Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 56

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 4.

Фруктовая страна (10-11)

(30 баллов)

Во Фруктовой Стране есть три региона (А, B и С), в каждом из которых выращивают

персики (

𝑋

) и бананы (

𝑌

). В каждом из регионов КПВ имеет линейный вид; альтерна-

тивные издержки производства персиков положительны, и в регионе А они больше,
чем в регионе B, а в регионе B больше, чем в регионе С. Максимально возможное коли-
чество произведенных персиков в каждом из регионов одинаково и равно 24 тонны.
Максимально возможное производство бананов в стране равно 104 тонны.

Страна потребляет персики и бананы только в пропорции 1:1 и максимизирует по-

требление фруктов. Известно, что в условиях закрытой экономики каждый из фруктов
производился более, чем в одном регионе. Hа мировом рынке можно обменять 1 тон-
ну персиков на 1 тонну бананов. После того как страна открылась для международной
торговли, стране стало безразлично, сколько персиков и бананов производить в одном
из регионов (при оптимальных уровнях производства в других регионах).

В результате открытия международной торговли потребление как персиков, так и

бананов в стране выросло на

𝑍 > 0

тонн. Какие значения может принимать

𝑍

?

Для удобства проверки при построении КПВ указывайте количество произведен-

ных персиков

по горизонтали

. Кроме того, если вы будете решать задачу аналитически

(что необязательно), обозначьте альтернативные издержки (а. и.) производства перси-
ков в регионах за

𝑎

,

𝑏

и

𝑐

,

𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 0

.

Решение

Всю задачу можно решить двумя способами –– либо с помощью геометрических

соображений, не вводя уравнения КПВ регионов в общем виде аналитически, либо
вводя эти уравнения. В дальнейшем мы будем приводить оба этих способа (конечно,
участнику достаточно решить задачу каким-нибудь одним из способов, причем их
можно комбинировать, то есть получить какие-то из выводов геометрически, а какие-
то –– аналитически).

Заметим, что луч

𝑌 = 𝑋

пересекает КПВ страны на «среднем» участке, так как

каждый из товаров производится более чем в одном регионе. Тогда из геометриче-
ских соображений видно, что точка

(48; 48)

должна находиться выше КПВ страны. Для

дальнейшего решения геометрическим способом этого наблюдения достаточно.

Решая аналитически, получаем, что уравнения КПВ в трех регионах имеют вид

𝑌 = 𝑎(24 − 𝑋 )

,

𝑌 = 𝑏(24 − 𝑋 )

,

𝑌 = 𝑐(24 − 𝑋 )

. Поскольку КПВ страны является суммой трех

линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.),
и значит участок общей КПВ, соответствующий региону А, является самым правым.
Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид

𝑌 = 𝑎(72 − 𝑋 )

. Пересечение

этой прямой и прямой

𝑌 = 𝑋

должно произойти при

𝑋 < 48

. Точка пересечения имеет

абсциссу

72𝑎/(𝑎 + 1) < 48

, откуда

𝑎 < 2

. Это аналитический вариант условия о том, что

точка

(48; 48)

должна находиться выше КПВ страны.

Альтернативные издержки в одном из регионов должны равняться 1, так как

стране неважно, сколько каких товаров производить в этом регионе после открытия
торговли. Рассмотрим три случая.

а) Допустим, а. и. равны 1 в регионе А.

Региональный этап, 10-11 класс

14

Задача 4.

Фруктовая страна (10-11)

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Способ 1.

Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута

(выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ,
соответстующий региону А, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на
этом участке имеет вид

𝑌 = 72 − 𝑋

. И снова, поскольку КПВ страны вогнута (выпукла

вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), вся КПВ лежит под прямой

𝑌 = 72 − 𝑋

.

В этом случае максимальный объем производства бананов в стране не больше 72, а по
условию он равен 104. Противоречие.

Способ 2.

Уравнения КПВ в трех регионах имеют вид

𝑌 = 𝑎(24 − 𝑋 )

,

𝑌 = 𝑏(24 − 𝑋 )

,

𝑌 = 𝑐(24−𝑋 )

. Тогда максимальное производство бананов равно

24(𝑎+𝑏+𝑐) < 24⋅3𝑎 = 72

.

По условию же оно равно 104. Противоречие.

𝑋

24

48

72

𝑌

24

72

𝐴

Линия обмена

𝑋

24

48

72

𝑌

𝐵

𝑌 = 𝑋

Линия обмена

Случай а)

Случай b)

Рис. 4.1:

Невозможные случаи.

b) Допустим, а. и. равны 1 в регионе B.

Способ 1.

Поскольку участок общей КПВ, соответствующий региону B, является

«средним», при открытии международной торговли объемы потребления не изме-
нятся, а по условию

𝑍 > 0

. Противоречие.

Способ 2.

Поскольку точка

(48; 48)

лежит над КПВ и поскольку наклон КПВ на сред-

нем участке равен 1, вся КПВ, в силу своей вогнутости (выпуклости вверх, выполнения
закона возрастающих а. и.) должна лежать под прямой

𝑌 = 96 − 𝑋

, а значит, макси-

мальное производство бананов в стране меньше 96. По условию же оно равно 104.
Противоречие.

Способ 3.

Поскольку

𝑏 = 1

и

𝑐 < 𝑏

, а по выведенному выше

𝑎 < 2

, максимальное

производство бананов, равное

24(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

, меньше

24 ⋅ 4 = 96

. По условию же оно равно

104. Противоречие.

с) Значит, а. и. равны 1 в регионе С. Поскольку выполняется закон возрастаю-

Региональный этап, 10-11 класс

15

Задача 4.

Фруктовая страна (10-11)

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

𝑋

24

4548 52

72

𝑌

80

104

𝐴

𝐶

𝑌 = 𝑋

Линия обмена

Рис. 4.2:

Случай с). КПВ страны может лежать только между пунктирными линиями,

откуда и получаем ответ.

щих альтернативных издержек, регион С соответствует верхнему участку КПВ стра-
ны. Значит, уравнение КПВ на этом участке имеет вид

𝑌 = 104 − 𝑋

. Кроме того, та-

кое уравнение имеет прямая, вдоль которой страна обменивается товарами с други-
ми странами. Значит, объемы потребления после открытия торговли определяются
из пересечения прямых

𝑌 = 104 − 𝑋

и

𝑌 = 𝑋

, откуда

𝑋 = 𝑌 = 52

.

Для ответа на вопрос задачи осталось определить, какие значения может прини-

мать потребление фруктов в условиях закрытой экономики.

Заметим, что точка

(24; 80)

является точкой излома КПВ, а точка

(72; 0)

лежит на

КПВ. Соединим эти точки прямой. Ее уравнение имеет вид

𝑌 = 120 − 5𝑋 /3

. Посколь-

ку КПВ вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), КПВ не мо-
жет лежать ниже этой прямой. Значит, объемы потребления в отсутствие торговли не
меньше, чем те, что получаются при пересечении прямых

𝑌 = 120 − 5𝑋 /3

и

𝑌 = 𝑋

. Эти

объемы равны 45.

Наконец, по сказанному выше, точка

(48; 48)

лежит выше КПВ страны, и поэтому

объемы потребления в условиях закрытой экономики меньше 48. Значит, объемы по-
требления в условиях закрытой экономики лежат в пределах от 45 до 48, не включая
границы. Граница 48 не включается, так как в противном случае оказалось бы, что точ-
ка

(48; 48)

лежит на КПВ, а это не так. Граница 45 не включается, так как в противном

случае оказалось бы, что альтернативные издержки в регионах A и B одинаковы, а по
условию это не так.

Легко убедиться графически, что все промежуточные объемы между 45 и 48 воз-

Региональный этап, 10-11 класс

16

Задача 4.

Фруктовая страна (10-11)

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

можны. Отсюда получаем, что выигрыш страны от торговли

𝑍 ∈ (52−48; 52−45) = (4; 7)

.

Ответ:

𝑍 ∈ (4; 7)

.

Схема проверки

Схема проверки этой задачи написана в форме классификации некорректностей

(недочетов, ошибок, изъянов) в решениях участников. При выставлении оценки нуж-
но руководствоваться соотношением баллов и наборов нарушений, приведенным
в таблице ниже. Если в работах участников встречаются некорректности (или про-
движения), не описанные в авторских схемах проверки, жюри должно самостоятельно
определить их тяжесть (или ценность) и отнести к одному из типов в классификации.

В любом случае, оценка за эту задачу должна быть кратна 5 баллам.

Недочеты:

Н1.

Участник допустил арифметическую ошибку в преобразованиях выражений
или расчетах, не упростившую решение и не повлиявшую на ответ существен-
ным образом.

Н2.

Участник включил нижнюю и/или верхнюю границу на

𝑍

в ответ.

Н3.

Участник в своем решении подразумевал выполнение закона возрастающих
альтернативных издержек, но не ссылался на него явно.

Ошибки:

О1.

Участник не рассмотрел один из трех случаев, соответствующих тому, в каком
регионе альтернативные издержки равны 1, или привел неправильное объясне-
ние, почему этот случай следует отвергнуть.

О2.

Участник не сделал вывод о том, что точка

(48; 48)

лежит над КПВ (в любой эк-

вивалентной формулировке, в том числе

𝑎 < 2

), в результате чего не получил

нижнюю границу на

𝑍

.

Изъяны:

И1.

Участник не сделал вывод о том, что в одном из регионов наклон КПВ (альтер-
нативные издержки) должен быть равен 1.

И2.

Участник игнорировал выполнение закона возрастающих альтернативных из-
держек (например, строил невогнутые КПВ), в результате чего не смог провести
правильный отсев случаев и/или получить верхнюю границу на

𝑍

в случае с).

Минимальные продвижения:

П1.

Участник вывел уравнения КПВ регионов аналитически (с параметрами

𝑎, 𝑏, 𝑐

).

П2.

Участник обосновал, что КПВ одного из регионов должна иметь наклон 1.

П3.

Участник обосновал, что луч

𝑌 = 𝑋

пересекает общую КПВ страны на «среднем»

участке последней.

Региональный этап, 10-11 класс

17

Задача 4.

Фруктовая страна (10-11)

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Баллы Описание

30

Полное верное решение без недочетов

25

Решение верное, но в нем есть недочеты (один или несколько)

20

Решение в целом верное, но в нем есть одна ошибка

15

Решение в целом верное, однако в нем есть одна ошибка и один
или несколько недочетов

10

В решении имеется несколько ошибок или один изъян (наличие
недочетов не имеет значения)

5

Решение участников в целом неверное (то есть в нем есть больше
ошибок и изъянов, чем описано выше), однако в нем есть и мини-
мальные продвижения (одно или несколько)

0

Решение участников неверное, минимальное продвижение отсут-
ствует

Региональный этап, 10-11 класс

18

Задача 4.

Фруктовая страна (10-11)

Заключительный этап

Москва, 23-28 марта 2019 г.

Конкурс:

9 класс

Первый тур.

Решения.

Дата написания

24 марта 2019 г.

Количество заданий

4

Сумма баллов

36

Время написания

180 минут

1

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 1.

Ипотека Марфы

(9 баллов)

Марфа хочет купить квартиру, но сбережений у нее нет –– придется брать ипотеку.

Банк предлагает такие условия: срок кредита 15 лет, годовая ставка 10 % (сложные про-
центы), выплата происходит раз в год (в конце года) равными платежами. Если Марфа
не будет платить, банк заберет квартиру (но ничего другого банк забрать не может).
Политика банка предусматривает два ограничения на ипотечные кредиты:

1. Коэффициент «платеж/доход» должен составлять не более 50 %.
2. Первоначальный взнос должен быть не менее 10 % цены квартиры.

Минимальный первоначальный взнос готовы оплатить Марфины родители (бесплат-
но для нее). Доход Марфы составляет 100 тыс. руб. в месяц (считайте для простоты, что
он не будет меняться до конца выплат по кредиту), часть его она готова ежемесяч-
но откладывать на беспроцентный накопительный счет, чтобы платить по кредиту в
конце года.

Выбор квартир на рынке большой, и Марфа хочет взять самую дорогую, какую

сможет себе позволить.

а)

(3 балла)

Сколько будет стоить квартира? Округлите ответ до целых тысяч руб.

б)

(3 балла)

Объясните, почему банки вводят ограничение на коэффициент «пла-

теж/доход»? Приведите

одну

причину.

в)

(3 балла)

Объясните, почему банки вводят ограничение на минимальный пер-

воначальный взнос. Иными словами, почему бы банку просто не выдавать кредит
на всю сумму? Приведите

одну

причину (не такую, как в пункте

б)

).

Решение

а)

Максимальный платеж равен

100 ⋅ 12/2 = 600

.

Сумма кредита равна

𝐵 =

600

1,1

+

600

1,1

2

+ ⋯ +

600

1,1

15

=

600

0,1

(1 −

1

1,1

15

) ≈ 4564.

Цена квартиры

𝑃 = 𝐵/0,9 ≈ 5071

.

б)

Первое ограничение снижает риск дефолта из-за падения дохода. Оно увеличи-

вает разницу между доходом и платежом по ипотеке, поэтому меньше риск, что при
падении дохода заемщик не сможет позволить себе продолжать выплаты по ипотеке.

в)

Второе ограничение снижает стимулы к стратегическому дефолту. Оно помога-

ет увеличить разницу между ценой дома и размером кредита –– меньше риск, что це-
на упадет ниже баланса по ипотеке (когда цена квартиры оказывается меньше суммы
величины долга, у заемщика есть стимул перестать платить ипотему и отдать квар-
тиру банку: это выгоднее, чем продолжать платить). Помимо этого, первоначальный
взнос –– сигнал о серьезности намерений заемщика и в рамках условия задачи про
Марфу –– гарантия того, что заемщик не проживет в квартире год, не неся никаких
издержек.

Заключительный этап, 9 класс

2

Задача 1.

Ипотека Марфы

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Схема проверки

а)

Правильное решение оценивается в 3 балла. Использование месячного дохода

(50) вместо годового (600) при правильных рассуждениях штрафуется на 1 балл. Ариф-
метические ошибки штрафуются на 1 балл.

б)

Полным баллом оценивается решение, опирающееся на снижение риска при

падении дохода или росте постоянных расходов (при этом решение, основанное на
росте временных расходов (непредвиденные расходы), не оценивается). Аргумент
про то, что при большом отношении платеж/доход человеку не будет хватать денег
на товары первой необходимости, не принимается (при очень большом доходе да-
же небольшой части дохода будет хватать на товары первой необходимости, однако
отношение платеж/доход будет учитываться, потому что аргумент про снижение до-
ходов все равно работает). Аргументы про сбережения не принимаются (не факт, что
человек будет их делать, когда у него ипотека, он может, к примеру, гасить ипоте-
ку досрочно), аргументы про то, что банк заботится о человеке и не хочет, чтобы он
голодал, не принимаются (банк не волнует здоровье и режим питания заемщиков).

в)

Полным баллом оцениваются аргументы:

• Стимулы к стратегическому дефолту
• Сигнал о серьезности намерений (что человек уже вложил свои деньги, которые

ему в любом случае не вернутся)

• При отсутствии первоначального взноса заемщик имеет возможность бесплатно

прожить в квартире год

Корректные, но менее важные аргументы оцениваются меньшим числом баллов:

• 2 балла: первоначальный взнос позволяет банку компенсировать свои транзак-

ционные издержки в случае невыплаты ипотеки

Некорректные рассуждения, сочетающиеся с правильным аргументом, штрафуются
на 1-2 балла.

Рассуждения о том, что первоначальный взнос есть сигнал о платежеспособности

неверны (как в случае с Марфой: первоначальный взнос ей оплачивают родители,
никакой информации о платежеспособности Марфы факт уплаты взноса не несет).

Заключительный этап, 9 класс

3

Задача 1.

Ипотека Марфы