Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 25

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

1 балл:

— Обосновано, почему потребители первой группы не проиграют от про-

ведения дискриминации;

1 балл:

— Обосновано, почему потребители второй группы выиграют от проведе-

ния ценовой дискриминации;

Заключительный этап, 11 класс

20

Задача 6

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 7.

Люди и роботы: кто кого?

(12 баллов)

В XXI веке ускорились темпы автоматизации производства, то есть замены труда

людей капиталом –– в основном, промышленными роботами. Неудивителен рост бес-
покойства по поводу того, что машины могут полностью заменить людей. В данной
задаче мы рассмотрим модель, проливающую свет на этот феномен.

Рассмотрим фирму, производственная функция которой имеет вид

𝑄 =

√

𝐿

1

+ 𝑎 ⋅ 𝑅,

где

𝑄

–– объем производства товара,

𝐿

1

–– объем

неквалифицированного

труда людей

(труда рабочих),

𝑅

–– объем труда роботов,

𝑎

⩾

0

–– параметр, характеризующий про-

изводительность роботов. Фирма закупает неквалифицированный труд людей и труд
роботов на конкурентном рынке по одинаковой цене, равной 1. При безразличии фир-
ма использует для производства труд роботов, а не людей.

Цена товара фирмы

𝑃

не зависит произведенного количества товара, но зависит от

его качества

𝑧

:

𝑃(𝑧) = 4𝑧

. Качество товара тем выше, чем больше инженеров, дизайне-

ров и других

квалифицированных

сотрудников наймет фирма. А именно,

𝑧 =

4

√

𝐿

2

, где

𝐿

2

–– объем квалифицированного труда людей. Цена единицы квалифицированного

труда людей фиксирована и равна 2.

а)

(1 балл)

При каких значениях

𝑎

фирма будет использовать труд роботов?

б)

(3 балла)

Допустим, качество товара фиксировано на определенном уровне

𝑧

⩾

0

. Определите оптимальный для фирмы объем производства как функцию от

𝑧

и

𝑎

. Определите, какой объем

𝐿

1

будет нанимать фирма как функцию от

𝑧

и

𝑎

.

в)

(3 балла)

Определите, какое качество

𝑧

⋆

будет выбирать фирма как функцию

от

𝑎

.

г)

(2 балла)

Определите величину

суммарного

спроса фирмы на труд людей как

функцию от

𝑎

.

д)

(3 балла)

В XXI веке значение параметра

𝑎

быстро растет. Допустим,

𝑎

1

и

𝑎

2

та-

ковы, что при росте производительности роботов с

𝑎

1

до

𝑎

2

фирма увольняет неква-

лифицированных работников. Верно ли, что при этом величина

суммарного

спроса

фирмы на труд людей тоже сократится? Если нет, приведите этому содержательное
экономическое объяснение.

Решение

а)

Как видно из функции,

𝑎

единиц труда неквалифицированных работников и

единица труда роботов

взаимозаменяемы

–– при вычитании одного и добавлении дру-

гого выпуск всегда остается неизменным. Следовательно, если

𝑎

единиц

𝐿

1

стоят до-

роже единицы

𝑅

, неквалифицированный труд использовать не нужно. Затраты на

единицу каждого из этих ресурсов равны 1, так что труд роботов выгоднее исполь-
зовать при

𝑎 > 1

, а при

𝑎 = 1

–– безразлично. Согласно условию, в последнем случае

фирма тоже выберет роботов, то есть

𝑎

⩾

1

–– ответ на вопрос пункта.

То же самое можно показать через предельные продукты ресурсов:

𝑀𝑃

𝐿

1

=

1

2 ⋅ (𝐿

1

+ 𝑎 ⋅ 𝑅)

>

𝑎

2 ⋅ (𝐿

1

+ 𝑎 ⋅ 𝑅)

= 𝑀𝑃

𝑅

.

Заключительный этап, 11 класс

21

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Значение первой дроби меньше при

𝑎 < 1

, следовательно, при этом условии каждый

дополнительный робот производит меньше, чем работник, при одинаковых издерж-
ках.

б)

В случае

𝑎

⩾

1

используются роботы, а неквалифицированный труд не исполь-

зуется, то есть

𝐿

1

= 0

. Прибыль при этом равна

𝜋 = 4𝑧𝑄 − 𝑅

(пренебрегаем фиксиро-

ванными издержками на

𝐿

2

). Максимум этой функции можно искать разными спо-

собами: через производную, через условие равенства предельных величин или через
преобразования в квадратичную параболу. Воспользуемся последним способом и за-
меним

𝑅 = 𝑄

2

/𝑎

:

𝜋 = 4𝑧𝑄 −

𝑄

2

𝑎

.

Относительно

𝑄

это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке

𝑄 =

2𝑎𝑧

.

В случае

𝑎 < 1

роботы не используются и производственная функция принима-

ет вид

𝑄 =

√

𝐿

1

, то есть

𝐿

1

= 𝑄

2

. Запишем функцию прибыли (снова не учитываем

фиксированные издержки):

𝜋 = 4𝑧𝑄 − 𝑄

2

.

Относительно

𝑄

это тоже квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке

𝑄 = 2𝑧

. Отсюда

𝐿

1

= 𝑄

2

= 4𝑧

2

.

В итоге получаем:

𝑄(𝑎, 𝑧) = {

2𝑧,

𝑎 < 1

2𝑎𝑧, 𝑎

⩾

1

𝐿

1

(𝑎, 𝑧) = {

4𝑧

2

, 𝑎 < 1

0,

𝑎

⩾

1

𝑅(𝑎, 𝑧) = {

0,

𝑎 < 1

4𝑎𝑧

2

, 𝑎

⩾

1

В вопросе пункта спрашивались только

𝑄

и

𝐿

1

; функция

𝑅

выписана, так как она

пригодится в дальнейшем.

в)

Теперь

𝑧

является переменой величиной, а значит и издержки

𝐿

2

становятся

переменными. Их величина равна

2𝐿

2

= 2𝑧

4

. Воспользовавшись результатами преды-

дущего пункта, составим функцию прибыли:

𝜋 = {

4𝑧 ⋅ 2𝑧 − 4𝑧

2

− 2𝑧

4

,

𝑎 < 1

4𝑧 ⋅ 2𝑎𝑧 − 4𝑎𝑧

2

− 2𝑧

4

, 𝑎

⩾

1.

Максимизировать эту функцию можно по-разному. Заменим

𝑡 = 𝑧

2

:

𝜋 = {

8𝑡 − 4𝑡 − 2𝑡

2

,

𝑎 < 1,

8𝑎𝑡 − 4𝑎𝑡 − 2𝑡

2

, 𝑎

⩾

1.

Вершины парабол (с ветвями вниз) будут ответом на вопрос пункта:

𝑧 =

√

𝑡 = {

1,

𝑎 < 1

√

𝑎, 𝑎

⩾

1.

Заключительный этап, 11 класс

22

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

г)

Согласно результату первого пункта и условию,

𝐿

1

(𝑧) = {

4𝑧

2

, 𝑎

⩾

1

0,

𝑎

⩾

1

𝐿

2

(𝑧) = 𝑧

4

Подставив сюда

𝑧

, найденное в пункте

в)

, получим:

𝐿

1

(𝑎) = {

4, 𝑎 < 1
0, 𝑎

⩾

1

𝐿

2

(𝑎) = {

1,

𝑎 < 1

𝑎

2

, 𝑎

⩾

1

𝐿(𝑎) = 𝐿

1

(𝑎) + 𝐿

2

(𝑎) = {

5,

𝑎 < 1

𝑎

2

𝑎

⩾

1

График последней функции в задаче не требовался, но для ответа на следующий

вопрос он будет полезен:

𝑎

0.5 1

3

𝐿

5

1

9

𝐿(𝑎)

д)

Например, при росте

𝑎

от 0,5 до 3 спрос на неквалифицированный труд сни-

жается с 4 до 0, а общий спрс на труд растет с 5 до 9. Бо́льшая производительность
роботов увеличивает объемы производства, а значит, и стимулы инвестировать в ка-
чество (ведь выгоды от увеличения качества умножаются на большее количество).
Это, в свою очередь, увеличивает спрос фирмы на квалифицированных сотрудников.
Рост этого спроса при росте

𝑎

может скомпенсировать падение спроса на неквалифи-

цированных сотрудников, и суммарный спрос вырастет.

Также можно описать происходящее в терминах «субституты-комплементы».

Неквалифицированный труд людей является субститутом к труду роботов, но ква-
лифицированный труд людей является комплементом к нему (через взаимодействие
количества и качества). При росте

𝑎

растет спрос на роботов, и потому падает на суб-

ститут роботов (неквалифицированный труд людей) и растет на комплемент роботов
(квалифицированный труд людей). Сумма двух последних эффектов может оказаться
положительна.

Схема проверки

а)

Определено условие

𝑎

⩾

1

––

(1 балл)

Заключительный этап, 11 класс

23

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

б)

По 1 баллу за корректную постановку задачи и за нахождение каждой из функ-

ций. Если при нахождении функций один из двух случаев (интервалов

𝑎

) игнориру-

ется, ставится 1 балл вместо 2.

в)

По 1 баллу за корректную постановку задачи, нахождение опитмума и верный

ответ.

г)

По 1 баллу за верное нахождение функций

𝐿

2

(𝑎)

и

𝐿(𝑎)

.

д)

Пример случая, в котором утверждение неверно:

(

2 балла).

Экономическая интерпретация:

(1 балл)

Заключительный этап, 11 класс

24

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 8.

Инвестиции с минимальным сожалением

(12 баллов)

Любой инвестор сталкивается с ситуацией, когда он жалеет о том, что вложил или

не вложил деньги в определенный актив. Если стоимость актива растет, инвестор,
не вложивший деньги в него, жалеет об этом; если же стоимость падает, сожаление
испытывают инвесторы, вложившие деньги. Будущее неопределенно, и потому пол-
ностью избежать сожаления не удастся. Разные портфели активов, однако, характери-
зуются разным потенциальным сожалением. В этой задаче вам предлагается найти
для нескольких примеров портфели активов, при которых потенциально возможное
сожаление

минимально

.

Доходности Сценарий 1 Сценарий 2

Акции Alset

+30

%

−10

%

Акции Drof

−20

%

+20

%

Представим себе инвестора, имеющего

1 млн руб. и рассматривающего инвести-
ции в два актива: акции компании Alset,
производящей электромобили, и компа-
нии Drof, производящей бензиновые автомобили. Цены на акции этих фирм обычно
движутся в противоположном направлении. В зависимости от ситуации на энергети-
ческих рынках может реализоваться Сценарий 1, при котором растут акции Alset, или
Сценарий 2, при котором растут акции Drof. Таблица возможных доходностей при-
ведена справа. (Например, в Сценарии 1 цена акций Alset вырастет на 30 %.) В момент
вложения средств инвестор не знает, какой сценарий реализуется.

Определим

сожаление

как разницу между максимальной прибылью при опреде-

ленном сценарии и фактической прибылью. Например, если инвестор вложит в акции
двух компаний по 0,5 млн руб. и реализуется Сценарий 1, инвестор получит прибыль
в размере

0,3 ⋅ 0,5 + (−0,2) ⋅ 0,5 = 0,05

млн руб, в то время как максимальная прибыль

при данном сценарии равна

0,3 ⋅ 1 = 0,3

(все надо было вкладывать в Alset). Cожале-

ние инвестора будет равно

0,3 − 0,05 = 0,25

млн руб. Если же реализуется Сценарий 2,

сожаление инвестора будет равно

0,2 ⋅ 1 − (0,2 ⋅ 0,5 + (−0,1) ⋅ 0,5) = 0,2 − 0,05 = 0,15

млн

руб. Максимально возможное (по всем сценариям) сожаление инвестора при равном
вложении средств будет равно max

(0,25; 0,15) = 0,25

млн руб.

а)

(4 балла)

Допустим, инвестор вкладывает в акции всю сумму. Определите, ка-

кую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать максимально
возможное в будущем сожаление.

б)

(3 балла)

Инвестор по-прежнему вкладывает всю сумму, но теперь есть Сцена-

рий 3, при котором происходит кризис и акции обеих компаний падают в цене:

Доходности Сценарий 1 Сценарий 2 Сценарий 3

Акции Alset

+30

%

−10

%

−30

%

Акции Drof

−20

%

+20

%

−20

%

Определите, какую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать
максимально возможное в будущем сожаление.

в)

(5 баллов)

Предположим, что в условиях пункта

б)

инвестор может не вклады-

вать часть денег в акции. Невложенные средства приносят доходность 0 % при любом
сценарии. Определите, какие доли средств инвестору следует вложить в Alset и Drof,
чтобы минимизировать максимально возможное в будущем сожаление.

Заключительный этап, 11 класс

25

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Решение

а)

Пусть

𝑥

— доля средств, вкладываемых в Alset. Если реализуется Сценарий 1,

сожаление будет равно

0,3 − (0,3𝑥 − 0,2(1 − 𝑥)) = 0,5 − 0,5𝑥

. Если реализуется Сценарий 2,

сожаление будет равно

0,2−(−0,1𝑥 +0,2(1−𝑥)) = 0,3𝑥

. Значит, максимальное сожаление

равно

𝑅

1

(𝑥) =

max

{0,5 − 0,5𝑥; 0,3𝑥}.

0,5 − 0,5 = 0,3𝑥

при

𝑥 = 5/8

, так что функцию сожаления можно переписать как

𝑅

1

(𝑥) = {

0,5 − 0,5𝑥, 𝑥 < 5/8;
0,3𝑥,

𝑥

⩾

5/8.

.

𝑅

1

(𝑥)

убывает при

𝑥 < 5/8

и растет при

𝑥 > 5/8

, значит, точкой минимума является

𝑥

∗

= 5/8

.

б)

При третьем сценарии сожаление будет равно

−0,2 − (−0,3𝑥 − 0,2(1 − 𝑥)) = 0,1𝑥

.

Значит, максимальное сожаление равно

𝑅

2

(𝑥) =

max

{0,5 − 0,5; 0,3𝑥; 0,1𝑥}.

Заметим, что при всех

𝑥 0,3𝑥

⩾

0,1𝑥

(сожаление при втором сценарии больше, чем при

третьем), так что

𝑅

2

(𝑥) = 𝑅

1

(𝑥)

. Значит, и оптимальное значение

𝑥

то же,

𝑥

∗

= 5/8

.

в)

Пусть

𝑥

и

𝑦

— доли средств, вкладываемые в акции Alset и Drof соответственно,

𝑥+𝑦

⩽

1

, тогда

1−𝑥−𝑦

не вкладываются никуда. При первом сценарии сожаление будет

равно

0,3 − (0,3𝑥 − 0,2𝑦)

, при втором

0,2 − (−0,1𝑥 + 0,2𝑦)

, при третьем

0 − (−0,3𝑥 − 0,2𝑦)

(так как максимальная прибыль при третьем сценарии равна 0, инвестор сожалеет,
что вообще вкладывал в акции). Тогда максимальное сожаление равно

𝑅(𝑥,𝑦) =

max

{0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦; 0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦; 0,3𝑥 + 0,2𝑦}.

Нам нужно минимизировать эту функцию по

𝑥,𝑦

при ограничениях

𝑥,𝑦

⩾

0

,

𝑥 + 𝑦

⩽

1

.

Дальше двигаться можно несколькими способами.

Способ 1.

(Догадка + обоснование)

По аналогии с пунктом а), предположим, что минимальное сожаление достигается

тогда, когда сожаление одинаково при всех сценариях. Это происходит при

𝑥

и

𝑦

,

удовлетворяющих равенствам

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦 = 0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦 = 0,3𝑥 + 0,2𝑦.

Решая эту систему, получаем

𝑥 = 0,5

,

𝑦 = 0,25

.

Сожаление при

(𝑥,𝑦) = (0,5,0,25)

равно

𝑅(0,5,0,25) =

max

{0,2; 0,2; 0,2} = 0,2

.

Докажем, что это действительно минимально возможное сожаление, то есть для

всех

𝑥,𝑦

⩾

0

,

𝑥 + 𝑦

⩽

1

,

𝑅(𝑥,𝑦)

⩾

0,2

.

Предположим противное. Тогда существуют некие

𝑥

0

,𝑦

0

, такие что

𝑅(𝑥

0

,𝑦

0

) < 0,2

.

Тогда, поскольку

𝑅

равно наибольшему из трех сожалений, сожаление

при каждом

сценарии

должно быть меньше 0,2. Но тогда

Заключительный этап, 11 класс

26

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

⎧
⎨

⎩

0,3 − 0,3𝑥

0

+ 0,2𝑦

0

< 0,2;

0,2 + 0,1𝑥

0

− 0,2𝑦

0

< 0,2;

0,3𝑥

0

+ 0,2𝑦

0

< 0,2

Складывая первые два неравенства, получаем

0,5−0,2𝑥

0

< 0,4

, откуда

𝑥

0

> 0,5

. Скла-

дывая вторые два неравенства, получаем

0,4𝑥

0

< 0,2

, откуда

𝑥

0

< 0,5

. Противоречие.

Значит, минимально возможное сожаление действительно равно 0,2 и достигается

при

𝑥

∗

= 0,5

,

𝑦

∗

= 0,25

.

Способ 2.

(Прямой анализ)

Обозначим за

𝑆

множество всех возможных портфелей

(𝑥,𝑦)

, то есть

𝑆 = {(𝑥,𝑦) ∶

𝑥,𝑦

⩾

0, 𝑥 + 𝑦

⩽

1}

. Это треугольник с вершинами в точках

(0,0)

,

(0,1)

,

(1,0)

.

Для каждого сценария

𝑖 = 1,2,3

найдем такое подмножество множества портфелей

𝑆

, что максимальное сожаление достигается при сценарии

𝑖

. Обозначим эти подмно-

жества за

𝑆

𝑖

.

Тогда

𝑆

1

определяется неравенствами

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

⩾

0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

,

0,3 − 0,3𝑥 +

0,2𝑦

⩾

0,3𝑥 + 0,2𝑦

;

𝑆

2

определяется неравенствами

0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

⩾

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

,

0,2+0,1𝑥 −0,2𝑦

⩾

0,3𝑥 +0,2𝑦

;

𝑆

2

определяется неравенствами

0,3𝑥 +0,2𝑦

⩾

0,3−0,3𝑥 +0,2𝑦

,

0,3𝑥 + 0,2𝑦

⩾

0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

.

Изобразим эти множества на графике.

𝑥

𝑦

𝑆

1

𝑆

3

𝑆

2

0,25 0,5

0,25

𝐴

Общая граница

𝑆

1

и

𝑆

2

определяется равенством сожалений при сценариях 1 и 2,

то есть равенством

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦 = 0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

, что эквивалентно

𝑦 = 𝑥 − 0,25

.

Аналогичным образом получаем, что общая граница

𝑆

2

и

𝑆

3

описывается уравнением

𝑦 = 0,5 − 0,5𝑥

; общая граница

𝑆

1

и

𝑆

3

задается уравнением

𝑥 = 0,5

. Общая точка трех

множеств

𝐴(0,5; 0,25)

определяется равенством всех сожалений.

Тогда разобьем минимизацию

𝑅(𝑥,𝑦)

на два этапа: 1) проминимизируем сожале-

ние на каждом из множеств

𝑆

1

,

𝑆

2

,

𝑆

3

, получим три оптимальные точки; 2) из трех

полученных точек выберем ту, в которой сожаление наименьшее.

Этап 1.

На множестве

𝑆

1

(максимальное) сожаление равно

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

. Будем мини-

мизировать его графически. Для этого рассмотрим семейство «кривых безразличия»,
то есть линий, на которых сожаление одинаково. Они описываются уравнениями

Заключительный этап, 11 класс

27

Задача 8