ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 21

Задание №2217

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 95, CD= 87 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 364

Ответ: 364

Задание №2799

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 136, стророна AB= 32 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=36

Ответ: 36

Задание №3140

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 15, 33, 54. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=15+33+54=102

Ответ: 102

Задание №1993

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 30, BC=7, CD=54. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=30+54-7=77

Ответ: 77

Задание №3408

Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=15

Ответ: 15

Задание №5198

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 29° и 99°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 29 градусов равен 180-29=151 градусов

угол противоположный углу 99 градусов равен 180-99=81 градусов

Больший из неизвестных углов 151 градусов

Ответ: 151

Задание №5886

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 138. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,5

Ответ: 34,5

Задание №4755

В треугольнике ABC AC=9, BC=12, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=3

Ответ: 3

Задание №2362

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 19 и 7 . Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 26 / 2 = 13

Ответ: 13

Задание №4294

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 55. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 55 / 4 = 13,75

Ответ: 13,75

Задание №1752

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 516. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =516 / 6 = 86

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*86=172

Ответ: 172

Задание №3245

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 14+7√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=7

Ответ: 7

Задание №3494

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 32 и 60. Радиус описанной окружности равен 34. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=30

HO=16

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=30+16=46

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 46

Задание №3632

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 140, основание равно 168 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=9408

Подствавим значения и найдём полупериметр P=224

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=9408/224=42

Ответ: 42

Задание №5056

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 125. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93,75

Ответ: 93,75

Задание №3991

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 130. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=97,5

Ответ: 97,5

Задание №3450

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 31 и 10, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=10

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=82+20=102

Ответ: 102

Задание №1383

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 85, большая боковая сторона трапеции равна 35 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 3,75

Ответ: 3,75

Задание №2282

Площадь параллелограмма ABCD равна 128. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=64

Ответ: 64

Задание №5451

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140

180*n – 360 = 140 * n

n=9

Ответ: 9

содержание .. 19 20 21 22 ..