Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 9

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

при условиях

𝑥

1

+ 𝑥

2

= 5

,

𝑥

1

∈ [0; 2]

,

𝑥

2

∈ [0; 4]

. Аналогично пункту

а)

, получаем задачу

6 − 𝑥

2

1

− (5 − 𝑥

1

)

2

/8 →

max

.

Второе племя не может добыть больше 4 единиц мяса. Значит, первому племе-

ни надо будет добыть минимум одну единицу мяса. Таким образом, максимум этой
функции мы будем искать на отрезке [1;2]. Вершиной данной параболы c ветвями
вниз является точка

𝑥

1

= 5/9 < 1

, и значит, максимум будет достигаться на краю от-

резка, в точке

𝑥

⋆

1

= 1

. Второе племя произведет все оставшиеся четыре единицы, а

количество собранных плодов будет равно 3.

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по

𝑥

2

функцию

6 − (5 − 𝑥

2

)

2

−

− 𝑥

2

2

/8

. Оптимизировать нужно на отрезке

[3; 4]

;

𝑥

2

⩾

3

в силу ограничения на общее

количество мяса и

𝑥

1

⩽

2

.

Кроме того, решение

𝑥

⋆

1

= 1

можно получить, если заметить, что производная

целевой функции

6 − 𝑥

2

1

− (5 − 𝑥

1

)

2

/8

отрицательна на отрезке [1;2], или, что эквива-

лентно, для любого

𝑥

1

∈ [1; 2]

альтернативные издержки добычи мяса первым племе-

нем в точке

𝑥

1

больше, чем альтернативные издержки добычи мяса вторым племенем

в точке

5 − 𝑥

1

.

в)

КПВ есть не что иное, как график функции, показывающей, какое максималь-

ное количество Игрека можно произвести, если всего требуется произвести

𝑋

единиц

Икса. Две точки на КПВ острова мы уже нашли – (3;5) и (5;3). Теперь осталось найти
остальные, решив ту же задачу максимизации уже для произвольного значения

𝑋

,

то есть

𝑌 = 𝑦

1

+ 𝑦

2

= 6 − 𝑥

2

1

− 𝑥

2

2

/8 →

max

при условиях

𝑥

1

+ 𝑥

2

= 𝑋

,

𝑥

1

∈ [0; 2]

,

𝑥

2

∈ [0; 4]

. Ясно, что

𝑋 ∈ [0; 6]

.

Переходя к оптимизации по одной переменной, получаем задачу

6 − 𝑥

2

1

− (𝑋 − 𝑥

1

)

2

/8 →

max

,

где

𝑋

–– параметр.

Если

𝑋

⩽

4

, эту задачу надо решать на отрезке

[0; 2]

–– для любого

𝑥

1

∈ [0; 2]

, второе

племя сможет произвести

𝑋 − 𝑥

1

. Если же

𝑋 > 4

,

𝑥

1

∈ [𝑋 − 4; 2]

, так как первое племя

должно будет произвести минимум

𝑋 − 4

единицы мяса.

Нетрудно определить, что вершина параболы с ветвями вниз

6 − 𝑥

2

1

− (𝑋 − 𝑥

1

)

2

/8

находится в точке

𝑥

1

= 𝑋 /9

.

Случай 1.

𝑋

⩽

4

, и поэтому

𝑥

1

∈ [0; 2]

.

𝑋 /9

принадлежит этому отрезку для любого

𝑋

⩽

4

, а значит,

𝑥

⋆

1

(𝑋 ) = 𝑋 /9

будет решением задачи. Тогда

𝑌 = 6 − (𝑋 /9)

2

− (8𝑋 /9)

2

/8 =

= 6 − 𝑋

2

/9

.

Случай 2.

𝑋 ∈ (4; 6]

, и поэтому

𝑥

1

∈ [𝑋 − 4; 2]

.

𝑋 /9

принадлежит этому отрезку при

𝑋 /9

⩾

𝑋 − 4

, или

𝑋

⩽

4,5

. Значит, решением будет

𝑥

⋆

1

(𝑋 ) = {

𝑋 /9,

𝑋

⩽

4,5;

𝑋 − 4, 𝑋 > 4,5.

Региональный этап, 9 класс

13

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Действительно, если вершина параболы с ветвями вниз лежит левее допустимого от-
резка, оптимум достигается в левом конце отрезка. При

𝑋 > 4,5

максимальное коли-

чество собранных плодов будет равно

𝑌 = 4 − (𝑋 − 4)

2

+ 0 = 4 − (𝑋 − 4)

2

.

Обобщая, получаем, что КПВ острова задается уравнением

𝑌 = {

6 − 𝑋

2

/9,

𝑋

⩽

4,5;

4 − (𝑋 − 4)

2

, 4,5

⩽

𝑋

⩽

6.

Тот же ответ можно получить, оптимизируя по

𝑥

2

и обобщая анализ в пунктах

а)

и

б)

. При

𝑋 < 2

максимизацию по

𝑥

2

нужно проводить на отрезке

[0; 4]

, а при

𝑋

⩾

2

––

на отрезке

[𝑋 − 2; 4]

. Граничное значение

𝑋 = 4,5

определяется из условия

8𝑋 /9 = 4

.

Кроме того, решить пункт можно с помощью производной или анализа аль-

тернативных издержек. При

𝑋

⩽

4,5

является доступным распределение

(𝑥

1

, 𝑥

2

) =

(𝑋 /9, 8𝑋 /9)

, при котором производная целевой функции равна нулю (альтернативные

издержки двух племен равны). Поскольку альтернативные издержки обоих племен
возрастают, производная целевой функции убывает, и значит, это точка максимума.
При

𝑋 > 4

это распределение не является доступным, так как

8𝑋 /9 > 4

. При опти-

мизации по

𝑥

1

производная целевой функции отрицательна на отрезке

[𝑋 − 4; 2]

––

альтернативные издержки первого племени больше в точке

𝑥

1

, чем альтернативные

издержки второго племени в точке

𝑋 − 𝑥

1

–– и потому оптимальным является мини-

мальное значение

𝑥

1

, то есть

𝑋 − 4

.

Примечание 1:

КПВ острова имеет вид

𝑥

4.5 6

𝑦

3.75

6

Рис. 8.1:

КПВ острова.

Можно показать, что излома в точке

(4,5; 3,75)

нет, наклон КПВ как при приближе-

нии слева, так и при приближении справа к этой точке стремится к единице. Поду-
майте, почему так происходит.

Примечание 2:

В данном случае альтернативные издержки не являются постоян-

ными и стремятся к нулю для малых значений

𝑥

для обоих племен. Поэтому найти

суммарную КПВ методом определения «порядка», в котором племена должны про-
изводить

𝑥

(как в случае, если хотя бы одна из двух КПВ является линейной), не пред-

ставляется возможным. Тем не менее, найденное решение отражает то, что альтер-
нативные издержки производства Икса для первого племени растут быстрее (то есть

Региональный этап, 9 класс

14

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

оно «в целом хуже» производит Икс). Действительно, при

𝑋 < 4,5

при оптимальном

распределении производства первое племя производит лишь одну девятую общего
объема, а второе –– восемь девятых. И лишь когда производственных возможностей
второго племени становится недостаточно, доля Икса, произведенного первым пле-
менем, растет.

Схема проверки

а)

Всего за пункт ––

8 баллов.

• Выписывание функции двух переменных, которую нужно максимизировать, ––

2 балла.

• Переход к оптимизации по одной переменной ––

1 балл.

• Нахождение кандидата на оптимум

𝑥

1

или

𝑥

2

через вершину параболы или про-

изводную (равенство альтернативных издержек)––

1 балл.

• Проверка достаточных условий максимума (указание на направление ветвей па-

раболы вниз, на смену знака первой производной с плюса на минус, отрицатель-
ность второй производной или указание на то, что альтернативные издержки
возрастают) ––

1 балл.

• Проверка того, что найденное значение

𝑥

1

принадлежит отрезку

[0; 2]

, ––

1 балл.

• Проверка того, что найденное значение

𝑥

2

принадлежит отрезку

[0; 4]

, ––

1 балл.

• Определение максимального значения

𝑌

––

1 балл.

б)

Всего за пункт ––

8 баллов.

• Выписывание функции двух переменных, которую нужно максимизировать, ––

2 балла.

• Переход к оптимизации по одной переменной ––

1 балл.

• Правильное определение краевого оптимума

(𝑥

⋆

1

,𝑥

⋆

2

) = (1,4)

––

4 балла.

, причем

определить его можно двумя способами: (1) найти вершину соответствующей
параболы, отметить, что вершина не принадлежит допустимому отрезку, со-
слаться на направление ветвей параболы и сделать вывод, что оптимум дости-
гается на границе отрезка; (2) с помощью производной доказать, что функция
монотонна на допустимом отрезке, и потому оптимум достигается на указан-
ной границе отрезка. Второй способ эквивалентен сравнению альтернативных
издержек в соответствующих точках.

• Определение максимального значения

𝑌

––

1 балл.

Если участник сделал вывод, что решение будет в вершине параболы, за пункт

при верных вычислениях ставится

3 балла

.

Если участник сослался на симметрию и вывел ответ из результата пункта а): «в а)

получилось, что при

𝑋 = 3

максимальное значение

𝑌

равно 5, значит при

𝑌 = 5

мак-

симальное значение

𝑋

равно 3, и значит, в силу симметрии, при

𝑋 = 5

максимальное

𝑌

равно 3, –– за пункт ставится

0 баллов

, так как в данной задаче симметрии между

𝑋

и

𝑌

нет, КПВ племен не переходят друг в друга при симметрии относительно

𝑌 = 𝑋

,

и итоговая КПВ также не является симметричной.

в)

Всего за пункт ––

14 баллов.

• Постановка оптимизационной задачи при произвольном

𝑋

––

5 баллов.

Региональный этап, 9 класс

15

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

• Переход к оптимизации по одной переменной ––

1 балл.

• Правильное для каждого

𝑋

определение отрезка, на котором производится оп-

тимизация, ––

2 балла.

• Определение вершины параболы или точки, где производная равна нулю (аль-

тернативные издержки равны), ––

1 балл.

• Определение того, при каких

𝑋

решение достигается в вершине параболы, а при

каких –– на границе отрезка (получение критического значения

𝑋 = 4,5

) ––

4 бал-

ла.

Участник должен пояснить, почему оптимум достигается на границе отрез-

ка –– либо с помощью ссылки на направление ветвей параболы, либо обосновы-
вая монотонность функции с помощью производной. Если этого не сделано,

1

балл

снимается.

• Расчет максимального значения

𝑌

––

1 балл.

Региональный этап, 9 класс

16

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Региональный этап

2020/2021 год

Первый тур. Тест.

Правильные ответы.

Конкурс

закрасьте кружочек

#

9 класс

 

10 класс

#

11 класс

■

Правильные ответы

■

Региональный этап

2020/2021 год

Первый тур. Тест. 10 класс.

Правильные ответы и комментарии

Задание 1

5 вопросов

типа «Верно/Неверно». Правильный ответ приносит

1 балл

.

1.1.

В настоящий момент в экономике производится 10 единиц товара X; использо-

вание ресурсов полное и эффективное. Альтернативная стоимость единицы товара X
постоянна и составляет 0,5 единицы товара Y. Значит, ради производства дополни-
тельных 4 единиц товара Y придётся отказаться от 8 единиц товара X.

1)

Да.

2) Нет.

Комментарий

. Альтернативная стоимость (а.с.) икса в игреках и а.с. игрека в иксах

являются обратными величинами. Получаем, что а.с. игрека в иксах равна 2, а значит,
что ради производства дополнительной единицы Y нужно пожертвовать двумя еди-
ницами X. Поскольку а.с. постоянна, 4 единицы Y будут стоить 8 единиц X. Отказ от 8
единиц X возможен, потому что сейчас их производится 10.

1.2.

Все экономические исследования предполагают рациональность агентов.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. Модели с допущениями о нерациональном поведении агентов можно

встретить в разделе экономики, который называется

поведенческой экономикой

. За ис-

следования в этой области было присуждено уже несколько Нобелевских премий по
экономике.

1.3.

Если у страны есть абсолютное преимущество в производстве некоторого блага,

она будет экспортировать это благо.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. Направление торговли определяется сравнительными, а не абсолют-

ными преимуществами.

1

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

1.4.

Если ввести потоварный налог в размере

𝑡

д.е. за каждую произведенную едини-

цу, то монополия увеличит цену по крайней мере на

𝑡

.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. В общем случае доля налога, которую монополист перекладыва-

ет на потребителя, может быть как больше, так и меньше единицы –– это зависит
от функций спроса и издержек. Например, при линейном спросе и постоянных пре-
дельных издержках монополист повысит цену ровно на половину налога.

1.5.

Одно исследование показало, что люди, прошедшие после увольнения програм-

мы повышения квалификации, в среднем зарабатывают больше, чем те, кто их не про-
ходил. Из этого можно сделать вывод о том, что прохождение программ повышения
квалификации увеличивает зарплату работников.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. Вполне возможно, что люди, идущие на такие программы, являются

более мотивированными и организованными, чем те, кто на эти программы не идет. А
значит, их бо́льший заработок после окончания может не быть следствием прохожде-
ния таких программ.

Корреляция

между фактом прохождения программы и будущим

доходом не означает наличия причинно-следственной связи между этими перемен-
ными.

Задание 2

5 вопросов

, в каждом из которых среди четырех вариантов нужно выбрать един-

ственно верный или наиболее полный ответ. Правильный ответ приносит

3 балла

.

2.1.

В 2020 году лауреатами Нобелевской премии по экономике

(Премии Шведского го-

сударственного банка по экономическим наукам памяти А. Нобеля)

стали Пол Милгром

и Роберт Уилсон. За какие заслуги была присуждена премия?
1) разработка оптимального дизайна выборов и голосований;
2) оценка многомерной КПВ мира;
3) анализ эффективности мер по борьбе с коррупцией;

4)

усовершенствование теории аукционов.

2.2.

В некоторой стране кривая Лоренца имеет вид

𝑦 = 𝑥

3

. Каково соотношение до-

ходов беднейшей трети, «средней» трети и богатейшей трети населения?

1)

1:7:19;

2) 1:8:27;

3) 1:7:100;

4) 1:8:100.

Комментарий

. Примем доход всей страны за единицу. Тогда доходы беднейшей тре-

ти равны

𝑦(1/3) = 1/27

. Доход средней трети равен

(𝑦(2/3) − 𝑦(1/3)) = 7/27

. Доход бога-

тейшей трети равен

(1 − 𝑦(2/3)) = 19/27

.

2.3.

Население страны составляет 100 тыс. чел. Численность трудоспособного насе-

ления равна 80 тыс. чел., а количество безработных — 5 тыс. чел. Тогда уровень безра-
ботицы равен:

Региональный этап, 10 класс

2

Первый тур. Тест.

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

1) 5 %;

2) 6,25 %;

3) 20 %;

4)

недостаточно информации для ответа.

Комментарий

. Уровень безработицы равен отношению числа безработных к объему

рабочей силы. Не все трудоспособные люди входят в рабочую силу, а значит, в вопросе
недостаточно информации для ответа.

2.4.

В одной стране уровень инфляции каждый год составляет 200 %. Пусть

𝑝(𝑡)

–– уро-

вень цен в конце года

𝑡

, год

𝑡 = 0

принят базовым. Тогда:

1)

𝑝(𝑡) = 2

𝑡

;

2)

𝑝(𝑡) = 3𝑡

;

3)

𝑝(𝑡) = 𝑡

3

;

4)

𝑝(𝑡) = 3

𝑡

.

Комментарий

. При уровне инфляции 200% в год уровень цен растет каждый год в три

раза.

2.5.

Предельные издержки некой фирмы задаются уравнением

𝑀𝐶 = 2𝑞

; выпуск фир-

мы может быть только целым числом. Чему равна величина

𝐴𝑉 𝐶(2020)

— средние

переменные издержки при производстве 2020 единиц товара?
1) 2019;

2) 2020;

3)

2021;

4) 4040.

Комментарий

. При дискретном выпуске

𝑉 𝐶(𝑞) = 𝑀𝐶(1) + 𝑀𝐶(2) + … + 𝑀𝐶(𝑞) = 2(1 + 2 + … + 𝑞) = 𝑞(𝑞 + 1).

Значит,

𝐴𝑉 𝐶(𝑞) = 𝑞 + 1.

Задание 3

5 вопросов

, в каждом из которых среди четырех вариантов нужно выбрать все вер-

ные. Правильным ответом считается полное совпадение выбранного множества ва-
риантов с ключом. Правильный ответ приносит

5 баллов

.

3.1.

Что не является производным финансовым инструментом (деривативом)?

1) опцион;

2) форвард;

3) фьючерс;

4)

государственная облига-

ция.

3.2.

Рассмотрим совершенно конкурентный рынок с функциями спроса и предло-

жения соответственно

𝑞

𝑑

= 90 − 𝑝

и

𝑞

𝑠

= 𝑝/2

. На рынке вводится потоварный налог

на производителей по ставке

𝑡 ∈ (0; 90)

. Что из перечисленного верно?

1)

Равновесный выпуск сократится;

2)

При ставке налога

𝑡 > 45

выпуск сократится более чем в два раза;

3)

Налоговое бремя потребителей будет меньше бремени производителей;

4) Расходы потребителей могут увеличиться.

Региональный этап, 10 класс

3

Первый тур. Тест.