Газовая и волновая динамика - часть 30

Учитывая выражения (8) и граничные условия (7), получим для определения

аналитических функций Φ (z

1

) , Ψ (z

2

) следующую краевую задачу:

при y = 0,

x > l

2

:

2α

Φ



(x) + (1 + β

2

)

Ψ



(x) = 0,

− (1 + β

2

)

Φ



(x) + 2β

Ψ



(x) = 0;

при y = 0,

l

1

< x < l

2

:

2α

Φ



(x) + (1 + β

2

)

Ψ



(x) = 0,

α

Φ



(x) +

Ψ



(x) =

− tg γ.

(9)

при y = 0,

0 < x < l

1

:

2α

Φ



(x) + (1 + β

2

)

Ψ



(x) = 0,

− (1 + β

2

)

Φ



(x) + 2β

Ψ



(x) = 0;

при y = 0,

x < 0:

2α

Φ



(x) + (1 + β

2

)

Ψ



(x) = 0,

α

Φ



(x) +

Ψ



(x) = 0.

Поскольку первое условие (9) выполняется на всей оси x можно искать функцию

Ψ в виде

Ψ (z) =

2α

1 + β

2

i Φ (z) .

(10)

(10) Подстановка (10) в (9) приводит к следующей краевой задаче типа Римана-
Гильберта [6] для функции Φ



для полуплоскости y > 0. Необходимо определить

аналитическую функцию по заданным условиям на границе полуплоскости, т.е. при
y = 0:

x > l

2

:

Φ



(x) = 0;

l

1

< x < l

2

:

Φ



(x) =

−

1 + β

2

α(1

− β

2

)

tg γ;

0 < x < l

1

:

Φ



(x) = 0;

x < 0 :

Φ



(x) = 0.

(11)

Применим к полученной краевой задаче операцию регуляризации, т.е. будем ис-

кать функцию T (z) =

√

z



(z

− l

1

)/(z

− l

2

)

· Φ



(z). Для новой функции T (z) задача

сводится к классической задаче Дирихле для полуплоскости y

≥ 0:

T (x) = f(x), где f(x) = 0, если x < l

1

или

x > l

2

,

и

f (x) =

−

x(l

2

− x)

x

− l

1

1 + β

2

α (1

− β

2

)

γ(x)

при

l

1

< x < l

2

.

124

Тогда, учитывая, что решение задачи Дирихле для полуплоскости y

≥ 0 опреде-

ляется интегралом типа Коши [6]

T (z) =

1

πi



∞

−∞

f (t)dt

t

− z

,

(12)

получим следующее решение для функции Φ



(z)

Φ



(z) =

−

1 + β

2

α (1

− β

2

)

z

− l

2

z(z

− l

1

)

·

1

πi



l

2

l

1

t(t

− l

1

)

l

2

− t

γ(t)dt

t

− z

.

(13)

Формально решение задачи сведено к квадратурам, но фактически оно не являет-
ся завершенным, поскольку решение зависит от параметров l

1

, l

2

, которые пока не

определены. Для их определения необходимо привлечение всех физических аспек-
тов задачи. Примем в качестве критерия разрушения в конце трещины равенство
коэффициента интенсивности напряжений σ

yy

своему критическому значению K

I

lim

x

→−0



|x| · σ

yy

(x) = K

I

.

(14)

Используя выражения (8,10), получим при y = 0 в окрестности x =

−0 следующее

представление для σ

yy

σ

yy

µ

=

Ω

α(1

− β

2

)



l

2

l

1

·

1



|x|

·

1

π



l

2

l

1



t

− l

1

l

2

− t

γ(t) dt

√

t

.

Осредним слабо меняющуюся на отрезке l

1

≤ t ≤ l

2

функцию

γ(t)

√

t

≈ γ

o



2

l

1

+ l

2

и после вычисления интеграла получим следующее условие в носике трещины

Ω

α (1

− β

2

)



l

2

l

1

γ

o

(l

2

− l

1

)



2(l

2

+ l

1

)

=

K

I

µ

.

(15)

В приведенных выше условиях используется следующее выражение для функции
Рэлея:

Ω = 4 αβ

−



1 + β

2



2

.

Она меняет знак в зависимости от того, является движение по отношению к скорости
Рэлея V

R

дозвуковым V

o

< V

R

, или сверхзвуковым V

o

> V

R

и стремится к нулю

при V

o

→ V

R

. Отметим, что при этом для выполнения условий разрушения (15)

необходимо, чтобы параметр l

1

также стремился к нулю.

Учитывая формулы Сохоцкого-Племеля получим в области контакта

σ

yy

µ

=

Ω

1 + β

2

· Φ



(x) =

−

Ω

α (1

− β

2

)

l

2

− x

x(x

− l

1

)

·

1

π



l

2

l

1

t(t

− l

1

)

l

2

− t

γ(t) dt

t

− x

.

(16)

125

Рис. 2: Сверхзвуковое движение тела

В задаче участвует параметр l

2

– длина области контакта. Этот параметр опреде-

ляется контуром образующей y = y

o

(x) поверхности расклинивающего тела. Точка

отрыва среды от контура тела определяется, как показано в [3], условием непрерыв-
ности ускорения для плавно смыкающихся контуров, или совпадает с задней кром-
кой для тел, заканчивающихся угловыми точками. При этом, необходимым условием
корректности постановки является условие физического контакта. В области контак-
та напряжение σ

yy

должно быть отрицательным, что равнозначно положительному

давлению среды на тело. При движении с дозвуковой скоростью физическое усло-
вие контакта, т.е. σ

yy

≤ 0 выполняется. Таким образом решение задачи сведено к

квадратурам.

Движение тела со скоростью превышающей скорость волн Рэлея, но меньшей

скорости поперечных волн достаточно подробно рассматривалось в работе [3]. Для
сверхзвукового случая движения отсутствует трещина, бегущая впереди тела. А это
означает, что параметр l

1

= 0. В целом построение решения проводится аналогично

и решение в этом случае сводится к следующей краевой задаче для функции T (z) =



z/(z

− l

2

)

· Φ



(z):

T (x) = f(x),

где f (x) = 0 при x < 0 или x > l

2

и

f (x) =

−



t

1

− t

1 + β

2

α (1

− β

2

)

γ(x)

при 0 < x < l

2

.

Решением будет функция

Φ



(z) =

1 + β

2

α (1

− β

2

)



z

− l

2

z

·

1

πi



l

2

0



t

l

2

− t

γ(t) dt

t

− z

(17)

126

В этом случае корневая особенность вблизи режущей кромки тела является

устранимой, поскольку интеграл в данном выражении вблизи концевой точки кон-
тура z = 0 имеет порядок

√

z

· ln (z) [4].

Подводя итоги можно констатировать, что задача расклинивания упругой среды

телом сводится для дозвукового и сверхзвукового случая к квадратурам с особыми
сингулярными интегралами, существующими в смысле Коши. Корневая особенность,
характерная для задач линейной механики разрушения в случае сверхзвукового рас-
клинивания отсутствует, что означает изменение самого физического механизма раз-
рушения при переходе через скорость волн Рэлея.

Литература

[1]

Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О расклинивании хрупких тел. — ПММ,
24, вып. 4, 1960.

[2]

Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. — М.: Гостехиздат, 1953.

[3]

Звягин А. В. Дозвуковое движение твердых тел конечных размеров в де-
формируемой среде и некоторые динамические контактные задачи. — Канд.
диссертация, 1979.

[4]

Новацкий В. Теория упругости. — М.: Изд. Мир, 1975.

[5]

Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977.

[6]

Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи теории упругости. — М.:
Изд. АН СССР, 1954.

127