ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 20

Задание №3284

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 88. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 88 / 4 = 22

Ответ: 22

Задание №4548

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 130, основание равно 156 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=8112

Подствавим значения и найдём полупериметр P=208

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=8112/208=39

Ответ: 39

Задание №3246

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 107, AB= 113 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 440

Ответ: 440

Задание №2302

Дан треугольник ABC. Стороны AC=84, BC=135, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=30

Ответ: 30

Задание №5529

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 89, большая боковая сторона равна 39 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2,75

Ответ: 2,75

Задание №4520

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 127. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=95,25

Ответ: 95,25

Задание №4748

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 302, стророна AB= 73 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=78

Ответ: 78

Задание №5761

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 28, 60, 97. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=28+60+97=185

Ответ: 185

Задание №1644

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 136. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=102

Ответ: 102

Задание №4007

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 25, BC=7, CD=58. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=25+58-7=76

Ответ: 76

Задание №3029

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 140°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140

180*n – 360 = 140 * n

n=9

Ответ: 9

Задание №3419

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 160. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=80

Ответ: 80

Задание №1195

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 33 и 41 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 74 / 2 = 37

Ответ: 37

Задание №3645

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 136. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34

Ответ: 34

Задание №5810

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=5

Ответ: 5

Задание №1346

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 72+36√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=36

Ответ: 36

Задание №4800

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 300. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =300 / 6 = 50

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*50=100

Ответ: 100

Задание №2441

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 41° и 126°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 41 градусов равен 180-41=139 градусов

угол противоположный углу 126 градусов равен 180-126=54 градусов

Больший из неизвестных углов 139 градусов

Ответ: 139

Задание №5542

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 48 и 20. Радиус описанной окружности равен 26. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=10

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+10=34

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 34

Задание №3759

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 43 и 14, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=14

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=114+28=142

Ответ: 142

содержание .. 18 19 20 21 ..