Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задание 5.

Шок на рынке масок (9 класс)

(30 баллов)

Рынок медицинских масок в стране A совершенно конкурентный. В 2019 году

недельный рыночный спрос задавался уравнением

𝑄

𝑑

= 55 − 𝑃

(объем –– в тыс. шт.

в неделю), а недельное рыночное предложение –– уравнением

𝑄

𝑠

= 𝑃 − 11

; на рынке

действовало 10 одинаковых фирм.

В 2020 году в связи с пандемией недельный спрос на маски резко вырос (сдвинув-

шись параллельно). В первые месяцы пандемии число фирм, производящих маски,
оставалось тем же, что и в 2019 году, и цена на маски выросла в 4 раза. Во второй по-
ловине 2020 года на рынок вошли новые фирмы (использующие ту же технологию
производства, что и старые фирмы), и цена опустилась до уровня 2019 года.

а)

(10 баллов)

Определите уравнение недельного спроса в 2020 году.

б)

(12 баллов)

Определите число фирм, вошедших на рынок в 2020 году.

в)

(8 баллов)

Если после окончания пандемии спрос на маски вернется к уровню

2019 года, а число фирм останется тем же, что и в 2020 году, какой будет цена на маски?

Решение

а)

В 2019 году выполнялось

55 − 𝑃 = 𝑃 − 11

, откуда

𝑃

19

= 33

и

𝑄

19

= 22

. Значит,

в первом полугодии 2020 года цена составила

𝑃

20

= 4 ⋅ 33 = 132

; тогда недельное

количество можно найти из не изменившегося предложения:

𝑄

20

= 𝑃

20

−11 = 121

. Если

спрос сдвинулся параллельно (т.е. при каждой цене вырос на одну и ту же величину),
это значит, что по сравнению с функцией для 2019 года наклон остался единичным,
а константа изменилась:

𝑄

𝑑

= 𝑎 − 𝑃

. Зная параметры нового равновесия, составим

уравнение

121 = 𝑎 − 132

, откуда

𝑎 = 253

. Итак, спрос в 2020 году имеет вид

𝑄

𝑑

= 253 − 𝑃

.

б)

Во втором полугодии 2020 года цена составила

𝑃

20

= 𝑃

19

= 33

, значит, равно-

весное количество составило

𝑄

20

= 253 − 𝑃

20

= 220

. Если

𝑄

𝑠

= 𝑃 − 11

–– это предло-

жение 10 идентичных фирм, то индивидуальное предложение фирмы задаётся как

𝑞

𝑠

= 0,1(𝑃 − 11)

; при цене 33 д.е. получаем, что каждая фирма производит по

𝑞

𝑠

= 2,2

,

а значит всего на рынке присутствуют

𝑄

20

/𝑞

𝑠

= 100

фирм, т.е. на рынок вошло 90 но-

вых фирм.

в)

Спрос снова примет вид

𝑄

𝑑

= 55 − 𝑃

, а рыночное предложение, возвращаясь

к выкладкам пункта

б)

, останется равным

𝑄

𝑠

= 100𝑞

𝑠

= 100 ⋅ 0,1(𝑃 − 11) = 10𝑃 − 110

.

В новом равновесии

55 − 𝑃 = 10𝑃 − 110

, т.е.

𝑃 = 15

.

Примечание:

Интересно, что после окончания пандемии цена на маски может

оказаться ниже, чем до ее начала (

15 < 33

). Это происходит из-за того, что произ-

водственные мощности во время пандемии серьезно наращиваются. Однако можно
предположить, что такая ситуация низкой цены после пандемии продлится недол-
го –– с течением времени часть фирм уйдет с рынка, и цена вернется к уровню 2019
года.

Схема проверки

а)

Всего за пункт ––

10 баллов.

• Найдены равновесные количество масок и цена в 2019 г. ––

2 балла.

• Найдено равновесное количество масок в 2020 г. ––

2 балла.

Региональный этап, 9 класс

5

Задание 5.

Шок на рынке масок (9 класс)

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

• Записана через параметр функция спроса (или обратная функция) таким обра-

зом, чтобы сдвиг был параллельным (может быть не отдельная запись, а в ходе
решения, например, в условии уравновешенности рынка) ––

2 балла.

• Найдено значение параметра (даже если не записан окончательный вид функ-

ции спроса) ––

4 балла.

б)

Всего за пункт ––

12 баллов.

• Записана функция предложения одной фирмы ––

4 балла

.

• Найден объем, который производит каждая фирма при первоначальной цене (и

к которой рынок вернулся после появлении на рынке новых фирм) ––

2 балла.

• Найдено равновесное количество масок после выхода новых фирм на рынок ––

2 балла.

• Найдено общее количество фирм на рынке ––

2 балла.

• Указано количество фирм, вышедших на рынок (т.е. дан ответ на сформулиро-

ванный в задании вопрос) ––

2 балла.

в)

Всего за пункт ––

8 баллов.

• Записана функция предложения на рынке (совокупное предложение всех фирм) ––

4 балла.

• Условие уравновешенности рынка масок ––

2 балла.

• Найдена цена на маски ––

2 балла.

Региональный этап, 9 класс

6

Задание 5.

Шок на рынке масок (9 класс)

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задание 6.

Шарик-бизнесмен

(30 баллов)

Матроскин уехал в отпуск и решил оставить на Шарика производство творога.

В Простоквашино Шарик является монополистом. Недельный спрос на творог зада-
ется функцией

𝑄 = 48 − 2𝑃

, где

𝑃

–– цена (в д.е./кг),

𝑄

–– объем (в кг). Чтобы произвести

𝑄

кг творога, Шарику нужно потратить

𝑡(𝑄) = 𝑄

2

/2

часов (зависимость нелинейная,

так как Шарик устает, и каждый следующий килограмм дается ему труднее). Помимо
продажи творога Шарик может давать уроки фотоохоты по цене 2 д.е. в час (число ча-
сов урока может быть нецелым). В запасе у него есть 50 часов в неделю на выполнение
обoих видов работ (остальное время он восстанавливает силы). Шарик максимизирует
свой суммарный доход от двух видов деятельности.

а)

(9 баллов)

Найдите оптимальный для Шарика объем производства творога

и максимальный суммарный доход Шарика.

б)

(11 баллов)

Почтальон Печкин предложил Шарику услугу привлечения клиен-

тов с окрестных деревень, в результате которого спрос на творог вырастет до

𝑄 =

= 72 − 2𝑃

. Печкин просит за услугу 115 д.е. Какой объем производства следует выбрать

Шарику, если он согласится на предложение Печкина? Стоит ли ему соглашаться?

в)

(10 баллов)

Допустим, Печкин за свои услуги просит не фиксированную сумму,

а взять его в долю. А именно, Печкин просит, чтобы Шарик отдавал Печкину треть
выручки от продажи творога. Какой объем производства следует выбрать Шарику,
если он согласится? Стоит ли Шарику соглашаться?

Решение

а)

Обратная функция спроса имеет вид

𝑃 = 24 − 𝑄/2

; выручка Шарика от продажи

творога равна

𝑃 ⋅ 𝑄 = (24 − 𝑄/2)𝑄

.

Выпишем общий доход Шарика:

𝑅(𝑄, 𝑡

𝑢

) = (24−𝑄/2)𝑄 +2⋅𝑡

𝑢

, где

𝑡

𝑢

–– время, потра-

ченное на уроки фотоохоты. Поскольку

𝑡(𝑄) + 𝑡

𝑢

= 50

и

𝑡(𝑄) = 𝑄

2

/2

, функцию дохода

можно записать как

𝑅(𝑄) = (24 − 𝑄/2)𝑄 + 2(50 − 𝑄

2

/2) = 24𝑄 − 3𝑄

2

/2 + 100.

При этом

𝑄 ∈ [0; 10]

, так как максимальный объем производства из-за ограничения

на общее время равен

√

50 ⋅ 2 = 10

.

Функция дохода является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, и вер-

шина находится в точке

𝑄 = 24/(2 ⋅ 3/2) = 8

. Поскольку

8 ∈ [0; 10]

, это и есть оптималь-

ный выпуск.

Ответ:

𝑄

⋆

= 8

.

б)

Если Шарик согласится, обратная функция спроса примет вид

𝑃 = 36 − 𝑄/2

. Ана-

логично пункту

а)

, запишем доход Шарика

𝜋 = (36 − 𝑄/2)𝑄 + 2(50 − 𝑄

2

/2) = 36𝑄 − 3𝑄

2

/2 + 100.

Шарик максимизирует на отрезке

[0; 10]

. Вершина параболы в точке

𝑄 = 36/3 = 12

.

Вершина находится справа от допустимого отрезка, и поэтому оптимум достигается
в правой границе отрезка, то есть при

𝑄

⋆

= 10

.

Региональный этап, 9 класс

7

Задание 6.

Шарик-бизнесмен

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Рассчитаем прирост дохода Шарика, если он согласится. В пункте

а)

доход равен

𝑅

0

= 24⋅8−3⋅8

2

/2+100 = 3⋅8

2

−1,5⋅8

2

+100 = 196

. В

б)

получаем

𝑅

1

= 36⋅10−1,5⋅10

2

+100 =

= 360 − 150 + 100 = 310

.

Печкин просит 115, и при согласии Шарик получит нетто

210 − 115 = 195 < 196

.

Значит, соглашаться не стоит.

Ответ:

𝑄

⋆

= 10

, нет.

в)

При согласии Печкин будет брать 1/3 от выручки, то есть от величины

(36 −

− 𝑄/2)𝑄

. Значит, функция дохода Шарика примет вид

(1 − 1/3) ⋅ (36 − 𝑄/2)𝑄 + 100 − 𝑄

2

= 24𝑄 − 4𝑄

2

/3 + 100.

Шарик максимизирует ее на отрезке

[0; 10]

. Вершина параболы в точке

𝑄 = 24/(8/3) =

= 9

. Поскольку

9 ∈ [0; 10]

, эта точка и будет оптимумом.

𝑄

⋆

= 9

.

Доход Шарика (уже за вычетом платежа Печкину) равен

𝑅

2

= 24 ⋅ 9 − 4 ⋅ 9

2

/3 + 100 =

= 9 ⋅ 3 ⋅ 8 − 9 ⋅ 3 ⋅ 4 + 100 = 9 ⋅ 3 ⋅ 4 + 100 = 208

. Поскольку

208 > 196

, нужно соглашаться.

Ответ:

𝑄

⋆

= 9

, да.

Примечание:

В каждом пункте можно было получить те же ответы, если макси-

мизировать не общий доход, а

экономическую прибыль

от продажи творога, то есть

выручку от продажи творога за вычетом экономических издержек. В задаче явные
издержки производства творога равны нулю, а неявные издержки равны упущенной
выгоде, то есть доходу от уроков, потерянному из-за производства творога. Тогда эко-
номическая прибыль равна

𝜋(𝑄) = 𝑇 𝑅(𝑄) − 2 ⋅ 𝑡(𝑄),

где

𝑇 𝑅(𝑄)

– выручка от продажи творога, в то время как суммарный доход равен

𝑅 = 𝑇 𝑅(𝑄) + 2(50 − 𝑡(𝑄)) = 𝜋(𝑄) + 100.

Таким образом, экономическая прибыль от продажи творога и суммарный доход от-
личаются лишь на константу, а значит, оптимальные выпуски при максимизации
этих функций совпадают.

Схема проверки

Если участник максимизирует не суммарный доход, а экономическую прибыль

от продажи творога, балл не снижается.

Под достаточными условиями максимума ниже понимается одно из: ветви пара-

болы направлены вниз, первая производная меняет знак с плюса на минус, вторая
производная отрицательна.

За каждую арифметическую ошибку снимается

1 балл

при правильной логике ре-

шения.

а)

Всего за пункт

9 баллов.

• Правильное составление функции дохода (или экономической прибыли)––

5 бал-

лов.

Региональный этап, 9 класс

8

Задание 6.

Шарик-бизнесмен

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

• Нахождение

𝑄 = 8

––

1 балл.

• Проверка, того, что

𝑄 = 8

принадлежит допустимому отрезку

[0; 10]

––

1 балл.

• Проверка достаточных условий максимума ––

1 балл.

• Нахождение дохода ––

1 балл.

б)

Всего за пункт

11 баллов.

• Правильное составление функции дохода (или экономической прибыли) ––

5 бал-

лов.

• Нахождение

𝑄 = 12

––

1 балл.

• Проверка достаточных условий максимума ––

1 балл.

• Проверка, того, что

𝑄 = 12

не принадлежит допустимому отрезку

[0; 10]

––

1 балл.

• Определение оптимального выпуска

𝑄

⋆

= 10

––

1 балл.

• Нахождение дохода ––

1 балл.

• Сравнение двух величин и правильный вывод о том, соглашаться или нет, ––

1

балл.

в)

Всего за пункт

10 баллов.

• Правильное составление функции дохода (или экономической прибыли) ––

5 бал-

лов.

• Нахождение

𝑄 = 9

––

1 балл.

• Проверка достаточных условий максимума ––

1 балл.

• Проверка, того, что

𝑄 = 9

принадлежит допустимому отрезку

[0; 10]

––

1 балл.

• Нахождение дохода ––

1 балл.

• Сравнение двух величин и правильный вывод о том, соглашаться или нет, ––

1

балл.

Региональный этап, 9 класс

9

Задание 6.

Шарик-бизнесмен

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задание 7.

Повышенная ставка

(30 баллов)

Банки обычно предлагают не один тип вклада, а целую линейку вкладов с разны-

ми свойствами и ставками. Например, если вклад нельзя пополнять, то ставка по нему
обычно выше. В этой задаче мы рассмотрим данную ситуацию.

Предположим, вам предлагается на выбор два вклада сроком 12 месяцев. Ставка

по первому вкладу равна 1 % в месяц, и его можно пополнять на любую сумму с ин-
тервалом не менее месяца. Ставка по второму вкладу равна 1,5 % в месяц, но его нель-
зя пополнять. В данном банке проценты начисляются по методу

простых процентов

,

то есть если некая сумма

𝑠

лежит на вкладе

𝑡

месяцев по ставке

(100𝑟) %

в месяц, то

в конце срока по ней выплачиваются проценты в размере

𝑡 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑠

.

а)

(10 баллов)

Допустим, у вас изначально есть сумма 500 тыс. рублей, которую

вы готовы разместить на вкладе. Из зарплаты вы готовы сберегать 40 тыс. рублей
каждый месяц. (Первая зарплата придет к вам через месяц после начала срока вклада.)
Какой из двух вкладов выгоднее для вас, если вы хотите накопить как можно бо́льшую
сумму к концу срока?

б)

(20 баллов)

Теперь предположим, что вы –– менеджер банка, которому нужно

спрогнозировать расходы банка на процентные выплаты. Для этого нужно предска-
зать, сколько людей выберет каждый из указанных выше типов вкладов. Пусть

𝑀

––

сумма, которую человек готов разместить на вкладе в начале срока, а

𝑋

–– сумма, ко-

торую он готов сберегать в каждом из последующих месяцев. Пусть

𝑘 = 𝑀/𝑋

. С помо-

щью маркетингового исследования вы выяснили, что

𝑘

для разных людей принимает

значения от 5 до 15; доли людей с разными значениями

𝑘

приведены в таблице.

Интервал

𝑘

[5; 7] (7; 9] (9; 11] (11; 13] (13; 15]

Доля людей 10 %

20 %

30 %

30 %

10 %

Считайте, что если человеку безразлично, какой вклад открывать, то он открывает

пополняемый. Какой процент людей выберет вклад с возможностью пополнения?

Решение

а)

При пополняемом вкладе сумма к концу года составит

𝑆

1

= 500 + 500 ⋅ 12 ⋅ 0,01 + 40 ⋅ 12 + 40 ⋅ 0,01 ⋅ (11 + 10 + … + 1 + 0) =

= 500 + 60 + 480 + 40 ⋅ 0,01 ⋅

11 ⋅ 12

2

= 1040 + 0,4 ⋅ 66 = 1066,4.

При непополняемом вкладе сумма к концу года составит

𝑆

2

= 500 + 500 ⋅ 12 ⋅ 0,015 + 40 ⋅ 12 = 500 + 5 ⋅ 12 ⋅ 1,5 + 480 = 1070.

Таким образом, непополняемый вклад выгоднее.

б)

При пополняемом вкладе сумма к концу года составит

𝑆

1

= 𝑀 + 𝑀 ⋅ 12 ⋅ 0,01 + 12𝑋 + 𝑋 ⋅ 0,01 ⋅ (11 + 10 + … + 1 + 0) = 1,12𝑀 + 12,66𝑋 .

Региональный этап, 9 класс

10

Задание 7.

Повышенная ставка

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

При непополняемом вкладе сумма к концу года составит

𝑆

2

= 𝑀 + 𝑀 ⋅ 12 ⋅ 0,015 + 12𝑋 = 1,18𝑀 + 12𝑋 .

Выгоднее выбирать пополняемый вклад, если

𝑆

1

⩾

𝑆

2

, то есть

1,12𝑀 + 12,66𝑋

⩾

1,18𝑀 +

+ 12𝑋

. После преобразований получаем

0,06𝑀

⩽

0,66𝑋

, то есть

𝑘 = 𝑀 ⁄ 𝑋

⩽

0,66 ⁄ 0,06 = 11

.

Таким образом, люди, у которых

5

⩽

𝑘

⩽

11

, выберут пополняемый вклад, а лю-

ди, у которых

11 < 𝑘

⩽

15

, выберут непополняемый. Значит, доля людей, которые

предпочтут пополняемый вклад, равна

10 % + 20 % + 30 % = 60 %.

Ответ:

60 % или 0,6.

Схема проверки

Ответ пункта

а)

может быть получен в пункте

б)

. Действительно, в пункте

а)

𝑘 = 500/40 = 12,5 > 11

, и поэтому непополняемый вклад выгоднее. Если участник

использует это рассуждение и не приводит расчеты

𝑆

1

и

𝑆

2

для пункта

а)

, ему или ей

все равно ставится

10 баллов

за пункт

а)

.

а)

Всего за пункт ––

10 баллов

.

• Верно подсчитана сумма к концу года для пополняемого вклада ––

4 балла.

• Верно подсчитана сумма к концу года для непополняемого вклада ––

4 балла.

• На основании корректно рассчитанных сумм сделан вывод, что непополняемый

вклад предпочтителен, ––

2 балла.

б)

Всего за пункт ––

20 баллов.

• Корректно записано выражение (от

𝑀

и

𝑋

) для суммы к концу года при попол-

няемом вкладе ––

4 балла.

• Корректно записано выражение (от

𝑀

и

𝑋

) для суммы к концу года при непо-

полняемом вкладе ––

4 балла.

• Составлено неравенство, иллюстрирующее, какой вклад при каких параметрах

предпочтительнее, ––

4 балла.

• Решено составленное неравенство — получено граничное значение

𝑘

––

4 балла.

• Приведена доля людей, предпочитающих пополняемый вклад, ––

4 балла.

Региональный этап, 9 класс

11

Задание 7.

Повышенная ставка

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

(30 баллов)

На острове Паабалор есть два племени, живущие охотой и собирательством. Пле-

мена потребляют мясо (

𝑥

) и плоды (

𝑦

). Уравнения и графики КПВ имеют вид:

Племя 1

Племя 2

𝑦

1

= 4 − 𝑥

2

1

𝑦

2

= 2 − 𝑥

2

2

/8

𝑥

1

2

𝑦

1

4

𝑥

2

4

𝑦

2

2

а)

(8 баллов)

Какое максимальное количество плодов может быть собрано на ост-

рове, если всего нужно добыть 3 единицы мяса?

б)

(8 баллов)

Какое максимальное количество плодов может быть собрано на ост-

рове, если всего нужно добыть 5 единиц мяса?

в)

(14 баллов)

Определите уравнение КПВ острова.

Решение

а)

Найдем, как нужно разделить обязанности племен по добыче 3 единиц мяса,

чтобы в итоге количество собранных плодов было максимально, то есть решим задачу

𝑦

1

+ 𝑦

2

= 6 − 𝑥

2

1

− 𝑥

2

2

/8 →

max

при условии

𝑥

1

+ 𝑥

2

= 3

, а также

𝑥

1

∈ [0; 2]

,

𝑥

2

∈ [0; 4]

.

Подставляя в целевую функцию

𝑥

2

= 3 − 𝑥

1

, получаем задачу

6 − 𝑥

2

1

− (3 − 𝑥

1

)

2

/8 →

max

.

При этом найти максимум этой функции надо на отрезке [0;2], так как первое пле-

мя не может добыть больше 2 единиц мяса. При этом производство второго племени
будет изменяться от 1 до 3. Эти количества для второго племени возможны, так что
дополнительных ограничений не возникает. Находя вершину этой параболы с вет-
вями вниз, получаем, что

𝑥

⋆

1

= 1/3

, что принадлежит отрезку [0;2]. Значит, это и есть

искомый максимум. Второе племя будет производить

3−1/3 = 8/3

единиц мяса. Общее

количество собранных плодов при этом равно

6 − (1/3)

2

− (8/3)

2

/8 = 5

.

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по

𝑥

2

функцию

6 − (3 − 𝑥

2

)

2

−

− 𝑥

2

2

/8

. Оптимизировать нужно на отрезке

[1; 3]

, так как

𝑥

2

⩽

3

в силу ограничения

на общее количество мяса и

𝑥

1

⩾

0

, и

𝑥

2

⩾

1

в силу ограничения на общее количество

мяса и

𝑥

1

⩽

2

.

Кроме того, точку

𝑥

⋆

1

= 1/3

можно получить, приравнивая производную целе-

вой функции к нулю, или, что эквивалентно, приравнивая альтернативные издержки
производства для двух племен. Для первого племени альтернативные издержки рав-
ны

|(4 − 𝑥

2

1

)

′

| = 2𝑥

1

, для второго ––

|(2 − 𝑥

2

2

/8)

′

| = 𝑥

2

/4

.

б)

Теперь нужно решить задачу

𝑦

1

+ 𝑦

2

= 6 − 𝑥

2

1

− 𝑥

2

2

/8 →

max

Региональный этап, 9 класс

12

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ