0,7𝑏 + 1,1𝑑 =
= 1,65 + 0,9𝑎 − 0,4𝑏

𝑆

𝑏

= 0,6𝑎 + 1,4𝑏 + 1,1𝑑 =
= 1,65 − 0,5𝑎 + 0,3𝑏

(Изначальные коэффициенты перед

𝑎

и

𝑏

рассчитаны как от-

ношение новой и старой цены, то есть показывают, во сколь-
ко раз увеличиваются вложения. Соответствующее количе-
ство акций равно

𝑎/10

и

𝑏/10

, а их стоимость через год, ска-

жем, при хорошей погоде равна

20𝑎/10 = 2𝑎

и

7𝑎/10 = 0,7𝑏

.)

а)

Каждая из двух получившихся функций возрастает

по одной из переменных (

𝑎

или

𝑏

) и убывает по другой. Зна-

чит, для максимизации нужно выбирать максимально воз-
можное значение одной переменной (1,5) и минимальное
значение другой (0). Таким образом, нужно вкладывать в ак-
ции определенной компании все 1,5 миллиона, не оставляя
ничего на депозите.

К такому же выводу можно было прийти, сравнив доход-

ности трех активов: у депозита она равна 10 %, у компании

A

в хорошую погоду и у компании

B

в плохую погоду –– боль-

ше (

100 %

и

40 %

), а у компании

B

в хорошую погоду и у ком-

пании

A

в плохую погоду –– меньше (

−40 %

и

−30 %

).

Таким образом, при хорошем прогнозе погоды Кузьма вло-

жит все деньги в акции компании

A

, а при плохом — вложит

все деньги в акции компании

B

, не оставляя ничего на депози-

те.

(Также ответ можно дать в виде количества акций: нужно

По 3 балла за правильный вывод
для каждого вида погоды с обос-

нованием

купить 150 тыс. акций соответствующей компании.)

В первом

случае ожидаемая стоимость портфеля через год будет равна
3 млн руб., а во втором она будет равна 2,1 млн руб.

По 1 баллу за правильный расчет
стоимости портфеля при каждой

погоде

Примечание.

Участник не обязан записывать функции

конечной стоимости портфеля именно так, как они запи-
саны выше. В частности, он может выражать из равенства

𝑎 + 𝑏 + 𝑑 = 1,5

другую переменную и максимизировать функ-

цию по оставшимся, или решать задачу условной максими-
зации, если знаком с соответствующими методами (эти ме-
тоды не входят в школьную программу по математике, по-
этому проверять подобные решения нужно с особой тща-
тельностью, снижая баллы за все необоснованные шаги).

Экономика

14

Задача 4.

«Осторожный Кузьма»

Всероссийская олимпиада школьников (2016 г.)

Региональный этап

б)

Найдем, при каком условии стоимость портфеля в хо-

рошую погоду будет не меньше, чем в плохую (то есть ми-
нимальной будет стоимость портфеля при плохой погоде):

1,65 + 0,9𝑎 − 0,4𝑏

⩾

1,65 − 0,5𝑎 + 0,3𝑏 ⇔ 2𝑎

⩾

𝑏.

Минимальная (из двух типов погоды) стоимость портфе-

ля Кузьмы составит

4 балла за расчет минималь-
ной стоимости портфеля, из них
2 балла –– за определение усло-
вия

2𝑎

⩾

𝑏

.

min

{𝑆

𝑔

; 𝑆

𝑏

} =

{

1,65 + 0,9𝑎 − 0,4𝑏,

если

2𝑎

⩽

𝑏;

1,65 − 0,5𝑎 + 0,3𝑏,

если

2𝑎

⩾

𝑏.

(4.1)

Кузьма стремится, чтобы значение этого выражения было
максимально, выбирая

𝑎

и

𝑏

, удовлетворяющие условиям

𝑎

⩾

0

,

𝑏

⩾

0

,

𝑎 + 𝑏

⩽

1,5

. (Значение

𝑑

затем определяется

автоматически из условия

𝑑 = 1,5 − 𝑎 − 𝑏

.)

Зафиксируем

𝑎

и найдем оптимальное

𝑏

при каждом

𝑎

.

Как видно из формулы (4.1), Кузьме нужно выбирать самое
маленькое

𝑏

при

2𝑎

⩽

𝑏

и самое большое

𝑏

при

2𝑎

⩾

𝑏

. Так

или иначе, решением будет

𝑏 = 2𝑎

, то есть ему нужно сделать

6 баллов за вывод о том, что

𝑏 =

= 2𝑎

(стоимость портфеля не за-

висит от погоды), c обосновани-

ем

так, чтобы стоимость портфеля была одинакова независимо
от погоды. Тогда стоимость активов будет равна

𝑆 = 1,65 + 0,9𝑎 − 0,4 ⋅ 2𝑎 = 1,65 + 0,1𝑎.

Видно, что эта функция возрастает по

𝑎

, то есть оптималь-

ным будет максимальное значение

𝑎

, удовлетворяющие усло-

вию

𝑎 + 2𝑎

⩽

1,5

, откуда

𝑎 = 0,5

,

𝑏 = 2𝑎 = 1

,

𝑑 = 0

.

Итак, Кузьма должен вложить 500 тыс. руб. в акции ком-

пании

A

и 1 млн руб. в акции компании

B

.

(Также ответ можно

4 балла за итоговый ответ о вло-

жении денег с обоснованием

дать в виде количества акций: нужно купить 50 тыс. акций
компании

А

и 100 тыс. акций компании

B

.) Стоимость порт-

феля через год при этом будет равна

𝑆 = 1,65 + 0,1 ⋅ 0,5 =

= 1,7

млн руб. независимо от погоды.

1 балл за расчет стоимости порт-
феля

Примечание.

Как мы видим, оптимальной в данном слу-

чае является покупка акций обеих компаний. Это явление
получило название

диверсификация портфеля

или

хеджиро-

вание рисков

. Действительно, если доходность двух акций на-

Это примечание носит информа-

ционный характер и не должно
требоваться при проверке ра-
бот. Тем не менее, если участник,

не решая задачу численно, опи-
шет идею диверсификации (то

есть сделает вывод, что инвести-

ции нужно делить между

A

и

B

),

то за весь пункт ставится не бо-
лее 5 баллов в зависимости от

четкости обоснования.

ходится «в противофазe» (экономисты говорят в этом слу-
чае об «отрицательной корреляции»), покупка акций второ-
го типа является страховкой от убытков по акциям первого
типа, и наоборот.

Экономика

15

Задача 4.

«Осторожный Кузьма»