содержание .. 16 17 18 19 ..

Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 18

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

г)

Согласно результату первого пункта и условию,

𝐿

(𝑧) = {

4𝑧

, 𝑎

⩾

𝑎

⩾

𝐿

(𝑧) = 𝑧

Подставив сюда

𝑧

, найденное в пункте

в)

, получим:

𝐿

(𝑎) = {

4, 𝑎 < 1
0, 𝑎

⩾

𝐿

(𝑎) = {

𝑎 < 1

𝑎

, 𝑎

⩾

𝐿(𝑎) = 𝐿

(𝑎) + 𝐿

(𝑎) = {

𝑎 < 1

𝑎

⩾

График последней функции в задаче не требовался, но для ответа на следующий

вопрос он будет полезен:

𝑎

0.5 1

𝐿

𝐿(𝑎)

д)

Например, при росте

𝑎

от 0,5 до 3 спрос на неквалифицированный труд сни-

жается с 4 до 0, а общий спрс на труд растет с 5 до 9. Бо́льшая производительность
роботов увеличивает объемы производства, а значит, и стимулы инвестировать в ка-
чество (ведь выгоды от увеличения качества умножаются на большее количество).
Это, в свою очередь, увеличивает спрос фирмы на квалифицированных сотрудников.
Рост этого спроса при росте

𝑎

может скомпенсировать падение спроса на неквалифи-

цированных сотрудников, и суммарный спрос вырастет.

Также можно описать происходящее в терминах «субституты-комплементы».

Неквалифицированный труд людей является субститутом к труду роботов, но ква-
лифицированный труд людей является комплементом к нему (через взаимодействие
количества и качества). При росте

𝑎

растет спрос на роботов, и потому падает на суб-

ститут роботов (неквалифицированный труд людей) и растет на комплемент роботов
(квалифицированный труд людей). Сумма двух последних эффектов может оказаться
положительна.

Схема проверки

а)

Определено условие

𝑎

⩾

––

(1 балл)

Заключительный этап, 9 класс

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

б)

По 1 баллу за корректную постановку задачи и за нахождение каждой из функ-

ций. Если при нахождении функций один из двух случаев (интервалов

𝑎

) игнориру-

ется, ставится 1 балл вместо 2.

в)

По 1 баллу за корректную постановку задачи, нахождение опитмума и верный

ответ.

г)

По 1 баллу за верное нахождение функций

𝐿

(𝑎)

𝐿(𝑎)

д)

Пример случая, в котором утверждение неверно:

(

2 балла).

Экономическая интерпретация:

(1 балл)

Заключительный этап, 9 класс

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 8.

Инвестиции с минимальным сожалением

(12 баллов)

Любой инвестор сталкивается с ситуацией, когда он жалеет о том, что вложил или

не вложил деньги в определенный актив. Если стоимость актива растет, инвестор,
не вложивший деньги в него, жалеет об этом; если же стоимость падает, сожаление
испытывают инвесторы, вложившие деньги. Будущее неопределенно, и потому пол-
ностью избежать сожаления не удастся. Разные портфели активов, однако, характери-
зуются разным потенциальным сожалением. В этой задаче вам предлагается найти
для нескольких примеров портфели активов, при которых потенциально возможное
сожаление

минимально

Доходности Сценарий 1 Сценарий 2

Акции Alset

+30

−10

Акции Drof

−20

+20

Представим себе инвестора, имеющего

1 млн руб. и рассматривающего инвести-
ции в два актива: акции компании Alset,
производящей электромобили, и компа-
нии Drof, производящей бензиновые автомобили. Цены на акции этих фирм обычно
движутся в противоположном направлении. В зависимости от ситуации на энергети-
ческих рынках может реализоваться Сценарий 1, при котором растут акции Alset, или
Сценарий 2, при котором растут акции Drof. Таблица возможных доходностей при-
ведена справа. (Например, в Сценарии 1 цена акций Alset вырастет на 30 %.) В момент
вложения средств инвестор не знает, какой сценарий реализуется.

Определим

сожаление

как разницу между максимальной прибылью при опреде-

ленном сценарии и фактической прибылью. Например, если инвестор вложит в акции
двух компаний по 0,5 млн руб. и реализуется Сценарий 1, инвестор получит прибыль
в размере

0,3 ⋅ 0,5 + (−0,2) ⋅ 0,5 = 0,05

млн руб, в то время как максимальная прибыль

при данном сценарии равна

0,3 ⋅ 1 = 0,3

(все надо было вкладывать в Alset). Cожале-

ние инвестора будет равно

0,3 − 0,05 = 0,25

млн руб. Если же реализуется Сценарий 2,

сожаление инвестора будет равно

0,2 ⋅ 1 − (0,2 ⋅ 0,5 + (−0,1) ⋅ 0,5) = 0,2 − 0,05 = 0,15

млн

руб. Максимально возможное (по всем сценариям) сожаление инвестора при равном
вложении средств будет равно max

(0,25; 0,15) = 0,25

млн руб.

а)

(4 балла)

Допустим, инвестор вкладывает в акции всю сумму. Определите, ка-

кую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать максимально
возможное в будущем сожаление.

б)

(3 балла)

Инвестор по-прежнему вкладывает всю сумму, но теперь есть Сцена-

рий 3, при котором происходит кризис и акции обеих компаний падают в цене:

Доходности Сценарий 1 Сценарий 2 Сценарий 3

Акции Alset

+30

−10

−30

Акции Drof

−20

+20

−20

Определите, какую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать
максимально возможное в будущем сожаление.

в)

(5 баллов)

Предположим, что в условиях пункта

б)

инвестор может не вклады-

вать часть денег в акции. Невложенные средства приносят доходность 0 % при любом
сценарии. Определите, какие доли средств инвестору следует вложить в Alset и Drof,
чтобы минимизировать максимально возможное в будущем сожаление.

Заключительный этап, 9 класс

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Решение

а)

Пусть

𝑥

— доля средств, вкладываемых в Alset. Если реализуется Сценарий 1,

сожаление будет равно

0,3 − (0,3𝑥 − 0,2(1 − 𝑥)) = 0,5 − 0,5𝑥

. Если реализуется Сценарий 2,

сожаление будет равно

0,2−(−0,1𝑥 +0,2(1−𝑥)) = 0,3𝑥

. Значит, максимальное сожаление

равно

𝑅

(𝑥) =

max

{0,5 − 0,5𝑥; 0,3𝑥}.

0,5 − 0,5 = 0,3𝑥

при

𝑥 = 5/8

, так что функцию сожаления можно переписать как

𝑅

(𝑥) = {

0,5 − 0,5𝑥, 𝑥 < 5/8;
0,3𝑥,

𝑥

⩾

5/8.

𝑅

(𝑥)

убывает при

𝑥 < 5/8

и растет при

𝑥 > 5/8

, значит, точкой минимума является

𝑥

∗

= 5/8

б)

При третьем сценарии сожаление будет равно

−0,2 − (−0,3𝑥 − 0,2(1 − 𝑥)) = 0,1𝑥

Значит, максимальное сожаление равно

𝑅

(𝑥) =

max

{0,5 − 0,5; 0,3𝑥; 0,1𝑥}.

Заметим, что при всех

𝑥 0,3𝑥

⩾

0,1𝑥

(сожаление при втором сценарии больше, чем при

третьем), так что

𝑅

(𝑥) = 𝑅

(𝑥)

. Значит, и оптимальное значение

𝑥

то же,

𝑥

∗

= 5/8

в)

Пусть

𝑥

𝑦

— доли средств, вкладываемые в акции Alset и Drof соответственно,

𝑥+𝑦

⩽

, тогда

1−𝑥−𝑦

не вкладываются никуда. При первом сценарии сожаление будет

равно

0,3 − (0,3𝑥 − 0,2𝑦)

, при втором

0,2 − (−0,1𝑥 + 0,2𝑦)

, при третьем

0 − (−0,3𝑥 − 0,2𝑦)

(так как максимальная прибыль при третьем сценарии равна 0, инвестор сожалеет,
что вообще вкладывал в акции). Тогда максимальное сожаление равно

𝑅(𝑥,𝑦) =

max

{0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦; 0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦; 0,3𝑥 + 0,2𝑦}.

Нам нужно минимизировать эту функцию по

𝑥,𝑦

при ограничениях

𝑥,𝑦

⩾

𝑥 + 𝑦

⩽

Дальше двигаться можно несколькими способами.

Способ 1.

(Догадка + обоснование)

По аналогии с пунктом а), предположим, что минимальное сожаление достигается

тогда, когда сожаление одинаково при всех сценариях. Это происходит при

𝑥

𝑦

удовлетворяющих равенствам

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦 = 0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦 = 0,3𝑥 + 0,2𝑦.

Решая эту систему, получаем

𝑥 = 0,5

𝑦 = 0,25

Сожаление при

(𝑥,𝑦) = (0,5,0,25)

равно

𝑅(0,5,0,25) =

max

{0,2; 0,2; 0,2} = 0,2

Докажем, что это действительно минимально возможное сожаление, то есть для

всех

𝑥,𝑦

⩾

𝑥 + 𝑦

⩽

𝑅(𝑥,𝑦)

⩾

0,2

Предположим противное. Тогда существуют некие

𝑥

,𝑦

, такие что

𝑅(𝑥

,𝑦

) < 0,2

Тогда, поскольку

𝑅

равно наибольшему из трех сожалений, сожаление

при каждом

сценарии

должно быть меньше 0,2. Но тогда

Заключительный этап, 9 класс

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

⎧
⎨

⎩

0,3 − 0,3𝑥

+ 0,2𝑦

< 0,2;

0,2 + 0,1𝑥

− 0,2𝑦

< 0,2;

0,3𝑥

+ 0,2𝑦

< 0,2

Складывая первые два неравенства, получаем

0,5−0,2𝑥

< 0,4

, откуда

𝑥

> 0,5

. Скла-

дывая вторые два неравенства, получаем

0,4𝑥

< 0,2

, откуда

𝑥

< 0,5

. Противоречие.

Значит, минимально возможное сожаление действительно равно 0,2 и достигается

при

𝑥

∗

= 0,5

𝑦

∗

= 0,25

Способ 2.

(Прямой анализ)

Обозначим за

𝑆

множество всех возможных портфелей

(𝑥,𝑦)

, то есть

𝑆 = {(𝑥,𝑦) ∶

𝑥,𝑦

⩾

0, 𝑥 + 𝑦

⩽

. Это треугольник с вершинами в точках

(0,0)

(0,1)

(1,0)

Для каждого сценария

𝑖 = 1,2,3

найдем такое подмножество множества портфелей

𝑆

, что максимальное сожаление достигается при сценарии

𝑖

. Обозначим эти подмно-

жества за

𝑆

𝑖

Тогда

𝑆

определяется неравенствами

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

⩾

0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

0,3 − 0,3𝑥 +

0,2𝑦

⩾

0,3𝑥 + 0,2𝑦

;

𝑆

определяется неравенствами

0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

⩾

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

0,2+0,1𝑥 −0,2𝑦

⩾

0,3𝑥 +0,2𝑦

;

𝑆

определяется неравенствами

0,3𝑥 +0,2𝑦

⩾

0,3−0,3𝑥 +0,2𝑦

0,3𝑥 + 0,2𝑦

⩾

0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

Изобразим эти множества на графике.

𝑥

𝑦

𝑆

0,25 0,5

0,25

𝐴

Общая граница

𝑆

определяется равенством сожалений при сценариях 1 и 2,

то есть равенством

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦 = 0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

, что эквивалентно

𝑦 = 𝑥 − 0,25

Аналогичным образом получаем, что общая граница

𝑆

описывается уравнением

𝑦 = 0,5 − 0,5𝑥

; общая граница

𝑆

задается уравнением

𝑥 = 0,5

. Общая точка трех

множеств

𝐴(0,5; 0,25)

определяется равенством всех сожалений.

Тогда разобьем минимизацию

𝑅(𝑥,𝑦)

на два этапа: 1) проминимизируем сожале-

ние на каждом из множеств

𝑆

, получим три оптимальные точки; 2) из трех

полученных точек выберем ту, в которой сожаление наименьшее.

Этап 1.

На множестве

𝑆

(максимальное) сожаление равно

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

. Будем мини-

мизировать его графически. Для этого рассмотрим семейство «кривых безразличия»,
то есть линий, на которых сожаление одинаково. Они описываются уравнениями

Заключительный этап, 9 класс

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

𝑥

𝑦

𝑆

𝐴

𝑥

𝑦

𝑆

𝐴

𝑥

𝑦

𝑆

𝐴

Рис. 8.1:

Минимизация сожаления на каждом из множеств

𝑆

𝑖

графическим методом.

Стрелки показывают направление убывания сожаления.

0,3−0,3𝑥 +0,2𝑦 = 𝑅

, где

𝑅

— константа, откуда

𝑦 = 1,5𝑥 +𝐶

, где

𝐶

— константа. Семейство

этих линий изображено красным цветом на рис. 8.1 слева. Сожаление

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

возрастает по

𝑥

и убывает по

𝑦

, и значит, оно будет падать при движении вправо-вниз.

Стелка показывает направление убывания сожаления. Видно, что минимум достига-
ется в точке

𝐴

. (Здесь критически важно то, что наклон кривых безразличия меньше,

чем наклон возрастающего участка границы множества

𝑆

Аналогичным образом с помощью графического метода находим, что минимум

сожаления на каждом из множеств

𝑆

достигается в точке

𝐴

(см. рис. 8.1, в центре

и справа). Обратите внимание, что на разных графиках рис. 8.1 кривые безразличия
разные, так как сожаление задается разными формулами на разных множествах.

Этап 2.

На первом этапе мы получили, что минимум на каждом из множеств

𝑆

𝑖

достигается в одной и той же точке — точке

𝐴

. Значит, в точке

𝐴

максимальное со-

жаление меньше, чем в любой другой точке «большого» треугольника

𝑆

. Она и будет

ответом.

Ответ:

50% в акции Alset и 25% в акции Drof.

Примечание:

лабораторные исследования, проведенные экономистами и психо-

логами, показывают, что зачастую в условиях неопределенности люди действитель-
но ведут себя не так, чтобы максимизировать математическое ожидание полезности
или прибыли, а чтобы минимизировать возможное сожаление. Минимизацией сожа-
ления можно объяснить покупку людьми лотерейных билетов (их покупают, чтобы
потом не жалеть о том, что не купили), чрезмерно высокие по сравнению с предсказа-
ниями стандартной теории игр ставки в аукционах, и другие явления. Что же касает-
ся поведения инвесторов, то красноречивее всего о минимизации сожаления сказал
Гарри Марковиц, Нобелевский лауреат по экономике 1990 года. Марковиц получил
премию за создание теории оптимального портфеля, основанной на максимизации
математического ожидания прибыли. Сам он при этом признавался, что в жизни не
следовал своей теории, а минимизировал сожаление. Вот его слова³:

«Надо было рассчитать историческую ковариацию классов активов и провести эф-

фективную границу

[это он о своей теории].

Вместо этого я представил себе свое горе,

³Цитата из статьи «Too Proud to Stop: Regret in Dynamic Decisions» Филиппа Стрэка и Пола Виферса,

Journal of European

Economic Association

, 2020.

Заключительный этап, 9 класс

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

если бы фондовый рынок поднялся, а я в него не вложился, или если бы он опустился, а все
мои накопления были бы в нем. Моим намерением было свести к минимуму мое будущее
сожаление, поэтому я разделил свои сбережения 50/50 между облигациями и акциями».

(Впрочем, может быть, это было шуткой.)

Схема проверки

а)

• Сожаление при первом сценарии

0,5 − 0,5𝑥

—

1 балл.

• Сожаление при втором сценарии 0,3 —

1 балл.

• Доказательство, что минимум при равенстве —

1 балл.

• Ответ