Газовая и волновая динамика - часть 51

токовыми нитями, а чуть позднее Кирхгоф, Максвелл и Томсон с ее помощью по-
лучили и динамическое подобие во взаимодействии между вихревыми и токовыми
кольцами [3]. В теории электромагнетизма решение системы (2) обычно заменяется
нахождением магнитного поля по заданному распределению тока в соответствии с
законом Био-Савара. Именно в такой форме этот вид МАГДА изложен в известном
учебнике [24] при решении задачи нахождения поля скоростей, индуцированного за-
данной системой вихрей. Не останавливаясь подробно на предположениях, принятых
в теории крыла самолета [20 – 23], отметим несколько принципиальных моментов.

1.

Вне крыла течение имеет потенциальный характер, однако, если крыло заме-
нить присоединенными вихрями Жуковского и непрерывно продолжить течение
на всю плоскость, то внутри контура крыла получим вихревое течение.

2.

Переход от граничного условия v

n

= 0 к

{v

n

} = 0 и обратно на контуре крыла

соответствует выдвижению пред- и закрылков, что сопровождается изменением
характера обтекания (в том числе интегральной циркуляции Г вокруг крыла
и интенсивности завихренности γ на его профиле). В сейсмоэлектрическом
эффекте этому процессу соответствует явление выталкивания силовых линий
магнитного поля 

Hдифференциальным вращением среды [25] внутри растущей

магистральной трещины и образование токовых слоев вдоль ее границ.

Вся разница в характерных временах: если при изменении характера обтекания
крыла перестройка течения происходит в течении секунд, то для сейсмоэлек-
трического эффекта — часов или даже суток.

3.

Для осуществления этого необходимым условием является существенное пре-
вышение электропроводности этой среды по сравнению с проводимостью нераз-
рушенной горной породы, в которой и растет магистральная трещина; подобное
требование является достаточно правдоподобным и имеет несколько различных
обоснований [16, 19].

4.

При заданной форме контура С краевая задача (1) относится к стандартному
типу, хотя и требует, как правило, численного счета [23]. Однако для сильно
деформируемого или неизвестного контура (а в случае магистральной трещины
это всегда так) эта задача сводится к сложной проблеме склейки потенциаль-
ного и вихревого течения на заранее неизвестной границе. Для подобных задач
до сих пор нет доказательства существования, единственности и устойчивости
возможных решений [26]. Более того, имеются примеры подобных задач (те-
чение над траншеей), для которых при численном счете обнаружено несколько
различных решений!

5.

Важно подчеркнуть, что уравнения систем (1) и (2) инвариантны относительно
преобразований Галилея вида s



= s

− v · t. Для крыла это позволяет рассмат-

ривать не только задачу обтекания крыла, но и его движения относительно
неподвижной среды, когда сходящие с крыла вихри остаются на месте сво-
его возникновения. В силу МАГДА для сейсмоэлектрического эффекта это
позволяет перейти от пространственной координаты к развертке по времени
изменений АЭП, что и фиксируется приборами перед землетрясениями.

208

Следует заметить, что дополнительные динамические соотношения к системам

(1) и (2) должны быть разными. Если для системы (1) — это уравнения движения
Эйлера или интеграл Бернулли для определения давления внутри и вне крыла при
его замене на присоединенные вихри Жуковского, то для системы (2) — это пока
открытый вопрос, как и весь механизм генерации геомагнитного поля [6, 10]. Од-
нако полезно помнить принцип [25]: часто общие результаты, полученные на основе
математических аналогий между физическими процессами разной природы имеют
большую общность, если они следуют из минимальных ограничений (типа кинема-
тически возможных течений), нежели последовательно выведенные из принятой по
гипотетическим соображениям динамической модели.

Задача стационарного обтекания профиля крыла с контуром С (для простоты

будем считать С отрезком действительной оси координат xOy: 0

≤ x ≤ b, y = 0)

сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши

v

y

(x) =

1

2π

b



0

γ(s)ds

x

− s

,

x

∈ [0, b].

(3)

В общем случае, когда v

y

(x) = f (x) является некоторой заданной функцией x, урав-

нение (3) допускает три различных вида решения [27, 28]:
ограниченное на одном (x = b)и неограниченное на другом (x = 0)конце отрезка
0

≤ x ≤ b

γ

1

(x) =

2

π



b

− x

x

b



0



s

b

− s

·

f (s)

s

− x

ds,

(4)

неограниченное на обоих концах отрезка

γ

2

(x) =

1



x(b

− x)

⎡
⎣ 2

π

b



0

f (s)



s(b

− s)

s

− x

ds + const

⎤
⎦

(5)

и ограниченное на обоих концах отрезка

γ

3

(x) =

2

π



x(b

− x)

b



0

f (s)ds



s(b

− s)(s − x)

при

b



0

f (s)ds



s(b

− s)

= 0

(6)

Сингулярные интегралы для γ

1

(x), γ

2

(x) и γ

3

(x) понимаются в смысле главного

значения, для их вычисления удобно сделать замену: s =

b

2

(1+cos θ), x =

b

2

(1+cos µ),

где θ, µ

∈ [0, π]. Если теперь f(x) задать в виде разложения по cos nθ или полиномам

Чебышева, то все вычисления сводятся к комбинации известных интегралов вида [21]

J

n

=

π



0

cos nθdθ

cos θ

− cos µ

= π

·

sin nµ

sin µ

.

209

Рис. 2.

В частности, в простейшем случае при f (x) = 1 (что можно сделать соответству-

ющим выбором безразмерных переменных) выражения для интенсивности завихрен-
ности γ

1

(x) и γ

2

(x) можно получить в простом явном виде:

γ

1b

(x) = 2



b

− x

x

,

γ

10

(x) = 2



x

b

− x

,

γ

2

(x) =

2(2x

− b)



x(b

− x)

,

(7)

где γ

1b

ограничено при x

→ b, γ

10

ограничено при x

→ 0 и удовлетворяют условию

Чаплыгина-Жуковского на этих концах отрезка, тогда как γ

2

этому условию не

удовлетворяет. Зависимость f (x) =

± (1 − 2x/b) позволяет получить

γ

−

3

(x) =

−4



x

b



1

−

x

b

при

f (x) = 1

− 2

x

b

γ

+

3

(x) = 4



x

b



1

−

x

b

при

f (x) = 2

x

b

− 1

(8)

Графики γ

1b

(x), γ

10

(x), γ

2

(x), γ

−

3

(x) и γ

+

3

(x) приведены на рис. 2. Если теперь у

графиков γ

1b

(x), γ

10

(x) и γ

2

(x) мысленно «обрезать хвосты», уходящие в бесконеч-

ность при x

→ 0 и x → b как некоторую идеализацию, то сравнительный анализ

форм сигналов-предвестников АЭП (рис. 1) показывает явное сходство с суперпози-
цией графиков γ(x), задаваемых формулами (7) – (8) (рис. 2), что и должно следовать
из установленной МАГДА и отмеченной выше галилеевой инвариантности систем (1)
и (2).

Так, возмущение АЭП типа 1 с последовательными стадиями роста, квазинасыще-

ния и до момента сброса описывается линейной суперпозицией нескольких графиков
вида γ

10

(x), с возможным изменением угла наклона в моменты роста магистральной

210

трещины (для крыла самолета это соответствует выдвижению пред- и закрылков,
при этом нестационарными процессами перестройки течения и переходе от гранич-
ного условия непротекания на контуре крыла к

{v

n

} = 0 и обратно пренебрегаем,

считая, что все происходит мгновенно). Заметим, что впервые «самолетная» модель
сейсмоэлектрического эффекта была предложена для объяснения именно этой формы
сигнала-предвестника на основе решения γ

1

(x) с условием Чаплыгина-Жуковского на

одном из концов отрезка. Однако в [29] и пленарных докладах «Ломоносов и загадки
атмосферного электричества» на IX конференции «Математика. Компьютер. Обра-
зование» и V Международном конгрессе по математическому моделированию [30]
(Дубна, 2002 г.) были использованы уже все возможные типы решений γ

1

(x) –

γ

3

(x) уравнения (3) для единообразного объяснения и остальных видов проявления

сейсмоэлектрического эффекта. Аналогичным образом возмущение АЭП типа 2 с
«фазой замирания» описывается суперпозицией графиков вида γ

−

3

(x), тогда нали-

чие возможного резкого всплеска перед самым началом землетрясения может быть
объяснено перестройкой «обтекания» трещины магнитным полем в соответствии с
графиками типа γ

2

или γ

10

. Возмущения колоколообразной формы типа 3 и 4 объяс-

няются суперпозицией графиков γ

+

3

.

Таким образом установлен единый математический механизм различных видов

проявления сейсмоэлектрического эффекта, что ранее в других источниках стави-
лось под сомнение. Например, в [18] утверждается: «Если к перечисленным типам
возмущений и модельным подходам прибавить то, что АЭМИ (аномальные элек-
тромагнитные излучения) регистрируются не только на поверхности Земли, но и в
шахтах на километровой глубине и на спутниках, то станет очевидным, что поиск
единого механизма, объясняющего все многообразие наблюдаемых эффектов, обре-
чен на неудачу».

Следует подчеркнуть, что приведенный анализ претендует лишь на качественное

объяснение, а уравнение (3) в нестационарном случае обтекания разрезного крыла
дает лишь нулевое приближение и для более точных оценок необходимо использо-
вать некоторое обобщение уравнения типа Бирнбаума [21], что можно сделать лишь
численно и при известном законе изменения контура C крыла [23]. Так как закон
изменения формы соответствующей магистральной трещины в литосфере принципи-
ально неизвестен, то подобные математические изыскания ничего существенно но-

211