Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 17

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Схема проверки

Основные этапы решения задачи оценивались в соответствии с разбалловкой в

решении.

Вычитался 1 балл, если в ответе оставались строгие неравенства вместо нестрогих.
Вычитался 1 балл, если в случае общего положения система была выписана пра-

вильно, но при ее решении была допущена арифметическая ошибка, несущественно
повлиявшая на итоговый ответ.

Заключительный этап, 9 класс

13

Задача 4

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 5.

Рынок заемных средств

(12 баллов)

Компания Издержки Доход

A

100

110

C

200

240

D

300

390

E

100

135

F

50

100

На рынке заемных средств страны Альфа пред-

ложение формируется домашними хозяйствами,
величина сбережений которых зависит от став-
ки процента:

𝑆(𝑟) = 1800𝑟

, где

𝑟

–– годовая ставка

процента в долях. Спрос на заемные средства мо-
гут формировать только пять компаний, каждая из
которых планирует реализовать инвестиционный
проект сроком в один год (во всех случаях издерж-
ки возникают вначале года, а доход от реализации проекта –– в конце года). Собствен-
ные средства для инвестиций компании не используют. Данные о планируемых из-
держках и доходах этих компаний представлены в таблице.

Cтавка процента в стране Альфа регулируется центральным банком (других ин-

струментов у центрального банка нет), и его цель состоит в том, чтобы максимизиро-
вать объем инвестиций, осуществляемых в экономике.

а)

(5 баллов)

Какие компании захотят реализовывать инвестиционные проекты,

если годовая ставка процента равна 33 % (

𝑟 = 0,33

)?

б)

(7 баллов)

Один политик высказался, что для достижения максимального уров-

ня инвестиций центральному банку страны Альфа давно пора снизить процентную
ставку до нуля. Согласны ли вы с этим утверждением? Если да, объясните. Если нет,
найдите ставку процента, которая обеспечит наибольший уровень инвестиций.

Решение

а)

Посчитаем прибыльность каждого проекта, разделив доход на издержки и вы-

чтя единицу. И сравним со ставкой процента. В тех проектах, где доходность больше
или равна ставке процента, проект реализовывать выгодно.

Компания Издержки Доход Прибыльность Будет ли реализован

A

100

110

0,1

нет

C

200

240

0,2

нет

D

300

390

0,3

нет

E

100

135

0,35

да

F

50

100

1

да

б)

Нет, политик не прав. Если снизить ставку до 0, то предложение заёмных

средств тоже снизится до нуля, проекты будет не на что реализовывать, уровень ин-
вестиций в таком случае тоже будет нулевым.

Теперь посчитаем оптимальную ставку процента. Для наиболее полного понима-

ния, приведём графическое решение. Заметим, что уровень интестиций –– это затра-
ты, которые требуются фирмам для реализации проекта. Так, если проект реализует
только фирма F, то уровень инвестиций примет значение 50. Если фирма F и E, то 150
(добавили 100 денежных единиц). Также заметим, что функция инвестиций в стране
невозрастающая, причём рост будет происходить в момент, когда для очередной фир-
мы проект будет становиться рентабельным (важно заметить, что компания будет

Заключительный этап, 9 класс

14

Задача 5

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

реализовывать проект при нулевой прибыли, это соотвествует стандартным микро-
и макроэкономическим моделям). Объединяя все эти пункты, получаем следующий
график:

𝑆, 𝐼

50

150

450

650 750

𝑟

0.1

0.2

0.25

0.3

0.35

1

𝑆(𝑟)

Видно, что сбережения сравняются с инвестициями в точке, где

𝑟 = 0,25

. Если про-

центная ставка опустится ниже 0,25, то величины сбережений в экономике будет не
хватать для достижения максимально возможного уровня инвестиций. Однако важ-
но так же заметить, что при ставке процента

𝑟 ∈ [0,25; 0,3]

уровень инвестиций будет

находиться на одном уровне (так как новые фирмы не придут). Следовательно, любая
ставка

𝑟

в этом промежутке ведёт к максимальному уровню инвестиций в экономике

данной страны.

Примечание.

Выколотые точки на графике поставлены так, что фирма при безраз-

личии осуществляет инвестиции. Для решения эта предпосылка необязательна.

Схема проверки

а)

по 1 баллу за проверку каждого проекта и верный вывод по нему.

б)

Баллы по этому пункту распределились следующим образом: 2 балла максимум

можно было получить, ответив на вопрос о правоте/неправоте политика и 5 баллов
за нахождение оптимальной ставки процента.

За ответ политика:

• 2 балла за верный ответ с обоснованием
• 1 балл за верный ответ и частично верное обоснование
• 0 баллов за неверный ответ и за ответ «нет» без обоснования или с полностью

неверным обоснованием

За нахождение оптимальной ставки:

• Рассмотрены случаи для всех возможных значений

𝑟

— 5 баллов

Заключительный этап, 9 класс

15

Задача 5

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

• Рассмотрены случаи для всех возможных значений

𝑟

до достижения оптималь-

ной ставки без обоснования, что далее увеличивать/уменьшать ставку не стоит
— 3 балла

• Рассмотрены дискретные значения

𝑟

с проверкой обеих границ (

𝑟 = 0

и

𝑟

⩾

0,35

)

— 3 балла

• Рассмотрены дискретные значения

𝑟

с проверкой одной границы или без границ

— 2 балла

• В ответе в итоге указали промежуток

𝑟

от 0,2 до 0,3 (не проверили сумму инве-

стиций) — 2 балла

• Неверные рассуждения — 0 баллов
• Правильный ответ при неверном объяснении или отсутствии объяснения –– 0

баллов

• Рассмотрение менее 5 точек (без адекватного объяснения поведения инвестиций

на границах) — 1 балл

Заключительный этап, 9 класс

16

Задача 5

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 6.

А спрос-то не линейный!

(12 баллов)

Фирма-монополист недавно начала работать на новом рынке и пока не знает точно

кривую спроса на свой товар. Назначив в январе цену 20, она продала 3 единицы про-
дукции. Назначив в феврале цену 5, она продала 48 единиц. Предположив, что месяч-
ный спрос на продукцию фирмы линейный, менеджер восстановил уравнение спроса
по этим двум точкам, а затем назначил в марте цену, оптимальную для этой линей-
ной кривой спроса. Функция издержек фирмы задается уравнением

𝑇 𝐶(𝑄) = 3𝑄

.

В действительности же функция месячного спроса на этот товар не линейная, а

обладает постоянной эластичностью. (Иными словами, спрос описывается уравнени-
ем

𝑄(𝑃) = 𝐴/𝑃

𝑘

для каких-то

𝐴

и

𝑘

, и эластичность спроса как раз постоянна и равна

−𝑘

.) В марте фирма произвела и продала объем, фактически истребованный потре-

бителями по назначенной фирмой цене. Определите, какую долю от максимально
возможной прибыли недополучила фирма в марте из-за неверного предположения
о линейности спроса.

Решение

Выведем функцию линейного спроса по двум точкам. Пусть спрос задается функ-

цией

𝑄

𝑑

(𝑝) = 𝑎 − 𝑏𝑃

. Например, составим и решим систему уравнений

{

3 = 𝑎 − 20𝑏,
48 = 𝑎 − 5𝑏.

Решив ее, получаем

𝑄

𝑑

(𝑝) = 63 − 3𝑝

.

Определим, какую цену назначил менеджер в марте (оптимальную для ненастоя-

щего линейного спроса). Составим функцию прибыли для этого спроса:

𝜋(𝑄) = 𝑇 𝑅(𝑄) − 𝑇 𝐶(𝑄) = 𝑄 (21 − 𝑄/3) − 3𝑄 = 18𝑄 − 𝑄

2

/3.

Оптимальный выпуск находится в вершине параболы,

𝑄

∗

= 18/(2/3) = 27

. Значит,

оптимальная цена

𝑝

∗

= 21 − 27/3 = 12

.

Заметим, что можно было сразу максимизировать прибыль по

𝑝

. Действительно,

𝜋(𝑝) = 𝑄 ⋅(𝑝 −3) = (63−3𝑝)(𝑝 −3) = 3(21−𝑝)(𝑝 −3)

. Это парабола с ветвями вниз, вершина

находится посередине между корнями. Значит,

𝑝

∗

= (3 + 21)/2 = 12

, получили тот же

ответ.

Далее найдем истинную функцию спроса по двум точкам. Для этого составим си-

стему:

{

3 =

𝐴

20

𝑘

;

48 =

𝐴

5

𝑘

Разделив второе уравнение на первое, получаем

16 = 4

𝑘

, откуда

𝑘 = 2

. Значит,

𝐴 = 1200

.

Итак, настоящая функция спроса описывается уравнением

𝑄

истинн

𝑑

(𝑝) =

1200

𝑝

2

.

Заключительный этап, 9 класс

17

Задача 6

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Менеджер назначил цену

𝑝 = 12

, значит, в марте потребители захотели купить

𝑄

истинн

𝑑

(12) = 1200/12

2

= 100/12 = 25/3

единицы продукции. Фактическая прибыль

фирмы составила

(12 − 3) ⋅ 25/3 = 9 ⋅ 25/3 = 75

.

Осталось рассчитать максимально возможную прибыль. Настоящая функция при-

были фирмы (от

𝑝

), имеет вид

𝜋

истинн

(𝑝) = 𝑄

истинн

𝑑

(𝑝)(𝑝 − 3) =

1200

𝑝

2

(𝑝 − 3) = 1200 (

1

𝑝

−

3

𝑝

2

) .

Сделав замену

𝑡 = 1/𝑝

, получаем параболу с ветвями вниз

𝜋

истинн

(𝑡) = 1200(𝑡 − 3𝑡

2

).

Оптимальное

𝑡

находится в вершине:

𝑡

∗

= 1/6

, откуда

𝑝

∗

= 1/(1/6) = 6

. Фирме для

максимизации прибыли нужно было назначить цену 6, а не 12.

Также эту цену можно было найти из формулы индекса Лернера:

𝑝

∗

−𝑀𝐶

𝑝

∗

=

1

|𝐸|

. У нас

𝑀𝐶 = 3

,

|𝐸| = 𝑘 = 2

, откуда

𝑝

∗

= 6

.

Кроме того, можно было максимизировать прибыль по

𝑄

:

𝜋

истинн

(𝑄) = 𝑄 ⋅

√

1200/

√

𝑄 − 3𝑄 =

√

1200𝑄 − 3𝑄

. После замены

𝑡 =

√

𝑄

, получаем параболу с ветвя-

ми вниз

√

1200𝑡 − 3𝑡

2

. Ee вершина

𝑡

∗

=

√

1200/6

, значит,

𝑄

∗

= (𝑡

∗

)

2

= 1200/36 = 100/3

.

Максимально возможная прибыль равна

(100/3) ⋅ (6 − 3) = 100

. Значит, фирма по-

теряла из-за неверного предположения о линейности спроса (и, как следствие, непра-
вильного ценообразования)

(100 − 75)/100 ⋅ 100% = 25%

прибыли.

Ответ:

25%.

Схема проверки

• Вывод функции линейного спроса по двум точкам —

2 балла.

• Определение уровень оптимального спроса и цены в соответствии с линейным

спросом —

2 балла.

• Вывод истинной (нелинейной) функции спроса —

2 балла.

• Расчет фактической прибыли при

= 12

—

2 балла.

• Определение оптимального объема производства для истинной функции спро-

са —

2 балла.

• Расчет максимальной прибыли —

1 балл.

• Расчет доли недополученной прибыли от максимально возможной —

1 балл.

Типичные ошибки:

1. Не всем удавалось вывести формулу нелинейной функции спроса монополиста.
2. Неправильный расчет фактической прибыли: для расчета использовали не це-

ну, а количество продукции при линейном спросе.

Заключительный этап, 9 класс

18

Задача 6

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 7.

Люди и роботы: кто кого?

(12 баллов)

В XXI веке ускорились темпы автоматизации производства, то есть замены труда

людей капиталом –– в основном, промышленными роботами. Неудивителен рост бес-
покойства по поводу того, что машины могут полностью заменить людей. В данной
задаче мы рассмотрим модель, проливающую свет на этот феномен.

Рассмотрим фирму, производственная функция которой имеет вид

𝑄 =

√

𝐿

1

+ 𝑎 ⋅ 𝑅,

где

𝑄

–– объем производства товара,

𝐿

1

–– объем

неквалифицированного

труда людей

(труда рабочих),

𝑅

–– объем труда роботов,

𝑎

⩾

0

–– параметр, характеризующий про-

изводительность роботов. Фирма закупает неквалифицированный труд людей и труд
роботов на конкурентном рынке по одинаковой цене, равной 1. При безразличии фир-
ма использует для производства труд роботов, а не людей.

Цена товара фирмы

𝑃

не зависит произведенного количества товара, но зависит от

его качества

𝑧

:

𝑃(𝑧) = 4𝑧

. Качество товара тем выше, чем больше инженеров, дизайне-

ров и других

квалифицированных

сотрудников наймет фирма. А именно,

𝑧 =

4

√

𝐿

2

, где

𝐿

2

–– объем квалифицированного труда людей. Цена единицы квалифицированного

труда людей фиксирована и равна 2.

а)

(1 балл)

При каких значениях

𝑎

фирма будет использовать труд роботов?

б)

(3 балла)

Допустим, качество товара фиксировано на определенном уровне

𝑧

⩾

0

. Определите оптимальный для фирмы объем производства как функцию от

𝑧

и

𝑎

. Определите, какой объем

𝐿

1

будет нанимать фирма как функцию от

𝑧

и

𝑎

.

в)

(3 балла)

Определите, какое качество

𝑧

⋆

будет выбирать фирма как функцию

от

𝑎

.

г)

(2 балла)

Определите величину

суммарного

спроса фирмы на труд людей как

функцию от

𝑎

.

д)

(3 балла)

В XXI веке значение параметра

𝑎

быстро растет. Допустим,

𝑎

1

и

𝑎

2

та-

ковы, что при росте производительности роботов с

𝑎

1

до

𝑎

2

фирма увольняет неква-

лифицированных работников. Верно ли, что при этом величина

суммарного

спроса

фирмы на труд людей тоже сократится? Если нет, приведите этому содержательное
экономическое объяснение.

Решение

а)

Как видно из функции,

𝑎

единиц труда неквалифицированных работников и

единица труда роботов

взаимозаменяемы

–– при вычитании одного и добавлении дру-

гого выпуск всегда остается неизменным. Следовательно, если

𝑎

единиц

𝐿

1

стоят до-

роже единицы

𝑅

, неквалифицированный труд использовать не нужно. Затраты на

единицу каждого из этих ресурсов равны 1, так что труд роботов выгоднее исполь-
зовать при

𝑎 > 1

, а при

𝑎 = 1

–– безразлично. Согласно условию, в последнем случае

фирма тоже выберет роботов, то есть

𝑎

⩾

1

–– ответ на вопрос пункта.

То же самое можно показать через предельные продукты ресурсов:

𝑀𝑃

𝐿

1

=

1

2 ⋅ (𝐿

1

+ 𝑎 ⋅ 𝑅)

>

𝑎

2 ⋅ (𝐿

1

+ 𝑎 ⋅ 𝑅)

= 𝑀𝑃

𝑅

.

Заключительный этап, 9 класс

19

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Значение первой дроби меньше при

𝑎 < 1

, следовательно, при этом условии каждый

дополнительный робот производит меньше, чем работник, при одинаковых издерж-
ках.

б)

В случае

𝑎

⩾

1

используются роботы, а неквалифицированный труд не исполь-

зуется, то есть

𝐿

1

= 0

. Прибыль при этом равна

𝜋 = 4𝑧𝑄 − 𝑅

(пренебрегаем фиксиро-

ванными издержками на

𝐿

2

). Максимум этой функции можно искать разными спо-

собами: через производную, через условие равенства предельных величин или через
преобразования в квадратичную параболу. Воспользуемся последним способом и за-
меним

𝑅 = 𝑄

2

/𝑎

:

𝜋 = 4𝑧𝑄 −

𝑄

2

𝑎

.

Относительно

𝑄

это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке

𝑄 =

2𝑎𝑧

.

В случае

𝑎 < 1

роботы не используются и производственная функция принима-

ет вид

𝑄 =

√

𝐿

1

, то есть

𝐿

1

= 𝑄

2

. Запишем функцию прибыли (снова не учитываем

фиксированные издержки):

𝜋 = 4𝑧𝑄 − 𝑄

2

.

Относительно

𝑄

это тоже квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке

𝑄 = 2𝑧

. Отсюда

𝐿

1

= 𝑄

2

= 4𝑧

2

.

В итоге получаем:

𝑄(𝑎, 𝑧) = {

2𝑧,

𝑎 < 1

2𝑎𝑧, 𝑎

⩾

1

𝐿

1

(𝑎, 𝑧) = {

4𝑧

2

, 𝑎 < 1

0,

𝑎

⩾

1

𝑅(𝑎, 𝑧) = {

0,

𝑎 < 1

4𝑎𝑧

2

, 𝑎

⩾

1

В вопросе пункта спрашивались только

𝑄

и

𝐿

1

; функция

𝑅

выписана, так как она

пригодится в дальнейшем.

в)

Теперь

𝑧

является переменой величиной, а значит и издержки

𝐿

2

становятся

переменными. Их величина равна

2𝐿

2

= 2𝑧

4

. Воспользовавшись результатами преды-

дущего пункта, составим функцию прибыли:

𝜋 = {

4𝑧 ⋅ 2𝑧 − 4𝑧

2

− 2𝑧

4

,

𝑎 < 1

4𝑧 ⋅ 2𝑎𝑧 − 4𝑎𝑧

2

− 2𝑧

4

, 𝑎

⩾

1.

Максимизировать эту функцию можно по-разному. Заменим

𝑡 = 𝑧

2

:

𝜋 = {

8𝑡 − 4𝑡 − 2𝑡

2

,

𝑎 < 1,

8𝑎𝑡 − 4𝑎𝑡 − 2𝑡

2

, 𝑎

⩾

1.

Вершины парабол (с ветвями вниз) будут ответом на вопрос пункта:

𝑧 =

√

𝑡 = {

1,

𝑎 < 1

√

𝑎, 𝑎

⩾

1.

Заключительный этап, 9 класс

20

Задача 7