Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 54

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

14.

Бизнес-план фирмы-монополиста предполагает три варианта развития событий

в следующем году: оптимистичный, при котором функция спроса будет иметь вид

𝑄 = 𝐷

𝑔

(𝑃)

, пессимистичный, при котором функция спроса будет иметь вид

𝑄 = 𝐷

𝑏

(𝑃)

,

и «средний», при котором функция спроса будет иметь вид

𝑄 = (𝐷

𝑔

(𝑃) + 𝐷

𝑏

(𝑃))/2

. Пре-

дельные издержки фирмы постоянны и равны 1. Фирма будет назначать цену, уже
зная функцию спроса. Обозначим за

𝑃

⋆

𝑔

,

𝑃

⋆

𝑚

и

𝑃

⋆

𝑏

оптимальные цены при оптими-

стичном, «среднем» и пессимистичном сценариях соответственно. В каких из ниже-
перечисленных случаев будет выполнено

𝑃

⋆

𝑚

= (𝑃

⋆

𝑔

+ 𝑃

⋆

𝑏

)/2

?

1)

𝐷

𝑔

(𝑃) = 4 − 𝑃

,

𝐷

𝑏

(𝑃) = 2 − 𝑃

;

2)

𝐷

𝑔

(𝑃) = 4/𝑃

2

,

𝐷

𝑏

(𝑃) = 2/𝑃

2

;

3)

𝐷

𝑔

(𝑃) = 6 − 𝑃

,

𝐷

𝑏

(𝑃) = 6 − 2𝑃

;

4)

𝐷

𝑔

(𝑃) = 4/𝑃

5

,

𝐷

𝑏

(𝑃) = 2/𝑃

5

.

Комментарий

. В варианте 2) все три цены равны 2, а в варианте 4) они равны

5/4

.

Этот результат можно быстро получить, воспользовавшись формулой из вопроса 12,
а можно еще быстрее, заметив, что функции прибыли, соответствующие трем сце-
нариям, отличаются в этих случаях лишь множителем, и поэтому оптимальная цена
не зависит от сценария.

В варианте 1)

𝑃

⋆

𝑔

= 2,5

,

𝑃

⋆

𝑏

= 1,5

,

𝑃

⋆

𝑚

= 2

. В варианте 3)

𝑃

⋆

𝑔

= 3,5

,

𝑃

⋆

𝑏

= 2

,

𝑃

⋆

𝑚

= 2,5

.

Получается, что требуемое равенство не будет выполнено в общем случае: если

одна функция спроса равна среднему арифметическому из двух других, то то же самое
не всегда можно сказать об оптимальных ценах.

15.

В двух больших странах на внутренних рынках солнечных батарей функции

спроса убывают, а функции предложения возрастают. Изначально страны свободно
торгуют солнечными батареями. В начале 2018 года президент страны-импортера До-
нальд Т. ввел импортный тариф по ставке 30 %. В результате этого:

1)

Цена солнечных батарей в одной из стран понизится.

2) Потребители страны-импортера выиграют.
3) Потребители в стране-экспортере пострадают.

4)

Общее благосостояние хотя бы одной из стран упадет.

Комментарий

. 1) В результате ограничения торговли больше товара будет оста-

ваться в стране-экспортере, и поэтому цена в этой стране понизится.

2) Страна-импортер лишится части солнечных батарей, которые раньше в нее по-

ставлялись, цена вырастет, потребители проиграют.

3) Потребители в стране-экспортере выиграют от более низкой цены.
4) Отметим, что до ввода ограничений на торговлю на общем рынке солнечных

батарей совершались все возможные взаимовыгодные сделки, то есть благосостояние
было максимальным. После ввода ограничений некоторые взаимовыгодные сделки
не совершаются из-за разницы в ценах: продавцы в стране-экспортере хотели бы про-
дать за рубеж еще немного солнечных батарей, а потребители в стране-импортере хо-
тели бы их купить (так как на их внутреннем рынке цена выше), однако не могут сде-
лать этого из-за тарифа. Значит, с тарифом суммарное благосостояние в двух странах
не максимально, а значит, хотя бы одна из стран проиграла. К этому же ответу можно

Региональный этап, 10-11 класс

6

Первый тур. Тест.

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

прийти с помощью стандартного анализа излишков; суммарный излишек в стране-
экспортере упадет. (В какую сторону изменится благосостояние страны-импортера,
однозначно сказать нельзя.)

Описанная здесь мера похожа на действия, которые предпринимают США в отно-

шении Китая в рамках «торговой войны».

Часть 4

Четвертая часть включает

5 вопросов

с открытым ответом. Если задание предпо-

лагает численный ответ, нужно записать его

без указания единиц измерения

. Пра-

вильный ответ приносит

7 баллов

.

16.

На конкурентном рынке спрос описывается уравнением

𝑄 = 100 − 𝑃

, а предложе-

ние — уравнением

𝑄 = 𝑃

. Государство вводит субсидию в размере 20 ден. ед. за каждую

проданную единицу продукции. Найдите расходы государства на субсидию.

Ответ:

1200.

Комментарий

. Разница между ценой предложения и ценой спроса должна рав-

няться ставке субсидии, то есть

𝑃

𝑠

− 𝑃

𝑑

= 20

. С учетом (обратных) функций спроса

и предложения получаем

𝑄 − (100 − 𝑄) = 20

, откуда

𝑄 = 60

. Значит, расходы государ-

ства составят

60 ⋅ 20 = 1200

.

17.

Спрос на продукцию монополии задается уравнением

𝑄 = 11 − 𝑃

, издержки мо-

нополии равны

𝑇 𝐶 = 𝑄

. Государство вводит потоварный налог по ставке

𝑡

(

0 < 𝑡 < 10

).

Какую часть налога фирма переложит на потребителя? Запишите ответ в виде обык-
новенной или десятичной дроби.

Ответ:

1/2 или 0,5.

Комментарий

. После введения налога прибыль как функция от цены потребителя

примет вид

𝜋(𝑃) = (11 − 𝑃)(𝑃 − 1 − 𝑡)

. Это квадратичная парабола, оптимальная цена

равна

𝑃

⋆

= (11 + (1 + 𝑡))/2 = 6 + 𝑡/2

. Значит, фирма переложит на потребителя половину

налога.

18.

Известно, что в стране А спрос на товар Х задается уравнением

𝑄 = 5 − 𝑃/2

; а пред-

ложение –– уравнением

𝑄 = 𝑃/2

. Отечественные производители также могут продать

любое количество товара за рубеж по цене 8. Отечественные покупатели, в свою оче-
редь, могут приобрести любое количество товара за рубежом по цене 3. Зарубежные
производители и зарубежные покупатели не пересекаются. Сколько единиц товара
отечественные производители продадут внутри страны?

Ответ:

0.

Комментарий

. Отечественные производители не будут продавать по цене ниже 8,

а отечественные потребители не будут покупать по цене выше 3. Значит, отечествен-
ные потребители не купят ни одной единицы отечественного товара.

19.

КПВ страны описывается уравнением

𝑋 + 2𝑌 = 300

. На мировом рынке можно

обменивать Икс на Игрек в любую сторону в пропорции одна единица Икса за две
единицы Игрека. Жители потребляют Иксы и Игреки только в виде коктейлей, кото-
рые бывают двух видов:

Региональный этап, 10-11 класс

7

Первый тур. Тест.

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

(а)

2 единицы Икса и 2 единицы Игрека;

(б)

3 единицы Икса и 1 единица Игрека.

Между коктейлями разных видов жители безразличны. Какое максимальное ко-

личество коктейлей смогут потребить жители страны?

Ответ:

100.

Комментарий

. Внутри страны единица Икса «стоит» всего 1/2 единицы Игрека,

а на мировом рынке –– 2 единицы. Значит, страна будет производить Иксы и менять
их на Игреки. В общей сложности страна может получить 600 единиц Игрека. Кок-
тейль первого типа стоит

2 ⋅ 2 + 2 = 6

единиц Игрека, а коктейль второго типа стоит

3 ⋅ 2 + 1 = 7

единиц Игрека. Значит, выгодно весь «запас» Игрека тратить на коктейли

первого типа. Всего можно потребить

600/6 = 100

единиц коктейля.

20.

Спрос на продукцию монополиста предъявляют мужчины и женщины. Спрос

мужчин описывается уравнением

𝑄

𝑚

= 40 − 𝑃

, а женщин ––

𝑄

𝑤

= 20 − 𝑃

. Переменные

издержки равны нулю. Покупки осуществляются на сайте фирмы. Изначально фирма
не может определить пол посетителя сайта и назначает единую цену для всех. Компа-
ния

Oxford Analytics

предлагает технологию, которая основана на

big data

и позволяет

определять пол посетителя по характеру его/ее действий, что позволит монополисту
назначать разные цены для мужчин и женщин. Какую максимальную сумму фирма
будет готова заплатить за эту технологию?

Ответ:

50.

Комментарий

. Не различая группы покупателей, фирма максимизирует функ-

цию

(20 − 𝑃)𝑃 + (40 − 𝑃)𝑃

, откуда

𝑃 = 15

, а максимальная прибыль (с точностью до

константы FC) равна 450. (Можно проверить, что при

𝑃 > 20

функция выручки от про-

дажи лишь мужчинам убывает по

𝑃

, так что оптимум точно достигается при

𝑃

⩽

20

,

на участке, где потребляют обе группы.) Используя новую технологию, фирма будет
максимизировать

(20 − 𝑃

𝑤

)𝑃

𝑤

+ (40 − 𝑃

𝑚

)𝑃

𝑚

. Это сумма двух парабол, максимизация

их по отдельности дает

𝑃

𝑤

= 10

,

𝑃

𝑚

= 20

, максимальное значение равно 500. Значит,

фирма будет готова заплатить за технологию не более

500 − 450 = 50

.

Региональный этап, 10-11 класс

8

Первый тур. Тест.

Региональный этап

19 января 2019 года

Конкурс:

10-11 класс

Второй тур. Задачи.

Решения.

Продолжительность работы ––

140 минут

.

Максимальное количество баллов за задачи ––

120

.

Каждая задача оценивается из

30 баллов

.

Уважаемые коллеги!
В этом документе вы найдете решения задач регионального этапа всероссийской

олимпиады школьников по экономике 2019 года. Мы надеемся, что сами задания,
а также процесс их проверки доставят вам удовольствие.

При проверке задач нужно придерживаться схем, разработанных Центральной

предметно-методической комиссией (ЦПМК) по экономике и приведенных в данном
документе, а также «Требований к проведению регионального этапа по экономике
в 2018/2019 учебном году» (раздел 4). Общие принципы проверки приведены в «Тре-
бованиях...» и в списке ниже:

1. Для проверки задач члены жюри делятся на рабочие группы, каждая группа

проверяет конкретную задачу, один из членов рабочей группы назначается ее
руководителем. Такое разделение труда (при котором отдельные члены жюри
проверяют конкретные задачи, а не работы целиком) способствует одинаковому
уровню требований к решениям, облегчает разрешение спорных случаев. Со-
став рабочих групп утверждается председателем жюри или его заместителем. В
случае если некоторые рабочие группы завершают проверку своих задач рань-
ше других, их участники могут присоединиться к другим рабочим группам.

2. При наличии возможности желательно организовать проверку каждой задачи

в каждой работе не менее чем двумя членами жюри.

3. Жюри проверяет работы в соответствии со схемами проверки, разработанны-

ми ЦПМК. В случае наличия в работе участника фрагмента решения, который
не может быть оценен в соответствии со схемой проверки, жюри принимает ре-
шение исходя из своих представлений о справедливом оценивании, при воз-
можности консультируясь с составителями заданий. Выполнение данного тре-
бования имеет исключительную важность, поскольку по итогам регионального

1

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

этапа составляется единый рейтинг школьников по России, на основании кото-
рого определяется состав участников заключительного этапа.

4. Жюри оценивает только то, что написано в работе участника: не могут быть оце-

нены комментарии и дополнения, которые участник может сделать после окон-
чания тура (например, в апелляционном заявлении).

5. Фрагменты решения участника, зачеркнутые им в работе, не проверяются жюри.

Если участник хочет отменить зачеркивание, он должен явно написать в работе,
что желает, чтобы зачеркнутая часть была проверена. Если невозможно одно-
значно определить, хотел ли участник, чтобы фрагмент решения был проверен,
этот фрагмент не проверяется.

6. Участник должен излагать свое решение понятным языком, текст должен быть

написан разборчивым почерком. При этом жюри не снижает оценку за помар-
ки, исправления, орфографические, пунктуационные и стилистические ошиб-
ки, недостатки в оформлении работы, если решение участника можно понять.

7. Все утверждения, содержащиеся в решении участника, должны быть либо об-

щеизвестными (стандартными), либо логически следовать из условия задачи
или из предыдущих рассуждений участника. Участник может не доказывать
общеизвестные утверждения. Вопрос определения общеизвестности находит-
ся в компетенции жюри, но в любом случае общеизвестными считаются факты,
изучаемые в рамках школьной программы. Также, как правило, общеизвестны-
ми можно считать те факты, которые многократно использовались в олимпи-
адах прошлых лет и приводились без доказательств в официальных решени-
ях. Все необщеизвестные факты, не следующие тривиально из условия, должны
быть доказаны. Решение, которое явно или скрыто опирается на не доказанные
участником необщеизвестные факты, оценивается неполным баллом.

8. Участник может решать задачи любым корректным способом, жюри не повы-

шает баллы за красоту и лаконичность решения, а равно не снижает их за ис-
пользование нерационального способа. Корректным может быть решение, ко-
торое нестандартно и отличается по способу от авторского (приведенного в ма-
териалах составителей). При этом недопустимо выставление баллов «за объем»:
если участник написал большой текст, не содержащий продвижений в решении
задачи, такой текст должен быть оценен в 0 баллов.

9. Работа участника не должна оставлять сомнений в том, каким способом про-

водится решение задачи. Если участник излагает несколько решений задачи,
которые являются разными по сути (и, возможно, приводят к разным ответам),
и некоторые из решений являются некорректными, то жюри не обязано выби-
рать и проверять корректное решение.

10. Если в решении участника содержатся противоречащие друг другу суждения,

то они, как правило, не оцениваются, даже если одно из них верное. Нарушение
логических последовательностей (причинно-следственных связей), как прави-
ло, приводит к существенному снижению оценки.

11. В работе участника должно содержаться доказательство полноты и правильно-

сти его ответа, при этом способ получения ответа, если это не требуется для до-

Региональный этап, 10-11 класс

2

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

казательства его полноты и правильности, излагать необязательно.

12. Штрафы, которые жюри присваивает за вычислительные ошибки, зависят от се-

рьезности последствий этих ошибок. Вычислительная ошибка, которая не при-
вела к существенному изменению дальнейшего решения задачи и качественно
не изменила получаемых выводов, штрафуется меньшим числом баллов, чем
вычислительная ошибка, существенно повлиявшая на дальнейшее решение.

13. Если задача состоит из нескольких пунктов, то участник должен четко обозна-

чить, где начинается решение каждого пункта. Каждый фрагмент решения про-
веряется в соответствии с критериями проверки, разработанными для указанно-
го участником пункта. Если в решении участника одного из пунктов задачи со-
держится фрагмент решения, который в соответствии со схемой оценивания мо-
жет принести баллы за другой пункт задачи, жюри может не ставить эти баллы,
если из решения неочевидно, что участник понимает применимость результа-
тов к другому пункту. При решении пунктов задачи участник может ссылаться
на собственные решения (ответы) к другим пунктам или на общую часть реше-
ния, выписанную в начале.

14. Если ошибка была допущена в первых пунктах задачи и это изменило отве-

ты участника в последующих пунктах, то в общем случае баллы за следующие
пункты не снижаются, то есть они проверяются так, как если бы собственные
результаты, которыми пользуется участник, были правильными. Исключением
являются случаи, когда ошибки в первых пунктах упростили или качественно
исказили логику дальнейшего решения и/или ответы — в этих случаях баллы
за последующие пункты могут быть существенно снижены.

15. Если участник в своем решении опирается на метод перебора вариантов, то для

получения полного балла должны быть разобраны все возможные случаи. Упу-
щение некоторых случаев может привести к существенному снижению оценки
(непропорциональному доле неразобранных случаев в общем их числе).

16. Если для решения участнику необходимы дополнительные предпосылки, то он

должен их сформулировать. Дополнительные предпосылки при этом не долж-
ны менять смысл задачи и существенно сужать круг обсуждаемых в решении
ситуаций по сравнению с тем, который задан в условии.

Схемы проверки некоторых задач написаны в форме классификации некоррект-

ностей (недочетов, ошибок, изъянов) в решениях участников. В этих задачах нужно
руководствоваться соотношением баллов и наборов нарушений, приведенным в таб-
лице ниже. В этих случаях удобно указывать в работе участника, какие именно пунк-
ты из схемы применялись при проверке (например,

Н2, И1

и т. п.), чтобы снизить

число вопросов на показе работ. Если в работах участников встречаются некоррект-
ности (или продвижения), не описанные в авторских схемах проверки, жюри долж-
но самостоятельно определить их тяжесть (или ценность) и отнести к одному из ти-
пов в классификации. Хотелось бы предостеречь от чрезмерного пополнения перечня

минимальных продвижений

(для выставления «поощрительных баллов»), поскольку

участники, не решившие ни одной задачи, но набравшие во всех задачах «поощри-
тельные баллы», имеют меньше шансов на успешное выступление на последующих

Региональный этап, 10-11 класс

3

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

олимпиадах, чем те, кто решили немного задач, но полностью. В частности, не нужно
считать

минимальным продвижением

выписывание правильной формулы (без ее даль-

нейшего применения) «из учебника», чтобы не стимулировать участников в дальней-
шем выписывать все известные им формулы вместо решения задачи.

Баллы Описание

30

Полное верное решение без недочетов

25

Решение верное, но в нем есть недочеты (один или несколько)

20

Решение в целом верное, но в нем есть одна ошибка

15

Решение в целом верное, однако в нем есть одна ошибка и один
или несколько недочетов

10

В решении имеется несколько ошибок или один изъян (наличие
недочетов не имеет значения)

5

Решение участников в целом неверное (то есть в нем есть больше
ошибок и изъянов, чем описано выше), однако в нем есть и мини-
мальные продвижения (одно или несколько)

0

Решение участников неверное, минимальное продвижение отсут-
ствует

Составители написали приведенные ниже решения более подробно, чем если бы

им самим пришлось участвовать в олимпиаде. Данный документ содержит поясне-
ния, примечания, альтернативные способы решений, которые предназначены исклю-
чительно для информирования жюри, а также всех, кто будет разбирать эти задачи
в дальнейшем при изучении экономики и подготовке к олимпиадам. От участников
не нужно требовать слишком подробного решения ”— в любом случае руководствуй-
тесь здравым смыслом и старайтесь определить, действительно ли участник понима-
ет, как решается задача.

При этом помните, что приведенные ниже схемы проверки и обозначенные вы-

ше принципы будут применяться во всех регионах; для сопоставимости результа-
тов необходимо следовать им максимально четко. В случае если решение участника
не укладывается в предложенную схему проверки, примите решение исходя из свое-
го опыта и справедливости. В спорных случаях пишите нам. Если ЦПМК захочет дать
комментарии по проверке отдельных заданий (например, ответить на часто задавае-
мые вопросы), она сделает это на странице

http://ILoveEconomics.ru/olimp/region/2019/grading

. Если ЦПМК посчитает нужным

прояснить какие-либо аспекты авторских решений или схем проверки, она сделает
это в день проведения этапа на той же странице, поэтому членам жюри из всех реги-
онов рекомендуется следить за содержанием этой страницы при проверке работ.

Если вам потребуется неотложная консультация в день проведения регионального

этапа, вы можете написать ЦПМК по экономике напрямую: cpmk@iloveeconomics.ru.

Ваша ЦПМК

Региональный этап, 10-11 класс

4

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 1.

Ускорение производства

(30 баллов)

Одна из распространенных задач в управленческом консалтинге –– не только сни-

зить издержки производства, но и

ускорить

его, чтобы фирма могла произвести боль-

ше продукции в единицу времени. Рассмотрим фирму-монополиста

Ф

. Изначально ее

издержки производства описываются функцией

𝑇 𝐶(𝑞) = 10𝑞

, функция спроса имеет

вид

𝑞 = 40 − 2𝑃

единиц в месяц. Изначально максимальная скорость произвоства та-

кова, что фирма

Ф

может произвести не более 8 единиц продукции в месяц.

а)

(8 баллов)

Найдите максимальную прибыль фирмы.

б)

(8 баллов)

Консалтинговая компания MBB предлагает фирме план А, при реали-

зации которого без увеличения скорости производства себестоимость упадет на 40 %
при любом объеме производства. При этом фирма

Ф

должна будет платить компании

MBB комиссию

𝑌

каждый месяц. Найдите максимальное значение

𝑌

, которое согла-

сится заплатить фирма

Ф

.

в)

(6 баллов)

Вместо плана A фирме

Ф

предлагают план Б, согласно которому мак-

симальная скорость производства вырастет и позволит фирме выпустить на 50 % боль-
ше продукции в месяц, чем раньше. Найдите максимальное значение

𝑌

в этом случае.

г)

(8 баллов)

У фирмы

Ф

есть возможность внедрить оба плана одновременно. Най-

дите максимальное значение

𝑌

в этом случае.

Решение

а)

Найдем первоначальный оптимум, для чего составим функцию прибыли.

𝜋

0

(𝑞) = (20 − 𝑞/2)𝑞 − 10𝑞 = 10𝑞 − 𝑞

2

/2.

Фирма максимизирует эту функцию на отрезке

[0; 8]

. Функция является квадратич-

ной, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке

𝑞 = 10

. (Это зна-

чение можно найти и приравниванием производной прибыли к 0.) Следовательно,
функция возрастает на допустимом отрезке

[0; 8]

, оптимальный выпуск равен

𝑞

⋆

0

= 8

.

При этом максимальная прибыль составит

𝜋

0

(8) = 80 − 32 = 48

.

Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного до-

хода (

𝑀𝑅 = 20 − 𝑞

) и предельных издержек (

𝑀𝐶 = 10

). При всех

𝑞

⩽

8

выполнено

𝑀𝑅 > 𝑀𝐶

, так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптималь-

ное значение

𝑞

⋆

= 8

. Функции

𝑀𝑅

и

𝑀𝐶

пересекаются в точке

𝑞 = 10

, но это больше

допустимого количества.

б)

После внедрения плана А функция издержек примет вид

𝑇 𝐶(𝑞) = 0,6 ⋅ 10𝑞 + 𝑌 =

= 6𝑞 + 𝑌

.

Функция прибыли примет вид

𝜋

1

(𝑞) = (20 − 𝑞/2)𝑞 − (6𝑞 + 𝑌 ) = 14𝑞 − 𝑞

2

/2 − 𝑌 .

Фирма максимизирует эту функцию на отрезке

[0; 8]

. Функция является квадратич-

ной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке

𝑞 = 14

.

Следовательно, функция возрастает на отрезке

[0; 8]

, оптимальный выпуск равен

𝑞

⋆

1

= 8

. При этом максимальная прибыль составит

𝜋

1

(8) = 112 − 32 − 𝑌 = 80 − 𝑌

.

Региональный этап, 10-11 класс

5

Задача 1.

Ускорение производства