Газовая и волновая динамика - часть 61

зависимости высоты подъема почвенной частицы ветром от времени. Здесь a

i

=

(4r

2

i

ρ

п

/3φη). Найденное решение определяет асимптотическое поведение частицы с

точностью до постоянной A

1

. Ее физический смысл также установлен. Она представ-

ляет собой скорость подъема частицы на участке асимптотического приближения к
предельной высоте подъема, то есть на участке, где подъемная сила практически
уравновешивается силой веса частицы.

Подстановка в (8) времени, t, найденного из рассмотрения уравнения (4) движе-

ния почвенной частицы в проекции на горизонтальную ось, дает уравнение

y

c

=

1

λ



1

−



4r

i

gρ

п

3ρ

в

0

K

∗∗

U

2

e



1

β

− A

1

a

i

e

− x

aiUe

,

(9)

которое представляет собой уравнение траектории почвенной частицы в стратифи-
цированной по плотности атмосфере и является обобщением уравнения траектории

y

н

= b

i

x/U

e

− a

i

(b

i

− v

i

0

)



1

− e

−x/a

i

U

e



(10)

полученного ранее [4] для нестратифицированной атмосферы. В этом уравнении

b

i

= r

i

{K

∗∗

ρ

в

U

2

e

− [4r

i

g(ρ

п

− ρ

в

)/3

}/φη.

Уравнение (10) описывает траекторию частицы в потоке на участке начала подъ-

ема с поверхности, а уравнение (9) – на участке приближения к предельной высоте
подъема при данной скорости ветра. Если U

кр.

<U

e

<U

кр.

2

, то частица сорта r

i

, пе-

ремещается скачками. В соответствии с (10) траектории скачков представляют со-
бой выпуклые кривые, замкнутые на поверхность. Если U

e

>U

кр.

2

, то частица летит.

Траектория ее в этом случае представляет собой вогнутую кривую, стремящуюся
к наклонной прямой, уходящей бесконечно вверх. Кратчайшим путем от участка,
описываемого уравнением (10), к участку, описываемому уравнением (9), является
касательная к обеим траекториям, которую и приняли за траекторию частицы на
этом участке. Обозначив x

m

абсциссу точки пересечения асимптоты кривой, опи-

сываемой уравнением (10), с линией уровня y

m

, и подставив ее в (9), получили

уравнение траектории (11) в удобном для практических расчетов виде.

y

c

=

1

λ



1

−



4r

i

gρ

п

3ρ

в

0

K

∗∗

U

2

e



1

β

− A

1

a

i

e

− (x−xm)

Ueai

(11)

Аналогично обозначив t

m

время достижения частицей точки с координатами

x

m

y

m

, и подставив его в (8), получили уравнение

y =

1

λ



1

−



4r

i

gρ

п

3ρ

в

0

K

∗∗

U

2

e



1

β

− A

1

a

i

e

−

t−tm

ai

(12)

зависимости подъема частицы от времени в удобном для практических расчетов виде.

248

6. Уравнение сохранения массы для почвенного континуума в

почво-воздушном потоке

Решение задачи ветровой эрозии почв в глобальной постановке возможно лишь в
рамках законов механики сплошной среды с привлечением представления о вза-
имопроникающем движении многоскоростных континуумов [10]. Почвенную фазу
почво-воздушного потока, можно представить в виде множества, m, континуумов,
состоящих из одинаковых частиц i-того сорта (i = 1, . . . , m), перемещающихся
одновременно в одном и том же пространстве, без оказания влияния друг на дру-
га. Каждая из частиц i-того сорта имеет характерный радиус,r

i

, плотность, ρ

п

, и

скорость, ¯

v

i

. Скорость частицы разлагается на три составляющие, продольную гори-

зонтальную, u

i

, продольную вертикальную, v

i

, и поперечную горизонтальную, w

i

, а

масса континуума, M

i

, равномерно распределена во всем объеме, занимаемом пото-

ком частиц i-того сорта. Поэтому для концентрации частиц i-того континуума можно
записать условие

c

i

= M

i

/M,

в котором M – масса воздуха, вмещающего этот континуум. Воздушный континуум
имеет переменную по высоте плотность ρ

в

и постоянную скорость, равную сред-

ней скорости воздушного потока, U

e

. Поскольку масса почвенной фазы в почво-

воздушном потоке, как правило [6], весьма мала по сравнению с массой вмещающего
воздуха, M

i

<< M , справедливо условие

ρ

i

= ρ

в

c

i

.

К стратифицированной атмосфере можно применить решение найденное в [4] для
нестратифицированной, поскольку известно уравнение (1) зависимости плотности
воздуха от высоты. В работе [4] уравнение сохранения массы для потока почвенных
частиц i-того сорта решаются в рамках гипотезы о том, что i-й континуум движется,
в плоском случае, по траектории частицы i-го сорта. Решение имеет вид уравнения

dc

i

(x,y)

= 0.

Его смысл состоит в том что вдоль любой траектории концентрация c

i

частиц i-

того сорта остается постоянной. Поэтому, имея данные о составе и свойствах частиц
почвы, вовлеченных в поток, можно анализировать его структуру.

7. Структура почво-воздушного потока при дальнем переносе

Рассмотрим задачу о структуре почво-воздушного потока в плоской постановке для
простейшего случая, когда эродируемая почва состоит из одинаковых частицсорта r

i

,

а скорость ветра превышает скорость начала полета этих частиц, то есть U

e

>U

кр.

2

. В

таком случае выдуваемые частицы будут сначала подниматься по вогнутому участку
траектории, описываемому уравнением (10), затем вдоль касательной, соединяющей
участки кривых, описываемых уравнениями (9) и (10), и, наконец, вдоль выпуклой

249

Рис. 2: Траектории частиц

кривой, описываемой уравнением (9), бесконечно приближаясь к горизонтальной
линии предельной высоты подъемаy

m

, определяемой уравнением (6). Из уравнений

траектории следует, что линии восходящих траекторий частицодного сорта не пере-
секаются. Поэтому в каждой точке плоской фигуры, ограниченной линией почвенной
поверхности и крайними траекториями, имеющими начало, соответственно, на навет-
ренном, x

0

, и подветренном, x

1

, краях эродируемого участка (рис. 2), концентрация

частиц, c

i

, остается величиной постоянной, равной концентрации этих частиц в по-

верхностном слое почвы. Эта фигура ограничивает континуум частиц i-того сорта.
В том случае, когда почва состоит из двух сортов частиц, для каждого из которых
выполняется условие U

e

>U

кр.

2

, крайние траектории и линия почвенной поверхности

ограничат в рассматриваемой плоскости две фигуры (два континуума) в пределах
каждой из которых концентрация будет постоянной, равной, соответственно, c

1

и c

2

.

Но в тех областях, где эти фигуры накладываются (континуумы являются взаимо-
проникающими), концентрация частиц в потоке будет равна сумме концентраций
частицкаждого из сортов, c

1

+ c

2

. Если в почве присутствуют такие частицы, что

для них выполняется условие U

кр.

<U

e

<U

кр.

2

, то они будут перемещаться скачками,

формируя слой сальтации (рис. 2). Структура слоя сальтации установлена ранее [4],
а континуумы почвенных частицэтого слоя в равной мере с другими участвуют в
формировании поля концентраций частиц в почво-воздушном потоке. Интересной
особенностью слоя сальтации является то, что в силу выпуклости траекторий скачу-
щих частицдля любой точки на восходящем участке любой траектории существует
соответствующая траектория, пересекающая ее своим нисходящим участком, поэто-
му концентрация скачущих частиц в потоке равна удвоенной концентрации этих
частицна поверхности, 2c

3

, а общая концентрация частиц в слое сальтации равна

2c

3

+ c

1

+ c

2

.

Утверждение, справедливое для потока, содержащего два сорта частиц, уносимых

по восходящим траекториям безвозвратно относительно источника, справедливо и

250

Рис. 3: Пыльная буря над Суданом и Красным морем (21

◦

с.ш., 38

◦

в.д.) 11 августа

1991 г. Источник: NASA, фото STS043-151-086

для потока, содержащего произвольное число сортов частиц, уносимых безвозврат-
но. Кроме того, если поток в поперечном направлении самоподобен, то решения,
полученные применительно к плоскости, применимы ко всему объемному потоку.
Концентрация частиц почвы в каждой точке этого потока будет равна сумме концен-
траций, свойственных каждому из присутствующих в даной точке почвенных конти-
нуумов, а наличие или отсутствие континуума определяется уравнением траектории.
Следовательно, задача о структуре почво-воздушного потока в стратифицированной
атмосфере решена.

8. Численное моделирование явления ветровой эрозии почв

Таблица 3. Значения аргументов в модели ветровой эрозии почв

ρ

п

,

кг/м

3

ρ

в

0

,

кг/м

3

ϕ

η,
Кг/м

2

c

B

кр

.

,

кг/кг

α

T

0

,

˚C

R,

Дж

кг

·K

∆,
˚C/100м

κ

U

e

,

м/с

U

кр

.

,

м/с

2650

1,164

6

0,000018

0,0037

–3,4

30

287

0,65

0,0042

10

7,6

В качестве примера рассмотрим структуру почво-воздушного потока, который

сформируется над участком суши протяженностью 40 км, почва которого аналогична
почве Сахельского центра (Табл.2), и примыкаюшим к нему участком Красного моря,
в направлении ветра, дующего по линии Порт-Судан Джидда, при обычных для
этих мест условиях (Табл. 3) и сопоставим ее с картиной явления ветровой эрозии
над территорией северо-восточной Африки в окрестностях г. Порт-Судан (рис. 3).
При расчетах ограничимся диапазоном размеров частиц(от r

i

= 40 до r

i

= 60 мкм),

преимущественно выносимых ветрами из зоны Сахары [15, 16].

Поскольку выпадение почвенных частициз потока согласно уравнению траек-

тории обусловлено снижением скорости, необходимо установить ее зависимость от

251