Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 52

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Примечание 4.

Участник может всюду считать максимальную прибыль без учета

платы консультантам (

𝑌

), а затем считать разность прибылей для ответа на вопрос о

том, сколько фирма готова заплатить. Такое решение корректно.

Схема проверки

За арифметическую ошибку в любом из пунктов снимается 1 балл, если она не

привела к существенным искажениям последующих ответов (то есть не повлияло на
решение фирмы о производстве максимально допустимого количества). При этом,
если ошибка, например, в пункте

а)

повлекла за собой неправильный ответ в пунктах

б)

и

в)

, 1 балл снимается только один раз.

а)

Если объем

𝑞 = 10

получен с помощью нахождения вершины параболы и сде-

лан вывод о том, что оптимальный объем равен 8, но при этом не указано, что ветви
параболы направлены вниз, снимается 3 балла. Действительно, именно то, что ветви
параболы направлены вниз, означает, что функция прибыли возрастает на отрезке

[0; 8]

и что оптимальным является объем

𝑞 = 8

.

Аналогично, если ответ получен с помощью анализа

𝑀𝑅

и

𝑀𝐶

, то должна быть

ссылка на то что

𝑀𝑅 > 𝑀𝐶

на всем допустимом отрезке (при этом сам объем

𝑞 =

10

, где они пересекаются, искать необязательно), без такой ссылки при правильном

ответе участник теряет 3 балла.

Таким образом, следующие рассуждения оцениваются в 5 баллов из 8:

1)

Составим функцию прибыли. Ее максимум в точке

𝑞 = 10

, но эта точка недоступ-

на, поэтому фирме следует выбрать самое близкое значение

𝑞 = 8

.

2)

Найдем функции

𝑀𝑅

и

𝑀𝐶

. Они пересекаются в точке

𝑞 = 10

, но эта точка недо-

ступна, поэтому фирме следует выбрать самое близкое значение

𝑞 = 8

.

Во всех случаях корректная иллюстрация (график функции прибыли или картин-

ка к модели монополии с

𝑀𝑅

и

𝑀𝐶

) считается достаточным обоснованием выбора

точки

𝑞 = 8

, то есть при наличии такой иллюстрации 3 балла не снимаются.

Если участник просто приравнивает

𝑀𝑅

и

𝑀𝐶

, просто находит вершину параболы

или приравнивает к нулю производную функции прибыли (и получает таким обра-
зом ответ

𝑞 = 10

), то он получает 3 балла за весь пункт, из которых 1 балл снимается,

если он не проверил выполнение достаточного условия (то есть не указал, что вет-
ви параболы направлены вниз, не проверил знак второй производной и не указал,
что

𝑀𝑅

пересекает

𝑀𝐶

«сверху»). Во всех случаях корректная иллюстрация (нарисо-

ванный график функции прибыли или картинка к модели монополии с

𝑀𝑅

и

𝑀𝐶

)

считается проверкой достаточных условий.

б)

Схема проверки аналогична пункту

а)

.

в)

В этом пункте участник может просто сделать корректный вывод из своих ре-

зультатов пункта

а)

. Если получен ошибочный вывод о том, что оптимальный объем

равен 12 (то есть что фирма будет производить весь максимальный объем), за пункт
ставится 0 баллов.

г)

Схема проверки аналогична пунктам

а)

и

б)

. Если участник в качестве ответа

приводит сумму ответов в

б)

и

в)

(если у него эти ответы верные, то должно полу-

читься

32 + 2 = 34

), за пункт ставится 0 баллов.

Региональный этап, 9 класс

7

Задача 1.

Ускорение производства

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 2.

Торговля пряниками

(30 баллов)

Московская и Тульская губернии участвуют в свободной торговле пряниками друг

с другом. Спрос и предложение жителей двух губерний (в штуках) имеют вид:

𝐷

𝑀

= 150 − 𝑃;

𝐷

𝑇

= 40 − 𝑃;

𝑆

𝑀

= −60 + 𝑃;

𝑆

𝑇

= 𝑃.

Других покупателей и продавцов на рынке нет.

а)

(10 баллов)

Какая цена установится на общем свободном рынке? Какая губерния

экспортирует, а какая импортирует пряники?

б)

(10 баллов)

Если вы правильно решили пункт

а)

, то вы догадываетесь, что туль-

ский губернатор недоволен положением вещей. Он решил ввести таможенную по-
шлину по ставке

𝑡

за каждый пряник, перевезенный через границу между губерни-

ями, и добиться того, чтобы жители Тульской губернии потребляли все вместе такое
же положительное число пряников, какое потребляют жители Московской. Удастся ли
ему это сделать? Если да, сколько пряников будет потребляться в каждой губернии?
Считайте, что таможенные сборы губернатор тратит на свои нужды, не связанные
с рынком пряников.

в)

(10 баллов)

В ситуации пункта

а)

московский губернатор решил поддержать

местных производителей. Для этого он решил ввести таможенную пошлину по став-
ке

𝑚

за каждый пряник, перевезенный через границу между губерниями, и добиться

того, чтобы тульские пряничники производили все вместе такое же положительное
число пряников, какое производят московские. Удастся ли ему это сделать? Если да,
сколько пряников будет производиться в каждой губернии? Считайте, что таможен-
ные сборы губернатор тратит на свои нужды, не связанные с рынком пряников.

Решение

а)

Составим суммарные кривые спроса и предложения:

𝐷

𝑀+𝑇

=

{

190 − 2𝑃,

если

𝑃

⩽

40;

150 − 𝑃,

если

40 < 𝑃

⩽

150.

𝑆

𝑀+𝑇

=

{

−60 + 2𝑃,

если

𝑃

⩾

60;

𝑃,

если

0

⩽

𝑃 < 60.

Равновесие достигается при

𝑃

⋆

= 70

–– при этой цене и спрос, и предложение на об-

щем рынке равны 80. По этой цене в Тульской губернии предложение больше спроса,
а в Московской –– наоборот, так что экспорт пряников происходит из Тулы в Москву.

Определить направление экспорта можно было и без подсчета равновесной цены,

достаточно указать, что внутренняя цена в Тульской губернии ниже, чем в Москов-
ской (20 против 105), а экспорт происходит оттуда, где дешевле, туда, где дороже.

Примечание 1.

Вероятно, одной из распространенных ошибок в этой задаче будет

следующая. Запишем функции импорта и экспорта стандартным образом:

𝐼 𝑚

𝑀

= 𝐷

𝑀

− 𝑆

𝑀

= (150 − 𝑃) − (−60 + 𝑃) = 210 − 2𝑃;

𝐸𝑥

𝑇

= 𝑆

𝑇

− 𝐷

𝑇

= 𝑃 − (40 − 𝑃) = 2𝑃 − 40.

Региональный этап, 9 класс

8

Задача 2.

Торговля пряниками

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

𝑄

60 80 110

190

𝑃

40

60

70

150

𝐷

𝑀+𝑇

𝑆

𝑀+𝑇

62,5

𝑄

0

−40

40 70

−90

150

90

𝑃

20

40

60

70

105

150

𝐼 𝑚

𝑀

𝐸𝑥

𝑇

62,5

Спрос и предложение

Импорт и экспорт

Рис. 2.1:

Равновесие международной торговли

В равновесии экспорт равен импорту, то есть

2𝑃 − 40 = 210 − 2𝑃

, откуда

𝑃 = 62,5

.

Однако этот ответ неправильный, ведь при нем величина спроса в Тульской губер-
нии оказывается отрицательной! Функции импорта и экспорта должны учитывать
ограничения на цены; их корректная запись выглядит так:

𝐼 𝑚

𝑀

=

⎧⎪⎪

⎪⎪

⎨⎪⎪

⎪⎪⎩

150 − 𝑃,

если

𝑃

⩽

60;

210 − 2𝑃,

если

60 < 𝑃

⩽

150;

60 − 𝑃,

если

𝑃 > 150.

𝐸𝑥

𝑇

=

{

𝑃,

если

𝑃

⩾

40;

2𝑃 − 40,

если

𝑃 < 40.

(Отрицательный импорт –– это экспорт, и наоборот.)

Эти функции принимают одинаковое значение как раз при цене 70, найденной

ранее (импорт и экспорт равны 70 единицам).

б)

В равновесии пункта

а)

все пряники съедаются в Московской губернии, а туль-

ским потребителям ничего не достается. Это происходит потому, что в Московской
губернии очень большой спрос (платежеспособные потребители) и очень низкое
предложение (фирмы с высокими издержками) –– всё это по сравнению с Тульской.
Тульский губернатор может ввести

экспортную

пошлину, чтобы местные производи-

тели были меньше заинтересованы в экспорте и продавали что-то дома.

Введение пошлины означает, что теперь цены в губерниях будут отличаться:

𝑃

𝑀

= 𝑃

𝑇

+ 𝑡

(везя товар в Московскую губернию, тульские производители вынужде-

ны платить

𝑡

, поэтому продавать в Москве будут дороже, чем у себя дома). При такой

разнице цен экспорт должен быть равен импорту, то есть:

210 − 2𝑃

𝑀

= 2𝑃

𝑇

− 40;

210 − 2(𝑃

𝑇

+ 𝑡) = 2𝑃

𝑇

− 40;

𝑃

𝑇

= 62,5 − 𝑡/2.

Региональный этап, 9 класс

9

Задача 2.

Торговля пряниками

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

𝑄

0

−25

𝑃

7,5

117,5

𝐼 𝑚

𝑀

𝑡

𝐸𝑥

𝑇

𝑄

0 25

𝑃

32,5

92,5

𝐼 𝑚

𝑀

𝑚

𝐸𝑥

𝑇

Пункт

б)

Пункт

в)

Рис. 2.2:

Пошлины

Такова зависимость цены в Тульской губернии от ставки пошлины, если тульские
потребители тоже едят пряники (то есть их величина спроса положительна).

Второе уравнение можно составить из условия о том, что потребители в двух гу-

берниях должны покупать одинаковое положительное количество товара:

𝐷

𝑀

(𝑃

𝑀

) = 𝐷

𝑇

(𝑃

𝑇

);

150 − 𝑃

𝑀

= 40 − 𝑃

𝑇

;

150 − (𝑃

𝑇

+ 𝑡) = 40 − 𝑃

𝑇

;

𝑡 = 110.

Проверим:

𝑃

𝑀

= 117,5;

𝑃

𝑇

= 7,5;

𝐷

𝑀

= 32,5;

𝐷

𝑇

= 32,5;

𝑆

𝑀

= 57,5;

𝑆

𝑇

= 7,5;

𝐼 𝑚

𝑀

= −25;

𝐸𝑥

𝑇

= −25.

Экспорт и импорт получились отрицательными! Это значит, что при такой по-

шлине никто не захочет экспортировать товар из Тулы в Москву, и равновесие сов-
падет с равновесием в отсутствие торговли. Вывод: Тульский губернатор не сможет
добиться поставленной цели.

К этому выводу можно было прийти и другим способом: даже в отсутствие тор-

говли тульские потребители потребляют всего 20 пряников против 45 в Москве. При
любом экспорте пряников из Тулы в Москву (пусть и с пошлиной) цена будет выше
для тульских потребителей, и ниже для московских, чем в случае отсутствия торгов-
ли. Значит, разница в потреблении может только увеличиться, и уровни потребления
не смогут сравняться.

Региональный этап, 9 класс

10

Задача 2.

Торговля пряниками

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

в)

В данном случае московская пошлина будет

импортной

, но сути дела это не ме-

няет: чтобы московские производители увеличили продажи, их конкуренция с им-
портом должна ослабнуть, то есть пряники должны продаваться в Московской гу-
бернии дороже, чем в Тульской. Аналогично пункту

б)

имеем

𝑃

𝑀

= 𝑃

𝑇

+ 𝑚

, откуда

𝑃

𝑇

= 62,5 − 𝑚/2

. Приравняем величины предложения:

𝑆

𝑀

(𝑃

𝑀

) = 𝑆

𝑇

(𝑃

𝑇

);

−60 + 𝑃

𝑀

= 𝑃

𝑇

;

−60 + 𝑃

𝑇

+ 𝑚 = 𝑃

𝑇

;

𝑚 = 60.

При импортной московской пошлине

𝑚 = 60

величины предложения сравняются.

Проверим:

𝑃

𝑀

= 92,5;

𝑃

𝑇

= 32,5;

𝐷

𝑀

= 57,5;

𝐷

𝑇

= 7,5;

𝑆

𝑀

= 32,5;

𝑆

𝑇

= 32,5;

𝐼 𝑚

𝑀

= 25;

𝐸𝑥

𝑇

= 25.

Заметим, что от этой меры выиграли тульские потребители (они теперь потребля-

ют хоть что-то) и московские производители; а тульские производители и московские
потребители проиграли.

Схема проверки

Изображения на рис. 2.1 и 2.2 приведены выше лишь для справки. Полное решение

этой задачи может не содержать ни одного из них.

а) 4 балла

за определение направления экспорта (любым способом, даже в «рав-

новесии» с отрицательным

𝐷

𝑇

).

6 баллов

за правильный подсчет равновесной цены. Если участник допускает

ошибку, описанную в примечании, то есть использует неправильный участок кривой
общего спроса и получает ответ

𝑃 = 62,5

(и даже если допускает при этом арифмети-

ческую ошибку), то он получает

1 балл

из 6. Если при этом участник обнаруживает

противоречие (указывает отрицательную величину спроса в Тульской губернии), но
не делает из этого вывода или делает неверный (например, пишет, что равновесия не
существует), то он получает еще

1 балл

, то есть всего 2 из 6.

б) 5 баллов

за понимание, как именно вводится пошлина.

2 балла

за составление уравнения

𝐷

𝑀

= 𝐷

𝑇

.

3 балла

за обоснование, что решения не существует.

в) 5 баллов

за понимание, как именно вводится пошлина.

2 балла

за составление уравнения

𝑆

𝑀

= 𝑆

𝑇

.

3 балла

за решение системы и поиск ответа.

Региональный этап, 9 класс

11

Задача 2.

Торговля пряниками

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 3.

Динамика безработицы (9)

(30 баллов)

Все население страны делится на три группы: безработные (

𝑈

), занятые (

𝐸

) и вы-

бывшие из рабочей силы¹ (

𝑉

). Известно, что в отсутствие шоков совокупного спроса

и предложения каждый год 10 % от всех выбывших переходят в рабочую силу и сра-
зу же находят работу. Также каждый год 5 % занятых становятся безработными, 25 %
безработных находят работу, а 20 % безработных выбывают из рабочей силы. Заня-
тые не выбывают из рабочей силы напрямую. Численность населения неизменна и
положительна.

Определите естественный уровень безработицы

𝑢

⋆

, то есть такой, при котором до-

стигается долгосрочное равновесие (число занятых, безработных и выбывших не из-
меняется со временем). Определите также долю экономически активного населения
в долгосрочном равновесии.

Решение

Пусть

Δ𝑋

–– изменение показателя

𝑋

. Тогда в долгосрочном равновесии выполня-

ются равенства:

Δ𝐸 = 0,25𝑈 + 0,1𝑉 − 0,05𝐸 = 0;

(3.1)

Δ𝑉 = 0,2𝑈 − 0,1𝑉 = 0;

(3.2)

Δ𝑈 = −0,25𝑈 + 0,05𝐸 − 0,2𝑈 = 0.

(3.3)

(Достаточно выписать любые два из трех этих уравнений, так как любое из них сле-
дует из двух других, поскольку

Δ𝐸 + Δ𝑈 + Δ𝑉 = 0

.)

Уровень безработицы равен

𝑈

𝑈 +𝐸

⋅100 %

, и его удобно найти из уравнения (3.3). Име-

ем

0,05𝐸 = 0,45𝑈

, откуда

𝐸 = 9𝑈

и значит,

𝑈

𝑈 + 𝐸

⋅ 100 % =

𝑈

𝑈 + 9𝑈

⋅ 100 % = 10 %.

Из уравнения (3.2)

𝑉 = 2𝑈

, тогда доля экономически активного населения равна

𝐸 + 𝑈

𝐸 + 𝑈 + 𝑉

=

10𝑈
12𝑈

=

5
6

.

Схема проверки

Участник должен продемонстрировать:

• Знание макроэкономических понятий, относящихся к рынку труда (занятость,

безработица, рабочая сила, выбывшие из рабочей силы, экономически активное
население).

• Аккуратность интерпретации данных из условия при использовании их в эко-

номических расчетах.

¹Этот термин значит то же, что и «не включаемые в рабочую силу».

Региональный этап, 9 класс

12

Задача 3.

Динамика безработицы (9)

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

1)

Как следует из решения, для ответов на оба вопроса достаточно любых двух

уравнений из набора (3.1)—(3.3). Баллы за выписывание этой системы ставятся по сле-
дующей схеме:

•

(10 баллов)

Все три уравнения корректно выписаны.

•

(10 баллов)

Любые два уравнения корректно выписаны.

•

(8 баллов)

Все три уравнения выписаны, однако в одном содержится ошибка.

•

(6 баллов)

Все три уравнения выписаны, однако в двух содержатся ошибки.

•

(4 балла)

Два уравнения выписаны, однако в одном содержится ошибка.

•

(4 балла)

Корректно выписано уравнение (3.3).

•

(2 балла)

Корректно выписано одно уравнение (3.1) или (3.2).

2)

Для поиска уровня безработицы участник должен упростить уравнение (3.3) или

систему (3.1)—(3.2), чтобы получить взаимосвязь

𝐸 = 9𝑈

или эквивалентную. Это дей-

ствие должно принести ему

6 баллов

. Если допущена арифметическая ошибка

в этом

действии

, то оценка за действие понижается до

4 баллов

. Если неправильная взаимо-

связь стала результатом использования неправильно полученных ранее уравнений,
это действие не оценивается (оценка

0 баллов

).

3)

Подставляя найденную взаимосвязь в формулу уровня безработицы, участник

получает ответ 10 %. Это действие приносит ему еще

4 балла

(фактически за знание

формулы уровня безработицы). Если участник представляет уровень безработицы в
долях, а не в процентах (0,1 вместо 10 %), оценка не изменяется. Если участник ис-
пользует неверные значения переменных, но верную формулу, баллы ставятся всё
равно (за поиск неверных значений участник уже оштрафован раньше), если только
значение уровня безработицы не утратило экономический смысл (например, не стало
больше 100 %.)

4)

Для поиска доли экономически активного населения участник должен упро-

стить ранее выписанную систему уравнений и получить взаимосвязь

𝑉 = 2𝑈

или

эквивалентную. Это действие должно принести ему

6 баллов

. Если допущена ариф-

метическая ошибка

в этом действии

, то оценка за действие понижается до

4 баллов

.

Если неправильная взаимосвязь стала результатом использования неправильно по-
лученных ранее уравнений, это действие не оценивается (оценка

0 баллов

).

5)

Подставляя найденную взаимосвязь в формулу доли экономически активно-

го населения, участник получает ответ 5/6. Это действие приносит ему еще

4 балла

(фактически за знание понятия

экономически активное население

и его формулы).

Если участник задает долю в процентах (83,3 % вместо 5/6), оценка не изменяется. Ес-
ли участник использует неверные значения переменных, но верную формулу, баллы
ставятся всё равно (за поиск неверных значений участник уже оштрафован раньше).

Региональный этап, 9 класс

13

Задача 3.

Динамика безработицы (9)

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 4.

Фруктовая страна (9)

(30 баллов)

Во Фруктовой Стране есть три региона (А, B и С), в каждом из которых выращи-

вают персики (

𝑋

) и бананы (

𝑌

). В каждом из регионов КПВ имеет линейный вид; аль-

тернативные издержки производства персиков в регионе А больше, чем в регионе B,
а в регионе B больше, чем в регионе С. Максимально возможное количество произве-
денных персиков в каждом из регионов одинаково и равно 20 тонн. Страна потребля-
ет персики и бананы только в пропорции 1:1 и максимизирует потребление фруктов.
Известно, что в оптимуме каждый из фруктов производился более, чем в одном ре-
гионе. Если страна перенаправит все ресурсы на производство бананов, она сможет
произвести

𝑍

тонн бананов.

Какие значения может принимать

𝑍

?

Для удобства проверки при построении КПВ указывайте количество произведен-

ных персиков

по горизонтали

. Кроме того, если вы будете решать задачу аналитиче-

ски (что необязательно), обозначьте альтернативные издержки производства перси-
ков в регионах за

𝑎

,

𝑏

и

𝑐

,

𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 0

.

Решение

Всю задачу можно решить двумя способами — либо с помощью геометрических

соображений, не вводя уравнения КПВ регионов в общем виде аналитически, либо
вводя эти уравнения. Мы приведем оба этих способа. (Конечно, участнику достаточно
решить задачу каким-нибудь одним из способов, причем их можно комбинировать,
то есть получить какие-то из выводов геометрически, а какие-то — аналитически.)

Геометрический способ.

Заметим, что луч

𝑌 = 𝑋

пересекает КПВ страны на «сред-

нем» участке, так как каждый из товаров производится более чем в одном регионе.
Из геометрических соображений видно, что из этого следует, что точка

(40; 40)

должна

находиться выше КПВ страны, а точка

(20; 20)

— ниже.

Поскольку КПВ страны получена путем сложения линейных КПВ, она вогнута (вы-

пукла вверх, выполняется закон возрастающих альтернативных издержек). Поскольку
точка

(40; 40)

лежит выше КПВ страны, а точка

(60; 0)

— на КПВ, вся КПВ лежит ниже

прямой

𝑌 = 120 − 2𝑋

, а значит, максимальное производство бананов меньше 120.

С другой стороны, поскольку точка

(20; 20)

лежит ниже КПВ страны, и КПВ вогну-

та, вся КПВ лежит выше ломаной, соединяющей точки

(0; 20)

,

(20; 20)

,

(60; 0)

. Значит,

максимальное производство бананов больше 20.

Несложно убедиться геометрически, что

𝑍

может принимать все промежуточные

значения от 20 до 120. При этом мы не включаем в ответ 20, так как тогда альтерна-
тивные издержки в двух регионах окажутся равны, а это не так по условию. Мы не
включаем 120, так как в этом случае альтернативные издержки во всех трех регионах
будут равны, а это не так по условию.

Аналитический способ.

Уравнения КПВ в трех регионах имеют вид

𝑌 = 𝑎(20 − 𝑋 )

,

𝑌 = 𝑏(20 − 𝑋 )

,

𝑌 = 𝑐(20 − 𝑋 )

. Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных

КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих альтернативных
издержек), и значит участок общей КПВ, соответствующий максимальным альтерна-
тивным издержкам

𝑎

, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом

Региональный этап, 9 класс

14

Задача 4.

Фруктовая страна (9)