Газовая и волновая динамика - часть 29

связанной с ним дилатансии, является, по-видимому, основной причиной для закона
фильтрации. Изменение объема вследствие дилатансии оказывается в интересующей
нас области (для задач нефти и газа) генеральным [1, 6].

Последние работы [4, 5] показали, что продолжаются исследования в этом же

направлении, но пока отсутствует влияние µ

σ

и детальное изучение структуры ма-

териала при послепиковом поведении.

Литература

[1]

Христианович С. А., Желтов Ю. П. О гидравлическом разрыве нефтеносного
плста. — Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 5.

[2]

Христианович С. А., Шемякин Е. И. К теории идеальной пластичности. —
МТТ, 1967, № 5.

[3]

Христианович С. А., Шемякин Е. И. О плоской деформации пластического
материала при сложном нагружении. — МТТ, 1969, № 5.

[4]

Шемякин Е. И. Об инвариантах напряженного и деформированного состояния
в математических моделях сплошной среды. — ДАН, 2000, т.373, № 5.

[5]

Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности. — Физическая мезомехани-
ка, 1999, т.3, № 6.

[6]

Стажевский С. Б. Приложение механики сыпучих сред к решению некоторых
задач механики горных пород. — ФТПРПИ, 1987, № 3.

120

О расклинивании упругой среды

Звягин А. В.

1. Введение

Задачи о движении тел в различных средах в связи с практическими потребностями
рассматриваются в механике с самого начала ее развития. Не является исключением
и задача движения тела в упругой среде.Качественные характеристики задачи дви-
жения тела с дозвуковой скоростью по отношению к скорости волн Рэлея рассмат-
ривалась в [1]. Во многом родственные контактные задачи о движениии штампов
рассматривались в работе [2]. В работе [3] автор рассматривал движение тела со
скоростью, большей скорости волн Рэлея. Несмотря на это, многие аспекты дан-
ной проблемы требуют дальнейших исследований, поскольку с практической точки
зрения необходимо эффективное построение аналитического решения. В данной ра-
боте предлагается метод решения, позволяющий достаточно эффективно построить
решение при дозвуковом и сверхзвуковом режиме движения расклинивающего тела.

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о движении в упругой среде с плотностью ρ и упругими
постоянными λ, µ тонкого твердого симметричного тела. Будем считать, что тело
двигается с постоянной дозвуковой скоростью V

o

вдоль оси Ox в отсутствии сил

трения, а движение среды плоско-параллельное (рис. 1).

Воспользуемся представлением Ляме для вектора перемещений

u

x

=

∂ϕ

∂x

+

∂ψ

∂y

;

u

y

=

∂ϕ

∂y

−

∂ψ

∂x

.

(1)

Потенциалы вектора перемещений φ, ψ для продольных и поперечных волн, скорости
которых равны соответственно a и b, удовлетворяют волновым уравнениям

1

a

2

∂

2

ϕ

∂t

2

=

∂

2

ϕ

∂x

2

+

∂

2

ϕ

∂y

2

,

1

b

2

∂

2

ψ

∂t

2

=

∂

2

ψ

∂x

2

+

∂

2

ψ

∂y

2

,

(2)

a =

λ + 2µ

ρ

,

b =



µ

ρ

.

При этом компоненты тензора напряжений выражаются [2] через потенциалы ϕ, ψ

σ

xx

= (λ + 2µ)

∂

2

ϕ

∂x

2

+ λ

∂

2

ϕ

∂y

2

+ 2µ

∂

2

ψ

∂x∂y

,

121

Рис. 1: Движение тела в упругой среде. V

o

– скорость тела

σ

yy

= λ

∂

2

ϕ

∂x

2

+ (λ + 2µ)

∂

2

ϕ

∂y

2

− 2µ

∂

2

ψ

∂x∂y

,

(3)

σ

xy

= µ



2

∂

2

ϕ

∂x∂y

+

∂

2

ψ

∂y

2

−

∂

2

ψ

∂x

2



.

В подвижной системе координат, связанной с телом, движение можно считать уста-
новившимся, поэтому если перейти к новым переменным

x

∗

= x + V

o

t,

y

∗

= y,

t

∗

= t,

(4)

искомые функции не будут явно зависеть от времени, а дифференциальные операто-
ры изменятся по следующей форме

∂

∂x

=

∂

∂x

∗

,

∂

∂y

=

∂

∂y

∗

,

∂

∂t

= V

o

∂

∂x

∗

.

(5)

С учетом правил (4),(5) волновые уравнения (2) преобразуются к виду

α

2

∂

2

ϕ

∂x

2

+

∂

2

ϕ

∂y

2

= 0,

β

2

∂

2

ψ

∂x

2

+

∂

2

ψ

∂y

2

= 0,

α

2

= 1

−

V

2

o

a

2

,

β

2

= 1

−

V

2

o

b

2

.

(6)

Здесь и в дальнейшем (*) не пишутся для упрощения записи. Без ограничения
общности можно перейти к безразмерным переменным, в которых область контакта
тела со средой будет иметь на оси Ox координаты x = l

1

– начало контакта и x = l

2

– отрыв среды от поверхности тела.

Скорость движения тела может быть больше или меньше скорости волн Рэлея. В

зависимости от этого меняется характер движения. Как показано в [3], при движе-
нии со скоростью большей скорости волн Рэлея реализуется безотрывное движение
в окрестности режущей кромки клина, а затем в зависимости от геометрии тела

122

происходит отрыв среды от его поверхности. В этом случае начало области контакта
совпадает с началом координат, т.е. l

1

= 0. При движении тела со скоростью меньшей

скорости волн Рэлея среда растрескивается перед телом и характер движения будет
другим (рис. 1). В силу симметрии тела задачу можно рассматривать только для
верхней полуплоскости, при этом должны быть выполнены следующие граничные
условия: 1).На поверхности контакта тела со средой условия безотрывности обтека-
ния v

n

= V

o

· tg γ и отсутствие сил трения σ

nτ

= 0.

2).На свободной поверхности равенство нулю вектора напряжений σ

nn

= 0, σ

nτ

= 0.

3).На остальной части оси Ox в силу симметрии равны нулю напряжение σ

xy

и

составляющая скорости V

y

.

Если линеаризовать и снести граничные условия на невозмущенную границу

y = 0 и считать, что контакт тела со средой будет в области l

1

< x < l

2

, граничные

условия можно записать в следующем виде

1 < x

σ

xy

= 0, σ

yy

= 0;

l < x < 1

σ

xy

= 0, V

y

= V

o

tg γ;

0 < x < l

σ

xy

= 0, σ

yy

= 0;

x < 0

σ

xy

= 0, V

y

= 0.

(7)

3. Построение решения

Для построения решения воспользуемся функциями комплексных переменных, кото-
рые, удовлетворяя уравнениям движения, позволяют свести задачу их определения к
классическим краевым задачам ТФКП [5]. Уравнениям (6) удовлетворяют функции
ϕ =

Φ (z

1

) и ψ =

Ψ (z

2

), где Φ (z

1

), и Ψ (z

2

) – аналитические функции своих ком-

плексных аргументов z

1

= x + iα y, z

2

= x + iβ y. Знак

 обозначает действительную,

а

 – мнимую часть комплексного числа.

Отметим, что производные функций ϕ, ψ в силу условий Коши-Римана будут

такими:

∂ϕ

∂x

=

Φ



(z

1

) ,

∂ϕ

∂y

=

−αΦ



(z

1

) ,

∂ψ

∂x

=

Ψ



(z

2

) ,

∂ψ

∂y

=

−βΨ



(z

2

) .

Тогда компоненты скорости и тензора напряжений можно выразить при помощи

введенных функций комплексного переменного

V

x

V

0

=

Φ



− β · Ψ



;

V

y

V

o

=

−α · Φ



− Ψ



;

σ

xx

µ

=



2α

2

+ 1

− β

2



Φ



− 2β · Ψ



;

σ

yy

µ

=

−



1 + β

2



Φ



+ 2β

Ψ



;

σ

xy

µ

=

−2αΦ



−



1 + β

2



Ψ



.

(8)

123