Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 15

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

при условиях

𝑥

1

+ 𝑥

2

= 5

,

𝑥

1

∈ [0; 2]

,

𝑥

2

∈ [0; 4]

. Аналогично пункту

а)

, получаем задачу

6 − 𝑥

2

1

− (5 − 𝑥

1

)

2

/8 →

max

.

Второе племя не может добыть больше 4 единиц мяса. Значит, первому племе-

ни надо будет добыть минимум одну единицу мяса. Таким образом, максимум этой
функции мы будем искать на отрезке [1;2]. Вершиной данной параболы c ветвями
вниз является точка

𝑥

1

= 5/9 < 1

, и значит, максимум будет достигаться на краю от-

резка, в точке

𝑥

⋆

1

= 1

. Второе племя произведет все оставшиеся четыре единицы, а

количество собранных плодов будет равно 3.

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по

𝑥

2

функцию

6 − (5 − 𝑥

2

)

2

−

− 𝑥

2

2

/8

. Оптимизировать нужно на отрезке

[3; 4]

;

𝑥

2

⩾

3

в силу ограничения на общее

количество мяса и

𝑥

1

⩽

2

.

Кроме того, решение

𝑥

⋆

1

= 1

можно получить, если заметить, что производная

целевой функции

6 − 𝑥

2

1

− (5 − 𝑥

1

)

2

/8

отрицательна на отрезке [1;2], или, что эквива-

лентно, для любого

𝑥

1

∈ [1; 2]

альтернативные издержки добычи мяса первым племе-

нем в точке

𝑥

1

больше, чем альтернативные издержки добычи мяса вторым племенем

в точке

5 − 𝑥

1

.

в)

КПВ есть не что иное, как график функции, показывающей, какое максималь-

ное количество Игрека можно произвести, если всего требуется произвести

𝑋

единиц

Икса. Две точки на КПВ острова мы уже нашли – (3;5) и (5;3). Теперь осталось найти
остальные, решив ту же задачу максимизации уже для произвольного значения

𝑋

,

то есть

𝑌 = 𝑦

1

+ 𝑦

2

= 6 − 𝑥

2

1

− 𝑥

2

2

/8 →

max

при условиях

𝑥

1

+ 𝑥

2

= 𝑋

,

𝑥

1

∈ [0; 2]

,

𝑥

2

∈ [0; 4]

. Ясно, что

𝑋 ∈ [0; 6]

.

Переходя к оптимизации по одной переменной, получаем задачу

6 − 𝑥

2

1

− (𝑋 − 𝑥

1

)

2

/8 →

max

,

где

𝑋

–– параметр.

Если

𝑋

⩽

4

, эту задачу надо решать на отрезке

[0; 2]

–– для любого

𝑥

1

∈ [0; 2]

, второе

племя сможет произвести

𝑋 − 𝑥

1

. Если же

𝑋 > 4

,

𝑥

1

∈ [𝑋 − 4; 2]

, так как первое племя

должно будет произвести минимум

𝑋 − 4

единицы мяса.

Нетрудно определить, что вершина параболы с ветвями вниз

6 − 𝑥

2

1

− (𝑋 − 𝑥

1

)

2

/8

находится в точке

𝑥

1

= 𝑋 /9

.

Случай 1.

𝑋

⩽

4

, и поэтому

𝑥

1

∈ [0; 2]

.

𝑋 /9

принадлежит этому отрезку для любого

𝑋

⩽

4

, а значит,

𝑥

⋆

1

(𝑋 ) = 𝑋 /9

будет решением задачи. Тогда

𝑌 = 6 − (𝑋 /9)

2

− (8𝑋 /9)

2

/8 =

= 6 − 𝑋

2

/9

.

Случай 2.

𝑋 ∈ (4; 6]

, и поэтому

𝑥

1

∈ [𝑋 − 4; 2]

.

𝑋 /9

принадлежит этому отрезку при

𝑋 /9

⩾

𝑋 − 4

, или

𝑋

⩽

4,5

. Значит, решением будет

𝑥

⋆

1

(𝑋 ) = {

𝑋 /9,

𝑋

⩽

4,5;

𝑋 − 4, 𝑋 > 4,5.

Региональный этап, 11 класс

13

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Действительно, если вершина параболы с ветвями вниз лежит левее допустимого от-
резка, оптимум достигается в левом конце отрезка. При

𝑋 > 4,5

максимальное коли-

чество собранных плодов будет равно

𝑌 = 4 − (𝑋 − 4)

2

+ 0 = 4 − (𝑋 − 4)

2

.

Обобщая, получаем, что КПВ острова задается уравнением

𝑌 = {

6 − 𝑋

2

/9,

𝑋

⩽

4,5;

4 − (𝑋 − 4)

2

, 4,5

⩽

𝑋

⩽

6.

Тот же ответ можно получить, оптимизируя по

𝑥

2

и обобщая анализ в пунктах

а)

и

б)

. При

𝑋 < 2

максимизацию по

𝑥

2

нужно проводить на отрезке

[0; 4]

, а при

𝑋

⩾

2

––

на отрезке

[𝑋 − 2; 4]

. Граничное значение

𝑋 = 4,5

определяется из условия

8𝑋 /9 = 4

.

Кроме того, решить пункт можно с помощью производной или анализа аль-

тернативных издержек. При

𝑋

⩽

4,5

является доступным распределение

(𝑥

1

, 𝑥

2

) =

(𝑋 /9, 8𝑋 /9)

, при котором производная целевой функции равна нулю (альтернативные

издержки двух племен равны). Поскольку альтернативные издержки обоих племен
возрастают, производная целевой функции убывает, и значит, это точка максимума.
При

𝑋 > 4

это распределение не является доступным, так как

8𝑋 /9 > 4

. При опти-

мизации по

𝑥

1

производная целевой функции отрицательна на отрезке

[𝑋 − 4; 2]

––

альтернативные издержки первого племени больше в точке

𝑥

1

, чем альтернативные

издержки второго племени в точке

𝑋 − 𝑥

1

–– и потому оптимальным является мини-

мальное значение

𝑥

1

, то есть

𝑋 − 4

.

Примечание 1:

КПВ острова имеет вид

𝑥

4.5 6

𝑦

3.75

6

Рис. 8.1:

КПВ острова.

Можно показать, что излома в точке

(4,5; 3,75)

нет, наклон КПВ как при приближе-

нии слева, так и при приближении справа к этой точке стремится к единице. Поду-
майте, почему так происходит.

Примечание 2:

В данном случае альтернативные издержки не являются постоян-

ными и стремятся к нулю для малых значений

𝑥

для обоих племен. Поэтому найти

суммарную КПВ методом определения «порядка», в котором племена должны про-
изводить

𝑥

(как в случае, если хотя бы одна из двух КПВ является линейной), не пред-

ставляется возможным. Тем не менее, найденное решение отражает то, что альтер-
нативные издержки производства Икса для первого племени растут быстрее (то есть

Региональный этап, 11 класс

14

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

оно «в целом хуже» производит Икс). Действительно, при

𝑋 < 4,5

при оптимальном

распределении производства первое племя производит лишь одну девятую общего
объема, а второе –– восемь девятых. И лишь когда производственных возможностей
второго племени становится недостаточно, доля Икса, произведенного первым пле-
менем, растет.

Схема проверки

а)

Всего за пункт ––

8 баллов.

• Выписывание функции двух переменных, которую нужно максимизировать, ––

2 балла.

• Переход к оптимизации по одной переменной ––

1 балл.

• Нахождение кандидата на оптимум

𝑥

1

или

𝑥

2

через вершину параболы или про-

изводную (равенство альтернативных издержек)––

1 балл.

• Проверка достаточных условий максимума (указание на направление ветвей па-

раболы вниз, на смену знака первой производной с плюса на минус, отрицатель-
ность второй производной или указание на то, что альтернативные издержки
возрастают) ––

1 балл.

• Проверка того, что найденное значение

𝑥

1

принадлежит отрезку

[0; 2]

, ––

1 балл.

• Проверка того, что найденное значение

𝑥

2

принадлежит отрезку

[0; 4]

, ––

1 балл.

• Определение максимального значения

𝑌

––

1 балл.

б)

Всего за пункт ––

8 баллов.

• Выписывание функции двух переменных, которую нужно максимизировать, ––

2 балла.

• Переход к оптимизации по одной переменной ––

1 балл.

• Правильное определение краевого оптимума

(𝑥

⋆

1

,𝑥

⋆

2

) = (1,4)

––

4 балла.

, причем

определить его можно двумя способами: (1) найти вершину соответствующей
параболы, отметить, что вершина не принадлежит допустимому отрезку, со-
слаться на направление ветвей параболы и сделать вывод, что оптимум дости-
гается на границе отрезка; (2) с помощью производной доказать, что функция
монотонна на допустимом отрезке, и потому оптимум достигается на указан-
ной границе отрезка. Второй способ эквивалентен сравнению альтернативных
издержек в соответствующих точках.

• Определение максимального значения

𝑌

––

1 балл.

Если участник сделал вывод, что решение будет в вершине параболы, за пункт

при верных вычислениях ставится

3 балла

.

Если участник сослался на симметрию и вывел ответ из результата пункта а): «в а)

получилось, что при

𝑋 = 3

максимальное значение

𝑌

равно 5, значит при

𝑌 = 5

мак-

симальное значение

𝑋

равно 3, и значит, в силу симметрии, при

𝑋 = 5

максимальное

𝑌

равно 3, –– за пункт ставится

0 баллов

, так как в данной задаче симметрии между

𝑋

и

𝑌

нет, КПВ племен не переходят друг в друга при симметрии относительно

𝑌 = 𝑋

,

и итоговая КПВ также не является симметричной.

в)

Всего за пункт ––

14 баллов.

• Постановка оптимизационной задачи при произвольном

𝑋

––

5 баллов.

Региональный этап, 11 класс

15

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

• Переход к оптимизации по одной переменной ––

1 балл.

• Правильное для каждого

𝑋

определение отрезка, на котором производится оп-

тимизация, ––

2 балла.

• Определение вершины параболы или точки, где производная равна нулю (аль-

тернативные издержки равны), ––

1 балл.

• Определение того, при каких

𝑋

решение достигается в вершине параболы, а при

каких –– на границе отрезка (получение критического значения

𝑋 = 4,5

) ––

4 бал-

ла.

Участник должен пояснить, почему оптимум достигается на границе отрез-

ка –– либо с помощью ссылки на направление ветвей параболы, либо обосновы-
вая монотонность функции с помощью производной. Если этого не сделано,

1

балл

снимается.

• Расчет максимального значения

𝑌

––

1 балл.

Региональный этап, 11 класс

16

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Заключительный этап

Екатеринбург, 20–26 марта 2021 г.

9 класс

Решения

Содержание

Первый тур

2

Задача 1.

Блиц

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Задача 2.

«Вычитание» КПВ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Задача 3.

Голосование о торговле

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Задача 4.

Круглое озеро

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Второй тур

14

Задача 5.

Рынок заемных средств

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Задача 6.

А спрос-то не линейный!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Задача 7.

Люди и роботы: кто кого?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Задача 8.

Инвестиции с минимальным сожалением

. . . . . . . . . . . . . . . .

23

1

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 1.

Блиц

(12 баллов)

В первом задании олимпиады вам предлагается ответить на несколько не связан-

ных друг с другом коротких вопросов.

а)

(4 балла)

Экономические Ахиллес и черепаха.

В феврале 2020 года было опуб-

ликовано видео беседы известного экономиста М. с известным экономистом Г. Одной
из тем беседы стала экономическая гонка США и Китая. Экономист Г. заметил: «Ес-
ли ВВП на душу населения в США растет с темпом 2 % в год, а в Китае –– с темпом
6 % в год, то 4 % –– это скорость, с которой Китай догоняет США, и в конце концов, он
их догонит». Экономист М. парировал: «Если Китай, с ВВП на душу населения 10 000
долларов, растет на 6 % в год, он прибавляет по 600 долларов на человека. Если США,
c ВВП на душу населения 64 000 долларов, растут на 2 % в год, они прибавляют при-
мерно по 1 300 долларов на человека. Поскольку

1300 > 600

, Китай никогда не догонит

США». Если приведенные числовые данные верны и темпы прироста ВВП на душу
населения будут сохраняться, догонит ли Китай США? Если да, то в чем именно ошиб-
ка экономиста М.?

б)

(4 балла)

Психологическое ценообразование.

Во многих магазинах можно

встретить цены, которые немного меньше ближайших к ним целых или круглых чи-
сел: 999 руб., 19,95 $, 29,99 € и т. п. Самое распространенное объяснение использования
этой стратегии –– особенность психологии восприятия цены некоторыми потребите-
лями. Поняв, что это за особенность, изобразите возможный график кривой спроса,
отражающий ее. Из графика должно быть очевидно, почему описанная стратегия це-
нообразования оптимальна для продавцов. Особенность психологии людей словами
описывать не нужно, в ответе должен быть

только график

.

в)

(4 балла)

Парадокс вакцинации.

Допустим, в разгар эпидемии, вызванной ви-

русом X, становится доступной вакцина от вируса X, обладающая лишь частичной
эффективностью (например, 60 %). Приведите экономическое объяснение того, что
в результате появления такой вакцины заболеваемость вирусом X может парадок-
сальным образом вырасти, а не сократиться.

Решение

а)

Если приведенные числовые данные верны и темпы прироста ВВП на душу

населения будут сохраняться, Китай, конечно, догонит США. Принимая за нулевой
год тот, в котором ВВП на душу населения в США и Китае равны 64000 и 10000 соот-
ветственно, подушевой ВВП в США будет равен значению выражения

64000 ⋅ 1,02

𝑡

, а в

Китае —

10000⋅1,06

𝑡

, где

𝑡

— номер года. Ясно, что значение второго выражения при до-

статочно больших

𝑡

превысит значение первого. Ошибка экономиста М. заключается

в том, что он не учел, что в каждом году проценты будут считаться

от нового

уровня

подушевого ВВП. Например, во втором году ВВП Китая вырастет не на 600, а уже на

1,06 ⋅ 600 = 636

долл. на человека, и т.д. По-другому ошибку экономиста М. можно

сформулировать так: он перепутал простые и сложные проценты. (Когда мы говорим
о темпах прироста некой величины, всегда имеются в виду сложные проценты.)

б)

Подойдёт любая кривая спроса (с отрицательным наклоном!), такая что её эла-

стичность в точках, где цена принимает значение чуть ниже чисел, оканчивающихся

Заключительный этап, 9 класс

2

Задача 1

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

на ноль, по модулю гораздо больше, чем между этими числами. При этом график
может быть как с разрывами, так и без. Пример верных графиков:

в)

У вакцинированных больше стимулов к рискованному поведению (меньше сти-

мулов к осторожному поведению). Например, вакцинированные могут перестать но-
сить маски или начать встречаться большими компаниями. И при частичной эффек-
тивности вакцины такое рискованное поведение может привести к большему распро-
странению вируса.

Примечание:

Это сродни классическому эффекту Пельцмана — внедрение рем-

ней безопасности может привести к росту количества аварий и смертей через рост
рискованного поведения. Эффект Пельцмана прекрасно описан в книге С. Ландсбур-
га «Экономист на диване».

Схема проверки

а)

Объяснение, что Китай сможет догнать США, основанное на верном описании

механизма работы сложных и простых процентов (описание могло быть как словес-
ным, так и даваться в виде верных расчётов по цифрам из задачи) – 4 балла.

Если в качестве доказательства использовался только расчёт по приростам (с аргу-

ментом, что Китай догонит США в момент, когда приросты в денежном выражении
сравняются) – 2 балла.

Аргумент, что экономист М. неправ, потому что не учитывал население в США и

Китае – 0 баллов.

Заключительный этап, 9 класс

3

Задача 1

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

б)

В качестве верного решения засчитывались такие графики, где в качестве поро-

говой цены использовались любые круглые числа, а также целые числа. Все решения
делятся на несколько видов:

• полностью верный график – 4 балла
• график, в котором отсутствуют подписи на оси – 2 балла
• график, в котором есть существенная логическая ошибка (например, выколотая

точка расположена не с той стороны), но присутствует идея о смене наклонов
или о наличии разрывов – 1 балл

• неверный график (без смены наклона и без разрывов или график, в котором под-

разумевается бесконечная делимость товара, но при этом существуют цены, для
которых спрос не определён) – 0 баллов

Приводим основные виды графиков, встречавшихся в работах с указанием, во

сколько баллов оценивался этот вид:

в)

Есть рассуждение о неосторожном поведении в случае вакцинации – 4 балла.

Рассуждения, не содержащие в себе идеи о неосторожном поведении, оценива-

лись в 0 баллов.

Заключительный этап, 9 класс

4

Задача 1