содержание .. 28 29 30
Медико-биологическая статистика - часть 30
444
ПРИЛОЖЕНИЕ В
тегории. К категории высокой опустошенности относятся медсе-
стры 3-й группы терапевтических отделений и 2-й группы хи-
рургических отделений, к категории умеренной опустошенности
— все остальные. Отнесение медицинских сестер 2-й группы
хирургических отделений к категории высокой опустошенности
довольно условно — их можно было бы отнести и к категории
умеренной опустошенности. При множественных сравнениях
подобные ситуации встречаются, к сожалению, нередко.
Сравнение
Группа, Группа,
Критичес-
отделе- отделе-
Интервал
кое зна-
ние
ние
Разность средних q
сравнения
чение q
3, тер.
3, хир.
65,2 - 43,9 = 21,3
5,362
6
4,1
3, тер.
2, тер.
65,2 - 46,4 = 18,8
4,733
5
3,9
3, тер.
1, хир.
65,2 - 49,9 = 15,3
3,852
4
3,7
3, тер.
1, тер.
65,2 - 51,2 = 14,0
3,525
3
3,4
3, тер.
2, хир.
65,2 - 57,3 = 7,9
1,989
2
2,8
2, хир.
3, хир.
57,3 - 43,9 = 13,4
3,374
5
3,9
2, хир.
2, тер,
57,3 - 46,4 = 10,9
2,744
4
3,7
2, хир.
1, хир.
57,3 - 49,9 = 7,4
1,863
3
3,4
2, хир.
1, тер.
57,3 - 51,2 = 6,1
1,536
2
2,8
1, тер.
3, хир.
51,2 - 43,9 = 7,3
1,838
4
3,7
1, тер.
2, тер.
51,2 - 46,4 = 4,8
1,208
3
3,4
1, тер.
1, хир.
51,2 - 49,9 = 1,3
0,327
2
2,8
1, хир.
3, хир.
49,9 - 43,9 = 6,0
1,511
3
3,4
1, хир.
2, тер.
49,9 - 46,4 = 3,5
0,881
2
2,8
2, тер.
3, хир.
46,4 - 43,9 = 2,5
0,629
2
2,8
5.1. Да, позволяют: χ2 = 17,878; ν = 1; Р < 0,001.
5.2. Значения χ2 для исследованных признаков следующие:
возраст матери — 11,852 (Р < 0,001), время от окончания преды-
дущей беременности — 10,506 (Р < 0,005), планировалась ли бе-
ременность — 3,144 (Р > 0,05), повторная беременность — 1,571
(Р < 0,05), курение во время беременности — 17,002 (Р < 0,001),
посещения врача во время беременности — 4,527 (Р < 0,05),
самый низкий гемоглобин во время беременности — 0,108
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
445
(Р > 0,05), раса — 0,527 (Р > 0,05). (Число степеней свободы
для расы — 2, для остальных признаков — 1.) Таким образом,
факторы риска: возраст матери меньше 25 лет, время от оконча-
ния предыдущей беременности менее 1 года, курение во время
беременности, возможно также менее 11 посещений врача во
время беременности.
5.4. χ2 = 7,288; ν = 2; Р < 0,05, различия эффективности стати-
стически значимы. Сравним ампициллин и цефалексин.
Рецидив
есть
нет
Амлициллин
20
7
Цефалексин
14
2
χ2 = 0,433; ν = 1; Р > 0,05 (с поправкой Бонферрони), различия
статистически не значимы. Объединим соответствующие строки
и сравним ампициллин или цефалексин с триметопримом/суль-
фаметоксазолом.
Рецидив
есть
нет
Амлициллин или цефалексин
34
9
Триметоприм/сульфаметоксазол
24
21
χ2 = 5,387; ν = 1; Р < 0,05 (с поправкой Бонферрони), разли-
чия статистически значимы. Итак, Триметоприм/сульфаметок-
сазол превосходит как ампициллин, так и цефалексин, которые
друг от друга не отличаются.
5.5. χ2 = 74,925; ν = 2; Р < 0,001. Связь заболеваемости с ко-
личеством выпитой воды статистически значима. Сравнив груп-
пы попарно (используя поправку Бонферрони), можно убедить-
ся, что заболеваемость растет с количеством выпитой воды.
5.6. χ2 = 48,698; ν = 3; Р < 0,001, в целом различие долей
статистически значимо. Разбиение таблицы показывает, что не
отличаются 1946 от 1956 г. и 1966 от 1976 г. Далее, объединен-
ная группа 1946 и 1956 гг. отличаются в лучшую сторону от
объединенной группы 1966 и 1976 гг. Таким образом, между
1956 и 1966 г. ситуация изменилась к худшему.
446
ПРИЛОЖЕНИЕ В
5.7. χ2 = 5,185; ν = 1; Р < 0,025. Различия (в пользу хирургичес-
кого лечения) статистически значимы.
5.8. Без антиангинальной терапии: в двух клетках ожидаемые
числа меньше 5, поэтому следует применить точный критерий
Фишера, он дает Р = 0,151. Различия статистически не значимы.
На фоне антиангинальной терапии: можно было бы применить
критерий χ2, однако для единообразия применим точный крите-
рий Фишера: Р = 0,094. Различия статистически не значимы.
5.9. χ2 = 2,273; ν = 1; Р > 0,05. Теперь статистически значи-
мых различий нет.
5.10. χ2 = 8,812; ν = 1; Р < 0,005. Различия статистически
значимы: в больнице среди страдающих болезнью Z доля боль-
ных Х выше, чем среди страдающих болезнью Y. Как мы виде-
ли, эти различия обусловлены исключительно разной вероят-
ностью госпитализации при этих болезнях.
6.1. δ/σ = 1,1; n = 9, чувствительность — 63% (рис. 6.9).
6.2. δ/σ = 0,55, чувствительность — 80%, п = 40 (рис. 6.9).
6.3. Среднее артериальное давление: δ = 0,25 × 76,8 = 19,2;
σ = 17,8 (объединенная оценка); δ/σ = 1,08; п = 9 (численность
меньшей из групп). По рис. 6.9 находим чувствительность —
63%. Общее периферическое сосудистое сопротивление: δ/σ =
= 553/1154 = 0,48; п = 9; чувствительность примерно 13%.
6.4. Примерно 70%.
6.5. Примерно 50 крыс в каждой группе.
6.6. Обозначим истинную долю р, а ее выборочную оценку p .
Наименьшее различие долей, которое мы хотим выявить, обо-
значим ∆р. Объем каждой из выборок равен п.
Если нулевая гипотеза об отсутствии различий верна, то ве-
личина
z
=∆p
s∆
подчиняется стандартному нормальному рас-
p
пределению. Кроме того, при справедливости нулевой гипоте-
зы,
p
и
p
— это две оценки одной и той же доли. Тогда ее
1
2
объединенная оценка —
p =
(
p
+ p
)
/2 = (0,3 + 0,9)/2 = 0,6, а
1
2
стандартная ошибка разности:
1
1
0,692
s
=
p
(
1−
p
)
+
=
∆p
n n
n
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
447
При уровне значимости α = 0,05 критическое значение z со-
ставляет zα = 1,960. Ему соответствует
0,962
1,356
∆p
=
zαs
∆p
=
1,960
=
n
n
Истинные доли p1 и p2 составляют соответственно 0,3 и 0,9,
тогда их разность ∆р = p2 - p1 = 0,9 - 0,3 = 0,6, а ее стандартная
ошибка
p
(
1−
p
)
p
(
1−
p
)
0, 547
1
1
2
2
s
=
+
=
∆p
n
n
n
Величина
z
=
(
∆p
−∆p
)
s∆
подчиняется стандартному нор-
p
мальному распределению. Поскольку необходимая чувствитель-
ность 90%, найдем по таблице 6.4 значение z правее которого
лежит 90% всех значений. Это z = -1,282. Ему соответствует
0,701
∆p
=∆p+ zβs
=
, 6
+
(
−1,282)0,547
=
,6
−
∆p
n
n
Приравняем обе оценки ∆p :
1,356
0,701
=
, 6
−
n
n
Тогда п = 11,7, то есть в каждой группе должно быть 12 боль-
ных.
6.7. 80%.
6.8. На 5 мг% — 36%, на 10 мг% — 95%.
6.9. 183.
6.10. При данной численности групп и ожидаемом эффекте
лечения мы получим следующие доли в клетках.
Рецидив
Есть
Нет
Всего
Ампициллин
0,205
0,102
0,307
Триметоприм/сульфаметоксазол
0,341
0,170
0,511
Цефалексин
0,061
0,121
0,182
Всего
0,607
0,393
1
448
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ϕ = l,4; νмеж = (3 - 1)(2 - 1) = 2; по рис. 6.10 находим чувстви-
тельность — 58%.
6.11. 135.
7.1. 90% доверительные интервалы: 1,8—2,2; 2,1—2,5; 2,6—
3,0; 3,9—5,9. 95% доверительные интервалы: 1,8—2,2; 2,0—2,6;
2,6—3,0; 3,7—6,1. (С округлением до 1 знака после запятой.)
7.2. Воспользовавшись рис. 7.4, найдем: для контрольной
группы 6—42%, для группы, получавшей гель с простагланди-
ном Е2 — 5—40%. 95% доверительный интервал для разности
долей от - 15 до 33% (можно использовать приближение с по-
мощью нормального распределения). Разность долей статисти-
чески не значима.
7.3. 95% доверительный интервал разности средней продол-
жительности родов — от 2,7 до 8,1. Различия статистически зна-
чимы (Р < 0,05).
7.4. При включенном приборе не чувствовали боли 80%, по
рис. 7.4 находим 95% доверительный интервал — от 60 до 90%.
При выключенном приборе доля — 15%, 95% доверительный
интервал — примерно от 3 до 40%. Доверительные интервалы
не перекрываются, поэтому различия статистически значимы.
7.5. Некурящие, работающие в помещении, где не курят, —
3,07—3,27; пассивные курильщики — 2,62—2,82; выкуриваю-
щие небольшое число сигарет — 2,53—2,73; выкуривающие сред-
нее число сигарет — 2,19—2,39; выкуривающие большое число
сигарет — 2,02—2,22. Объединив группы с перекрывающимися
доверительными интервалами, получим 3 категории: первая —
некурящие, работающие в помещении, где не курят, вторая —
пассивные курильщики и выкуривающие небольшое число сига-
рет, третья — выкуривающие среднее и большое число сигарет.
7.6. 1946 г. — 17-31%; 1956 г. — 22-36%; 1966 г. — 43-59%;
1976 г. — 48-64%.
7.7. Для 90% значений: 121—367, для 95% значений: 108—380.
8.1. а) a = 3,0; b = 1,3; r = 0,79; б) а = 5,1; b = 1,2; r = 0,94; в) а = 5,6;
b = 1,2; r = 0,97. С увеличением диапазона данных растет и коэф-
фициент корреляции.
8.2. а) a = 24,3; b = 0,36; r = 0,561; б) а = 0,5; b = 1,15; r = 0,599.
Первый пример показывает, сколь большое влияние может иметь
единственная точка. Второй пример показывает, как важно на-
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
449
нести данные на график, прежде чем приступить в регрес-
сионному анализу: здесь выборка явно разнородна и может быть
описана двумя различными зависимостями. Условия примени-
мости регрессионного анализа не соблюдены, и попытка выра-
зить связь единственной линией регрессии несостоятельна.
8.3. Во всех четырех экспериментах а = 3,0; b = 0,5; r = 0,82.
Условия применимости регрессионного анализа соблюдены
только в первом эксперименте.
8.4. Да. r = -0,68; Р < 0,05.
8.5. Применим метод Блэнда-Алтмана. Для конечно-диасто-
лического объема: средняя разность — 3 мл, стандартное от-
клонение 14 мл. Для конечно-систолического объема: средняя
разность 4 мл, стандартное отклонение 10 мл. Это говорит о
хорошей согласованности по обоим показателям. При графичес-
ком анализе видно, что в обоих случаях разность увеличивает-
ся с ростом среднего показателя.
8.6. При калорийности 37 ккал/кг: а = -44,3; b = 0,34; при
калорийности 33 ккал/кг: а = -34,8; b = 0,35. Для разности
коэффициентов сдвига t = 1,551; п = 20; Р > 0,05, для разности
коэффициентов наклона: t = 0,097; ν = 20; P > 0,05. При кало-
рийности 37 ккал/кг нулевой азотистый баланс достигается при
поступлении азота 130 мг/кг.
8.7. Оценки согласованы достаточно хорошо: коэффициент
ранговой корреляции Спирмена rs = 0,89; Р < 0,002. Впрочем,
тут можно применить и коэффициент корреляции Пирсона, он
даст r = 0,94; Р < 0,001.
8.8. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена rs = 0,899;
Р < 0,001. Визуальная оценка достаточно хорошо соответству-
ет результатам взвешивания. Однако, если нанести данные на
график, можно заметить, что при большом налете визуальная
оценка занижает результат. Дополнительный вопрос: нельзя ли
в этом случае воспользоваться методом Блэнда—Алтмана?
8.9. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена rs = 0,85;
Р < 0,001. Данные подтверждают гипотезу о связи между адге-
зивностью эритроцитов и тяжестью серповвдноклеточной анемии.
8.10. 0,999.
8.11. 20.
450
ПРИЛОЖЕНИЕ В
8.12. Для коэффициентов наклона t = -2,137; ν = 26; Р < 0,05.
Для коэффициентов сдвига t = -2,396; ν = 26; Р < 0,05. При
сравнении линий регрессии в целом имеем: F = 6,657; νмеж = 2;
νвну = 2. Различия линий регрессии статистически значимы.
9.1. Применив парный критерий Сгьюдента, получим: t = 4,69;
ν = 9; Р < 0,002. Полоскание с хлоргексидином более эффектив-
но.
9.2. Антитела к пневмококкам: t = 3,2; ν = 19; Р < 0,01, измене-
ние статистически значимо. Антитела к стрептококкам: t = 1,849,
ν = 19; Р > 0,05, изменение статистически не значимо.
9.3. Антитела к пневмококкам: δ = 306 (средний начальный
уровень), σ = 621 (стандартное отклонение изменения), ϕ = 0,49.
По рис. 6.9 находим чувствительность — примерно 50%. Антите-
ла к стрептококкам: δ = 0,74; σ = 2,85; ϕ = 0,26, чувствитель-
ность около 20%.
9.4. Антитела к пневмококкам: F = 10,073. Антитела к стреп-
тококкам: F = 3,422. В общем случае F = t2.
9.5. Дисперсионный анализ повторных наблюдений дает F =
= 184,50; νмеж = 3; νвну = 33. Различия статистически значимы.
Попарные сравнения с помощью критерия Стьюдента и поправ-
ки Бонферрони показывают, что результаты до курения и вды-
хания окиси углерода статистически значимо не отличаются друг
от друга, но отличаются от результатов после курения и вдыха-
ния окиси углерода; те, в свою очередь, статистически значимо
отличаются друг от друга.
9.6. Применив дисперсионный анализ повторных наблюде-
ний, получим F = 5,04. Критический уровень F при α = 0,05 и
числе степеней свободы νмеж = 2 и νвну = 6 составляет 5,14, то
есть несколько превышает полученное.
9.7. Дисперсионный анализ повторных измерений дает F =
= 4,56; νмеж = 2; νвну = 12. Различия статистически значимы. Кри-
терий Стьюдента с поправкой Бонферрони показывает, что объем
пищи при исходном давлении в поясе 20 мм рт. ст. меньше, чем
при давлении 0 и 10 мм рт. ст. Результаты при 0 и 10 мм рт. ст.
друг от друга статистически значимо не отличаются.
9.8. δ = 100, в качестве σ возьмем квадратный корень из оста-
точной дисперсии, равный 74. Тогда ϕ = 1,35, чувствительность
примерно 50%.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
451
9.9. Применим критерий Мак-Нимара: χ2 = 4,225; ν = l,
Р < 0,05. Индометацин эффективен.
9.10. Теперь данные представлены в виде обычной таблицы
сопряженности; χ2 = 2,402; ν = l, Р > 0,05. Игнорируя парность
наблюдений, мы теряем часть информации, в результате чувст-
вительность снижается.
10.1. Изменение расходов на обследование: W = -72, п =12
(одно нулевое изменение), Р < 0,02. Изменение расходов на ле-
чение: W = -28, п = 13, Р > 0,048. Расходы на обследование
снизились, на лечение остались прежними. Статистически зна-
чимой связи между расходами на обследование и лечение нет:
rs = 0,201, Р > 0,05.
10.2. Критерий Стьюдента дает t = 1,908, ν = 22, Р > 0,05.
Статистически значимых различий нет. Применим критерий
Манна—Уитни. Т = 203, п = 12. Можно применить приближе-
ние нормальным распределением: z = 3,041, Р < 0,005. Разли-
чия статистически значимы. Распределение далеко от нормаль-
ного, noэтому параметрический критерий проигрывает в
чувствительности непараметрическому.
10.3. Н = 20,66; ν = 2, Р < 0,001. Различия статистически
значимы.
2
2
10.4. Задача 9.5:
χ
r
= 32,4 ; ν = 3; Р < 0,001. Задача 9.6:
χ
r
= 6,5;
k = 3; n = 4; Р = 0,042. Различия статистически значимы.
10.5. Т = 54; nб = 6; nб = 22; zT = -1,848; Р > 0,05.
10.6. Применим критерий Манна—Уитни с поправкой Йейт-
са: zT = 3,425; Р < 0,001. Различия статистически значимы.
10.7. Н = 18,36; n = 2; Р < 0,001. Различия групп статистичес-
ки значимы. Попарное сравнение с помощью критерия Данна
показывает следующее:
Сравнение групп
Q
P < 0,05
3 и 1
4,112
Да
3 и 2
2,229
Нет
2 и 1
0,975
Нет
Группы не распадаются на различающиеся категории, кроме
того, различия 2-й 1руппы (поражение только правой коронар-
ной артерии) и 3-й (поражение левой или обеих коронарных
452
ПРИЛОЖЕНИЕ В
артерий) статистически не значимы. Предполагавшееся диаг-
ностическое значение исследуемого показателя не доказано.
10.8. Да, критерий G ничем не хуже прочих (если не считать
проблемы: что делать, если показатель не изменился).
Для п = 4 распределение его значений таково:
G
Вероятность
0
1/16
1
4/16
2
6/16
3
4/16
4
1/16
Для случая п = 6:
G
Вероятность
0
1/64
1
6/64
2
15/64
3
20/64
4
15/64
5
6/64
6
1/64
При п = 4 вероятность получить даже самые маловероятные
значения — 0 или 64 составляет 1/16 + 1/16 = 1/8 = 0,125. В этом
случае мы не можем указать критическое значение для 5% уров-
ня значимости (обратите внимание, что при этой численности
группы критерий Уилкоксона тоже не даст результата). При п = 6
критические значения — 0 и 6, соответствующий уровень зна-
чимости 1/64 + 1/64 = 1/32 = 0,31.
11.1. Воспользуемся логранговым критерием. Сумма разнос-
тей ожидаемого и наблюдаемого числа смертей UL = -13,243, ее
стандартная ошибка
s
= 3,090. Таким образом, z = -4,285 (с
U
L
поправкой Йейтса z = -4,124). Различия выживаемости статисти-
чески значимы (Р < 0,001). Выживаемость приведена в таблице.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
453
Высокие оценки
Низкие оценки активности
Месяцы Выживаемость Месяцы Выживаемость
14
0,988
6
0,967
20
0,963
12
0,934
24
0,925
18
0,867
28
0,912
24
0,850
30
0,887
28
0,782
38
0,861
32
0,714
48
0,834
36
0,643
42
0,584
47
0,521
48
0,479
11.2. Выживаемость представлена в таблице.
95% доверительный интервал
Время,
Выжива-
Стандартная
нижняя
верхняя
месяцы
емость
ошибка
граница
граница
1
0,971
0,029
0,914
1,000
2
0,941
0,040
0,862
1,000
3
0,853
0,061
0,734
0,972
4
0,824
0,065
0,695
0,952
5
0,794
0,069
0,658
0,930
6
0,765
0,073
0,622
0,907
7
0,706
0,078
0,553
0,859
8
0,676
0,080
0,519
0,834
9
0,647
0,082
0,486
0,808
12
0,579
0,086
0,410
0,748
13
0,545
0,088
0,373
0,717
15
0,511
0,089
0,337
0,684
16
0,409
0,088
0,235
0,582
20
0,307
0,084
0,143
0,470
21
0,272
0,081
0,114
0,431
28
0,234
0,078
0,080
0,387
34
0,195
0,074
0,049
0,340
56
0,130
0,072
0,000
0,272
62
0,065
0,058
0,000
0,179
84
0,000
0,000
0,000
0,000
454
ПРИЛОЖЕНИЕ В
11.3. (а) Выживаемость и 95% доверительные интервалы
представлены в таблице.
95% доверительный интервал
Месяцы
Выживаемость
нижняя граница
верхняя граница
1975-1979 гг.
2
0,940
0,873
1,000
4
0,860
0,764
0,956
6
0,800
0,688
0,912
8
0,720
0,597
0,843
12
0,679
0,550
0,808
14
0,617
0,482
0,752
18
0,574
0,435
0,713
24
0,552
0,413
0,691
30
0,508
0,367
0,649
36
0,486
0,345
0,627
54
0,463
0,322
0,604
56
0,440
0,299
0,581
60
0,417
0,276
0,558
1980-1984 гг.
2
0,920
0,846
0,994
4
0,900
0,818
0,982
6
0,840
0,738
0,942
8
0,640
0,507
0,773
12
0,560
0,423
0,697
14
0,500
0,361
0,639
18
0,457
0,318
0,596
22
0,435
0,296
0,574
24
0,391
0,254
0,528
30
0,326
0,193
0,459
36
0,283
0,156
0,410
48
0,236
0,114
0,358
60
0,212
0,094
0,330
(б) Медиана выживаемости составила 36 мес в 1975—1979 гг.
и 14 мес в 1980—1984 гг. (в) Логранговый критерий дает z = -1,777
(с поправкой Йейтса z = -1,648), что ниже критического значе-
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
455
ния для α = 0,05; различия выживаемости статистически не зна-
чимы. (г) Чувствительность составляет 0,62. (д) Число смертей
104, суммарная численность групп 149 (для снижения S(∞) до
0,20); число смертей 65, суммарная численность групп 89 (для
снижения S(∞) до 0,15).