ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 22

Задание №1340

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 148. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=74

Ответ: 74

Задание №1766

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 22+11√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=11

Ответ: 11

Задание №1001

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

Задание №3136

Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 14. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=20

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+20=44

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 44

Задание №5482

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 87, периметр P= 355 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=90,5

Ответ: 90,5

Задание №5862

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 51, CD= 39 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 180

Ответ: 180

Задание №2053

Дан треугольник ABC. Стороны AC=12, BC=16, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=4

Ответ: 4

Задание №3336

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 60, основание равно 72 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1728

Подствавим значения и найдём полупериметр P=96

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=1728/96=18

Ответ: 18

Задание №4795

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 51 и 40 . Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 91 / 2 = 45,5

Ответ: 45,5

Задание №3300

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 34° и 143°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов

угол противоположный углу 143 градусов равен 180-143=37 градусов

Больший из неизвестных углов 146 градусов

Ответ: 146

Задание №5311

Площадь параллелограмма ABCD равна 124. Середина стороны CD - точка E. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31

Ответ: 31

Задание №4975

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 37 и 12, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=12

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=98+24=122

Ответ: 122

Задание №3477

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 134. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=100,5

Ответ: 100,5

Задание №1558

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 438. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =438 / 6 = 73

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*73=146

Ответ: 146

Задание №4066

Основания равнобедренной трапеции равны 144 и 36. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=90

Ответ: 90

Задание №1321

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 27, BC=9, CD=70. Вычислите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=27+70-9=88

Ответ: 88

Задание №4373

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 82. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 82 / 4 = 20,5

Ответ: 20,5

Задание №2860

Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=102,75

Ответ: 102,75

Задание №5500

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 70, ее большая боковая сторона равна 27 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 4

Ответ: 4

Задание №3211

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 56, 72. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=21+56+72=149

Ответ: 149

содержание .. 20 21 22 23 ..