Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 16

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 2.

«Вычитание» КПВ

(12 баллов)

Страна

𝐴

состоит из двух регионов —

𝐴

1

и

𝐴

2

, в стране производится только мас-

ло (

𝑋

) и пушки (

𝑌

). У вас есть информация об уравнениях кривых производствен-

ных возможностей страны

𝐴

и региона

𝐴

1

. Восстановите информацию о КПВ региона

𝐴

2

: найдите ее уравнение (достаточно привести одно подходящее и доказать, что оно

подходит) или докажите, что КПВ страны

𝐴

и региона

𝐴

1

одновременно такими быть

не могут. В задаче три пункта, комбинации КПВ приведены в таблице ниже. В пунк-
те

в)

максимальное производство масла в регионе

𝐴

1

равно 1.

КПВ страны

𝐴

КПВ региона

𝐴

1

а)

(4 балла)

𝑌 = 2 − 𝑋

𝑦

1

= 1 − 𝑥

1

б)

(4 балла)

𝑌 = 8 − 2𝑋

2

𝑦

1

= 1 − 𝑥

2

1

в)

(4 балла)

𝑌 = 2 − 𝑋

𝑦

1

= 1 −

√

1 − (1 − 𝑥

1

)

2

Решение

а)

Легко заметить, что КПВ

𝑦

2

= 1 − 𝑥

2

подходит — сумма ее с самой собой даст КПВ

𝑌 = 2 − 𝑋

, ведь альтернативные издержки одинаковы.

Интересным является то, что подходят также и другие КПВ — «разность» КПВ

в данном случае не единственна! Например, в силу решения пункта в) как ответ
в пункте а) подойдет КПВ региона

𝐴1

из в пункта в). Действительно, в решении пунк-

та в) доказывается, что сумма

𝑦 = 1 − 𝑥

и

𝑦 = 1 −

√

1 − (1 − 𝑥)

2

как раз равна

𝑌 = 2 − 𝑋

.

Более того, поскольку В пункте в) мы пользовались только тем, что

𝑦

1

(0) = 1

,

𝑦

1

(1) = 0

и что

𝑦

1

(𝑥

1

)

⩽

1 − 𝑥

1

. Поэтому

любая

функция с этими свойствами является разностью

этих двух КПВ, приведенных в данном пункте!

б)

Заметим, что

𝑦

2

(0) = 7

. Если всего нужно произвести

𝑋 ∈ (0; 1]

единиц Икса,

то всегда доступен вариант производить весь Икс в первом регионе. Суммарное про-
изводство Игрека в этом случае будет равно

𝑌 = 1 − 𝑋

2

+ 7 = 8 − 𝑋

2

. Но по условию

и по определению суммарной КПВ

максимальное

производство Игрека в стране равно

8−2𝑋

2

< 8−𝑋

2

. Противоречие. Ни одна функция

𝑦

2

(𝑥

2

)

не может являться КПВ второго

региона.

Ответ:

КПВ страны и первого региона такими одновременно быть не могут.

в)

Перепишем уравнение КПВ региона

𝐴

1

как

(1 − 𝑦

1

)

2

+ (1 − 𝑥

1

)

2

= 1

. Это уравне-

ние окружности радиуса 1 с центром в точке

(1; 1)

. КПВ первого региона соответствует

части этой окружности, лежащей внутри области

𝑦

⩽

1

,

𝑥

⩽

1

. Заметим, что альтерна-

тивные издержки производства Икса в этом регионе не возрастают, а убывают.

Догадка:

Мы знаем, что

𝑦

2

(0) = 1

и что

𝑦

2

(1) = 0

. При этом суммарная КПВ линейна,

и поэтому интуитивно кажется правильным, чтобы и

𝑦

2

(𝑥

2

)

была хотя бы на каком-

то участке линейна. Поэтому рассмотрим самую простую КПВ, имеющую линейный
участок и удовлетворяющую

𝑦

2

(0) = 1

,

𝑦

2

(1) = 0

, а именно

𝑦

2

(𝑥

2

) = 1 − 𝑥

2

.

Оказывается, эта КПВ и будет ответом.

Заключительный этап, 9 класс

5

Задача 2

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Обоснование:

Докажем, что сумма КПВ

𝑦

1

(𝑥

1

)

и

𝑦

2

(𝑥

2

) = 1 − 𝑥

2

как раз равна

𝑌 (𝑋 ) =

2 − 𝑋

. Сначала покажем, что при

𝑦

2

(𝑥

2

) = 1 − 𝑥

2

для любого

𝑋 ∈ [0; 2]

мы не можем

достичь уровня

𝑌 > 2−𝑋

, а затем покажем, что уровня

𝑌 (𝑋 ) = 2−𝑋

мы достичь можем.

Из вида КПВ первого региона следует, что

𝑦

1

(𝑥

1

)

⩽

1 − 𝑥

1

для любого

𝑥

1

∈ [0; 1]

.

Тогда запишем соотношения

𝑦

1

⩽

1 − 𝑥

1

𝑦

2

= 1 − 𝑥

2

Складывая их, получаем, что

𝑦

1

+ 𝑦

2

⩽

2 − 𝑥

1

− 𝑥

2

= 2 − 𝑋

. Значит, мы не можем

достичь большего уровня производства, чем

𝑌 = 2 − 𝑋

. Этот вывод можно получить

и с помощью графического анализа векторной суммы двух КПВ.

Мы можем достичь уровня

𝑌 = 2−𝑋

так: при

𝑋 < 1

производим весь Икс в регионе

𝐴

2

, а при

𝑋 > 1

— весь Игрек в регионе

𝐴

2

. При

𝑋 = 1

можно выбрать любой из этих

двух вариантов. Нетрудно проверить, что производство Игрека будет равно

2 − 𝑋

.

Следовательно, сумма КПВ

𝑦

1

(𝑥

1

)

и

𝑦

2

(𝑥

2

) = 1 − 𝑥

2

равна

𝑌 (𝑋 ) = 2 − 𝑋

.

Ответ:

𝑦

2

= 1 − 𝑥

2

.

Схема проверки

а)

0 баллов:

неверный пример и неверный ответ;

только 1 балл:

верный пример без

вывода функции КПВ 2-ого региона, либо с неверным выводом (или верный пример
без обоснования вида КПВ, либо с невернымобоснованием );

только 2 балла:

вывод

правильного вида функции КПВ 2-ого региона, но без полного обоснования;

4 балла:

полное верное решение, при этом доказано, что

𝑚𝑎𝑥𝑦

1

+ 𝑦

2

- есть данная в условии

КПВ страны.

б)

0 баллов:

неверные рассуждения при любом ответе, либо частично верные рас-

суждения, которые привели к неверному ответу;

только 2 балла:

верные рассуждения

(не доведенные до конца) которые привели к верному ответу (например, сравнение
альтернативных издержек в отдельных точках, либо дан частный вид функции КПВ
2-ого региона);

только 3 балла:

сравнение альтернативных издежек в допустимых ин-

тервалах, но отсутствует дальнейшее обоснование, почему это сравнение приводит к
невозможности построения фукнции КПВ 2-ого региона;

4 балла:

верные рассужде-

ния, приведшие к верному ответу.

в)

0 баллов:

неверные рассуждения;

только 1 балл:

дан верный ответ без обосно-

вания либо с неверным обоснованием;

только 2 балла:

дан верный ответ, показано,

𝑦

1

+ 𝑦

2

= 2 − 𝑋

, но не доказано, что это максимум;

только 3 балла:

дан верный ответ, но

не обоснован один из участков линейной КПВ;

4 балла:

верные рассуждения, которые

привели к верному ответу.

Заключительный этап, 9 класс

6

Задача 2

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 3.

Голосование о торговле

(12 баллов)

Мировую экономику составляют три страны –– А, B и С. В каждой из них функция

спроса на рынке товара Икс строго убывает, а функция предложения –– строго возрас-
тает, и изначально производится положительное количество товара.

Страны рассматривают возможность открытия международной торговли. Если это

произойдет, то на мировом рынке установится единая цена. Решение об открытии
торговли будет приниматься на специальном Мировом Съезде Представителей с по-
мощью голосования. На съезд приедет по два представителя от каждой страны, при-
чем один из них будет представлять интересы потребителей, а другой –– интересы
производителей из этой страны.

Каждый из представителей обладает полной информацией о спросе и предложе-

нии во всех странах. Представители голосуют исходя из того, что потребители хотели
бы покупать товар подешевле, а производители –– продавать подороже. Если некото-
рая группа безразлична между открытием торговли и не-открытием, то ее представи-
тель на всякий случай голосует против открытия торговли. Если торговля открывает-
ся, то в ней обязательно участвуют все три страны.

а)

(3 балла)

Допустим, международная торговля будет открыта, если за это про-

голосует большинство, то есть как минимум 4 представителя из 6. Может ли при
каких-либо функциях спроса и предложения в трех странах, удовлетворяющих усло-
вию, быть принято решение об открытии торговли?

б)

(6 баллов)

Как правило, производители имеют больше возможностей для лоб-

бирования собственных интересов, и потому их влияние на принятие подобных ре-
шений больше, чем влияние потребителей. Смоделируем это так: предложим, что у
каждого представителя потребителей есть один голос, а у каждого представителя про-
изводителей –– 2 голоса. Решение об открытии торговли будет принято, если за него
будет подано больше половины от общего количества голосов, то есть как минимум 5
голосов из 9. Кроме того, предположим, что функции спроса и предложения в странах
А, B и С имеют вид, представленный в таблице

Страна

A

B

C

Спрос

𝐷 =

𝑎

√

𝑃

𝐷 =

40

√

𝑃

𝐷 =

60

√

𝑃

Предложение

𝑆 =

√

𝑃

𝑆 =

√

𝑃

𝑆 =

√

𝑃

При каких значениях параметра

𝑎 > 0

торговля будет открыта?

в)

(3 балла)

В стандартной модели совершенной конкуренции (без торговли) про-

изводители обычно выигрывают от роста спроса (за счет того, что повышается рав-
новесная цена). Предположим, что накануне Мирового Съезда Представителей спрос
в стране A вырос, то есть увеличилось значение параметра

𝑎

. Верно ли, что это из-

менение обязательно приведет к росту цены, получаемой производителями из этой
страны (с учетом результатов голосования на съезде)?

Решение

Заключительный этап, 9 класс

7

Задача 3

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

а)

Обозначим за P единую равновесную цену. Заметим, что в каждой из стран либо

одна группа будет голосовать “за”, а другая – “против” (если P не совпадет с равновес-
ной ценой в данной стране в отсутствие торговли), либо обе “против” (если P совпадет
с равновесной ценой в данной стране в отсутствие торговли). Так что за открытие тор-
говли будет максимум 3 голоса из 6. Торговля не будет открыта

б)

Равновесными ценами без торговли являются

𝑃

𝐴

= 𝑎

,

𝑃

𝐵

= 40

,

𝑃

𝐶

= 60

.

Пусть

𝑃

1

,

𝑃

2

,

𝑃

3

это цены

𝑃

𝐴

,

𝑃

𝐵

,

𝑃

𝐶

, упорядоченные от меньшей к большей, то есть

𝑃

1

— минимальная из трех цен,

𝑃

3

— максимальная, а

𝑃

2

— «срединная». Выполнено

𝑃

1

⩽

𝑃

2

⩽

𝑃

3

.

Пусть

𝑃

𝑤

— мировая цена при открытой торговле. Она определяется равенством

мирового спроса и предложения:

𝑎 + 40 + 60

√

𝑃

𝑤

= 3

√

𝑃

𝑤

,

откуда

𝑃

𝑤

=

𝑎+100

3

. Заметим, что цена

𝑃

𝑤

равна среднему арифметическому из

𝑃

𝐴

= 𝑎

,

𝑃

𝐵

= 40

,

𝑃

𝐶

= 60

. Отсюда

𝑃

1

⩽

𝑃

𝑤

⩽

𝑃

3

¹ Кроме того, ситуация

𝑃

1

= 𝑃

2

= 𝑃

3

невозможна, а

значит,

𝑃

1

< 𝑃

𝑤

< 𝑃

3

.

Значит, производители страны c ценой

𝑃

1

и потребители страны c ценой

𝑃

3

будут

за открытие торговли, а производители страны с ценой

𝑃

3

и потребители страны с

ценой

𝑃

1

— против. Итого 3 голоса за и 3 против. Следовательно, все решается в стране

со «средней» ценой, с ценой

𝑃

2

. При

𝑃

𝑤

⩽

𝑃

2

производители этой страны будут против,

и торговля не будет открыта (будет 5 или 6 голосов против). При

𝑃

𝑤

> 𝑃

2

, наоборот,

торговля будет открыта (будет 5 голосов за).

Значит, торговля будет открыта тогда и только тогда, когда

𝑃

𝑤

> 𝑃

2

.

Найдем, при каких

𝑎

это так. Рассмотрим три случая.

Случай 1.

𝑎

⩽

40

. При

𝑎

⩽

40

страной c ценой

𝑃

2

является страна B, значит условием

открытия торговли будет

𝑃

𝑤

> 𝑃

𝐵

, то есть

𝑎+100

3

> 40

, откуда

𝑎 > 20

.

Случай 2.

𝑎 ∈ (40; 60)

. При

40 < 𝑎 < 60

страной с ценой

𝑃

2

является страна A, значит

условием открытия торговли будет

𝑎+100

3

> 𝑎

, откуда

𝑎 < 50

.

Случай 3.

𝑎

⩾

60

. При

𝑎

⩾

60

страной с ценой

𝑃

2

будет страна C, значит условием

открытия торговли будет

𝑎+100

3

> 60

, то есть

𝑎 > 80

.

Беря соответствующие пересечения и объединение множеств, получаем, что тор-

говля будет открыта при

𝑎 ∈ (20; 50) ∪ (80; +∞)

.

Ответ:

при

𝑎 ∈ (20; 50) ∪ (80; +∞)

.

в)

При переходе

𝑎

через порог 80 (например, росте

𝑎

с 79 до 81) цена в стране А

резко упадет из-за открытия торговли. Действительно, при

𝑎 = 79

торговля не будет

открыта, и

𝑃

𝐴

= 𝑎 = 79

. При

𝑎 = 81

торговля будет открыта, и производители будут

получать

𝑃

𝑤

= 181/3 = 60 + (1/3) < 79

. Производители страны

𝐴

пострадают от роста

спроса.

¹В качестве упражнения докажите, что это неравенство будет выполнено

при любых

функциях спроса и предложения,

удовлетворяющих условиям в первом абзаце данной задачи.

Заключительный этап, 9 класс

8

Задача 3

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Примечание:

Так происходит потому, что более высокий спрос в A делает экспорт

из B и С более выгодным, суммарное предложение в А растет, и цена в А снижается.
По сути, мы имеем частный случай эффекта «спрос рождает предложение».

Схема проверки

а)

3 балла за доказательство от противного или перебор всех вариантов. -1 балл,

если не рассмотрен случай равенства цены после торговли цене до.

б)

1 балл за нахождение цен до торговли и после. 2 балла за доказательство, что

если нужно 5 голосов, то цена после торговли должна быть выше

𝑃

2

. Важно, что не

возможна ситуация, когда все три представителя производителей голосуют за. Если
этот случай постулировался, но не отвергался в процессе решения, то снижался 1 балл.
3 балла. По 1 баллу за каждый случай, когда

𝑃

2

равна цене каждой из стран.

в)

3 балла за пример преодоления порога. Частичные баллы не ставились.

Заключительный этап, 9 класс

9

Задача 3

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 4.

Круглое озеро

(12 баллов)

Озеро Йутават представляет собой идеальный круг. Борис, Евгений и Максим ло-

вят в этом озере рыбу и продают ее местным жителям, которые живут вокруг озера.
Каждый день рыбаки независимо друг от друга выбирают, в каких точках на берегу
(окружности) озера организовать продажу рыбы. Жители распределены вокруг озера
равномерно (то есть на каждый километр расстояния вдоль окружности приходится
одинаковое и достаточно большое число жителей). Цена килограмма рыбы историче-
ски сложилась на определенном уровне, она достаточно высока, чтобы окупать уси-
лия и снасти рыбаков, никто из них не считает уместным ее менять. Каждый рыбак
ловит достаточно много рыбы, чтобы хватило любому количеству потребителей.

Борис

𝑥

Евгений

𝑦

Максим

𝑧

оз. Йутават

Каждый местный житель потребляет по 1 ки-

лограмму рыбы в день, покупая ее у ближайшего
из трех рыбаков (по расстоянию, которое нужно
проделать по окружности). Если расстояние от по-
требителя до двух ближайших рыбаков одинако-
во, то он принимает решение произвольным об-
разом (этим потребителем можно пренебречь).

Рыбаки, таким образом, конкурируют за по-

требителей, и каждый из них хочет выбрать свое
расположение на берегу озера так, чтобы макси-
мизировать выручку. Два или три рыбака могут
выбрать одну и ту же точку для продажи, в таком случае они будут делить выручку
на равные части.

По итогам каждого дня каждый рыбак оценивает объем продаж за день и следую-

щим образом принимает решение, где организовать продажи на следующий день:

• Если его сегодняшнее положение принесло ему максимальную дневную вы-

ручку среди всех вариантов его размещения (с учетом фактического положения
двух других), то на следующий день он остается в той же точке.

• Если условие предыдущего пункта не выполнено, он выбирает какую-то другую

точку, в которой при текущем расположении других рыбаков его выручка была
бы больше.

По прошествии нескольких дней все рыбаки решили больше никуда не двигать-

ся и навсегда остались в некоторых точках². Опишите их все возможные финальные
расположения через ограничения на параметры

𝑥, 𝑦, 𝑧

(расстояния между рыбаками).

Считайте, что длина окружности

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

.

Решение

Заметим, что если рыбак находится на дуге длины

𝑙

, то он получает долю рынка

𝑙

2

, деля пополам с соседом (соседями, если два других рыбака располагаются в одной

точке) дугу слева и деля пополам с соседом (соседями) дугу справа от себя. Далее рас-
смотрим несколько случаев взаимного расположения рыбаков.

²Такое расположение является

равновесием Нэша

в этой задаче.

Заключительный этап, 9 класс

10

Задача 4

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Случай 1

: все три рыбака находятся в одной точке. В этом случае каждый рыбак

получает треть рынка. Если Борис сместится в другую точку, то получит половину
рынка. Следовательно, это не равновесие

(+1 балл)

.

Случай 2

: два рыбака находятся в одной точке (

𝐴

), третий – в другой (

𝐵

). В этом

случае рыбак, находящийся в точке

𝐵

, получает половину рынка, а каждый из рыба-

ков, занявших точку

𝐴

, будет продавать рыбу четверти от всех потребителей.

Случай 2a

: точки

𝐴

и

𝐵

находятся не на одном диаметре. В этом случае длина

одной из двух дуг

𝐴𝐵

больше половины длины окружности, а ее половина – боль-

ше четверти длины окружности. Следовательно, любому из рыбаков, находящихся в
точке

𝐴

, выгодно сместиться в любую внутреннюю точку большей дуги

𝐴𝐵

– это поз-

волит продавать рыбу более чем четверти потребителей. Поэтому рассматриваемое
расположение рыбаков не является равновесием

(+1 балл)

.

Случай 2b

: точки

𝐴

и

𝐵

находятся на одном диаметре. Докажем, что такая расста-

новка рыбаков является равновесием.

Рыбаку из точки

𝐵

невыгодно переместиться в точку

𝐴

– тогда он уменьшит свою

долю до 1/3. Любое другое изменение положения рыбаком из точки

𝐵

сохранит за ним

половину всего рынка. Таким образом, у этого рыбака нет возможности увеличить
свою долю рынка

(+1 балл)

.

Рыбак из точки

𝐴

, переместившись в точку

𝐵

, сохранит за собой четверть рынка.

Перемещение на любую внутреннюю точку дуги

𝐴𝐵

позволит рыбаку получить по-

ловину от половины рынка, то есть четверть всего рынка. Значит, рыбакам из точки

𝐴

изменять свое положение нет смысла, а все ситуации, описываемые случаем 2b:

𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑧 =

1
2

; 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑧 =

1
2

; 𝑧 = 0, 𝑥 = 𝑦 =

1
2

,

(4.1)

являются равновесными

(+1 балл)

.

Случай 3

: все три рыбака находятся в разных точках (

𝑥,𝑦,𝑧 > 0

). В этом случае

Евгений получает долю рынка

𝑥

2

+

𝑦

2

, Борис –

𝑥

2

+

𝑧
2

, Максим –

𝑦

2

+

𝑧
2

.

Заметим, что любое отклонение рыбака по той же самой дуге, ограниченной двумя

другими рыбаками, не приведет к изменению его доли рынка: в любой точке дуги
он забирает потребителей с половины этой дуги, а длина такой дуги зафиксирована
положениями двух других рыбаков

(+2 балла)

.

Отклонение в точку, занимаемую другим рыбаком, приведет к получению

1
4

от

всей доли рынка. Для того, чтобы такое отклонение было невыгодным ни одному из
рыбаков, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

⎧

⎪
⎨

⎪

⎩

𝑥

2

+

𝑦

2

⩾

1
4

𝑥

2

+

𝑧
2

⩾

1
4

𝑦

2

+

𝑧
2

⩾

1
4

(4.2)

Заключительный этап, 9 класс

11

Задача 4

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

или

⎧

⎪
⎨

⎪

⎩

𝑥 + 𝑦

⩾

1
2

𝑥 + 𝑧

⩾

1
2

𝑦 + 𝑧

⩾

1
2

(4.3)

или

⎧

⎪
⎨

⎪

⎩

𝑧

⩽

1
2

𝑦

⩽

1
2

𝑥

⩽

1
2

(4.4)

(+2 балла)

.

Наконец, последнее возможное отклонение рыбака – на противоположную дугу.

Тогда Евгений сможет плучить

𝑧
2

, Борис –

𝑦

2

, а Максим –

𝑥

2

. Чтобы ни одному из ры-

баков не было выгодно отклоняться, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
неравенства

⎧

⎨
⎩

𝑥

2

+

𝑦

2

⩾

𝑧
2

𝑥

2

+

𝑧
2

⩾

𝑦

2

𝑦

2

+

𝑧
2

⩾

𝑥

2

(4.5)

или

⎧
⎨

⎩

𝑥 + 𝑦

⩾

𝑧

𝑥 + 𝑧

⩾

𝑦

𝑦 + 𝑧

⩾

𝑥

(4.6)

или

⎧

⎪
⎨

⎪

⎩

𝑧

⩽

1
2

𝑦

⩽

1
2

𝑥

⩽

1
2

(4.7)

(+4 балла)

.

Объединив любую из систем (4.2)-(4.4) с любой из систем (4.5)-(4.7) и вспомнив

ограничение случая 3 (

𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0

), получим окончательное описание множества рав-

новесий в этом случае:

⎧

⎪
⎨

⎪

⎩

0 < 𝑧

⩽

1
2

0 < 𝑦

⩽

1
2

0 < 𝑥

⩽

1
2

(4.8)

Итоговый ответ в задаче описывается объединением множеств (4.1) и (4.9). Неслож-

но видеть, что это множество совпадает со множеством

⎧

⎪
⎨

⎪

⎩

0

⩽

𝑧

⩽

1
2

0

⩽

𝑦

⩽

1
2

0

⩽

𝑥

⩽

1
2

(4.9)

Заключительный этап, 9 класс

12

Задача 4