содержание .. 16 17 18 19 ..
Медико-биологическая статистика - часть 18
264
ГЛАВА 8
Таблица 8.6. Критические значения коэффициента ранговой
корреляции Спирмена
Уровень значимости α
n
0,50
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
0,005
0,002
0,001
4
0,600
1,000
1,000
5
0,500
0,800
0,900
1,000
1,000
6
0,371
0,657
0,829
0,886
0,943
1,000
1,000
7
0,321
0,571
0,714
0,786
0,893
0,929
0,964
1,000
1,000
8
0,310
0,524
0,643
0,738
0,833
0,881
0,905
0,952
0,976
9
0,267
0,483
0,600
0,700
0,783
0,833
0,867
0,917
0,933
10
0,248
0,455
0,564
0,648
0,745
0,794
0,830
0,879
0,903
11
0,236
0,427
0,536
0,618
0,709
0,755
0,800
0,845
0,873
12
0,217
0,406
0,503
0,587
0,678
0,727
0,769
0,818
0,846
13
0,209
0,385
0,484
0,560
0,648
0,703
0,747
0,791
0,824
14
0,200
0,367
0,464
0,538
0,626
0,679
0,723
0,771
0,802
15
0,189
0,354
0,446
0,521
0,604
0,654
0,700
0,750
0,779
16
0,182
0,341
0,429
0,503
0,582
0,635
0,679
0,729
0,762
17
0,176
0,328
0,414
0,485
0,566
0,615
0,662
0,713
0,748
18
0,170
0,317
0,401
0,472
0,550
0,600
0,643
0,695
0,728
19
0,165
0,309
0,391
0,460
0,535
0,584
0,628
0,677
0,712
20
0,161
0,299
0,380
0,447
0,520
0,570
0,612
0,662
0,696
21
0,156
0,292
0,370
0,435
0,508
0,556
0,599
0,648
0,681
22
0,152
0,284
0,361
0,425
0,496
0,544
0,586
0,634
0,667
23
0,148
0,278
0,353
0,415
0,486
0,532
0,573
0,622
0,654
24
0,144
0,271
0,344
0,406
0,476
0,521
0,562
0,610
0,642
25
0,142
0,265
0,337
0,398
0,466
0,511
0,551
0,598
0,630
26
0,138
0,259
0,331
0,390
0,457
0,501
0,541
0,587
0,619
27
0,136
0,255
0,324
0,382
0,448
0,491
0,531
0,577
0,608
28
0,133
0,250
0,317
0,375
0,440
0,483
0.522
0,567
0,598
29
0,130
0,245
0,312
0,368
0,433
0,475
0,513
0,558
0,589
30
0,128
0,240
0,306
0,362
0,425
0,467
0,504
0,549
0,580
31
0,126
0,236
0,301
0,356
0,418
0,459
0,496
0,541
0,571
32
0,124
0,232
0,296
0,350
0,412
0,452
0,489
0,533
0,563
33
0,121
0,229
0,291
0,345
0,405
0,446
0,482
0,525
0,554
34
0,120
0,225
0,287
0,340
0,399
0,439
0,475
0,517
0,547
35
0,118
0,222
0,283
0,335
0,394
0,433
0,468
0,510
0,539
36
0,116
0,219
0,279
0,330
0,388
0,427
0,462
0,504
0,533
37
0,114
0,216
0,275
0,325
0,383
0,421
0,456
0,497
0,526
38
0,113
0,212
0,271
0,321
0,378
0,415
0,450
0,491
0,519
39
0,111
0,210
0,267
0,317
0,373
0,410
0,444
0,485
0,513
40
0,110
0,207
0,264
0,313
0,368
0,405
0,439
0,479
0,507
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ
265
Таблица 8.6. Окончание
Уровень значимости α
n
0,50
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
0,005
0,002
0,001
41
0,108
0,204
0,261
0,309
0,364
0,400
0,433
0,473
0,501
42
0,107
0,202
0,257
0,305
0,359
0,395
0,428
0,468
0,495
43
0,105
0,199
0,254
0,301
0,355
0,391
0,423
0,463
0,490
44
0,104
0,197
0,251
0,298
0,351
0,386
0,419
0,458
0,484
45
0,103
0,194
0,248
0,294
0,347
0,382
0,414
0,453
0,479
46
0,102
0,192
0,246
0,291
0,343
0,378
0,410
0,448
0,474
47
0,101
0,190
0,243
0,288
0,340
0,374
0,405
0,443
0,469
48
0,100
0,188
0,240
0,285
0,336
0,370
0,401
0,439
0,465
49
0,098
0,186
0,238
0,282
0,333
0,366
0,397
0,434
0,460
50
0,097
0,184
0,235
0,279
0,329
0,363
0,393
0,430
0,456
Если объем выборки больше 50, нужно применить критерий
Стыодента:
r
s
t
=
2
1−r
s
n−2
с числом степеней свободы ν = n - 2.
В данном случае связь веса и роста можно было установить
и без помощи коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Применение обычного коэффициента корреляции, как мы ви-
дели, приводит к тем же результатам.
Сколько лабораторных анализов нужно врачу?
В первые дни пребывания в больнице больному обычно делают
множество дорогостоящих анализов. Все ли из них необходимы?
Шредер с коллегами* попытались, анализируя работу 21 врача,
выяснить, существует ли связь между квалификацией врача и
стоимостью необходимых ему анализов. Прежде всего, специ-
альная комиссия оценила квалификацию каждого врача. Каж-
дому из врачей присвоили ранг от 1 (лучшая квалификация) до
* S. A. Schroeder, A. Schliftman, Т. Е. Piemine. Variation among physici-
ans in use of laboratory tests: relation to quality of care. Med. Care, 12:
709-713, 1974.
266
ГЛАВА 8
21 (худшая квалификация). Затем была подсчитана средняя сто-
имость анализов, которые потребовались каждому из врачей за
первые 3 суток пребывания больного в клинике. Эти данные
упорядочили по возрастанию; наименьшей стоимости присвои-
ли ранг 1, наибольшей — 21.
В результате каждому врачу была присвоена пара рангов —
ранг по шкале квалификации и ранг по шкале расходов. Эти
пары представлены на рис. 8.13. Остается выяснить связь меж-
ду квалификацией врача и величиной расходов на необходимые
ему анализы. Вычислив коэффициент Спирмена, получим все-
го лишь rs = -0,13. Абсолютная величина rs оказалась меньше
критического значения даже при уровне значимости α = 0,05
(критическое значение r0,05 = 0,435).
Однако значит ли это, что не существует связи между квали-
фикацией врача и затратами на анализы? Нет. Связь существу-
ет, но она не линейная. Присмотревшись к рис. 8.13, можно заме-
тить, что самыми дешевыми анализы были у лучших и... худ-
ших врачей. И тем и другим, чтобы уверенно судить о болезни,
не требуется много анализов. Причем, похоже, большей уверен-
ностью отличаются именно худшие специалисты.
Но почему эта связь не была уловлена коэффициентом кор-
реляции? Исключительно из-за ее нелинейной формы. Ни один
из коэффициентов корреляции не сможет уловить зависимость,
график которой — перевернутая U-образная кривая с рис. 8.13.
Этот пример показьюает, что, прежде чем применять какие-
либо методы анализа связей, следует примерно определить, ка-
кой может быть форма зависимости. Лучший способ для этого —
просто нарисовать график, подобный изображенному на рис. 8.13.
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ
Как уже говорилось, из статистической значимости коэффи-
циента корреляции вытекает статистическая значимость коэф-
фициента наклона. Ограничимся поэтому вычислением чувст-
вительности коэффициента корреляции.
Можно показать, что величина
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ
267
Рис. 8.13. А. Квалификация врача и стоимость анализов, которые он назначает больно-
му в первые 3 дня госпитализации. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена —
всего лишь -0,13. Можно было бы заключить, что стоимость анализов от квалифика-
ции никак не зависит. Б. Приглядевшись к данным повнимательнее, можно заметить,
что зависимость на самом деле есть, только не линейная, а похожая на перевернутую
букву U. Расходы на анализы выше у врачей средней квалификации, у наиболее и наи-
менее квалифицированных врачей расходы ниже.
268
ГЛАВА 8
1
1+
r
Z
=
ln
2
1−r
имеет нормальное распределение со стандартным отклонением
1
σ
Z
=
n−3
Тогда величина
Z
z=
σ
Z
в отсутствие корреляции имеет стандартное нормальное рас-
пределение со средним, равным нулю. Обозначим истинное зна-
чение коэффициента корреляции ρ (греческая «ро»). Тогда сред-
ним значением z будет
Zρ σ
Z
, где
1
1+ρ
Zρ
=
ln
2
1−ρ
Найдем, какой должна быть чувствительность, чтобы по вы-
борке объемом 10 при уровне значимости 0,05 обнаружить кор-
реляцию ρ, не меньшую 0,9. На рис. 8.14 приведены два распре-
деления z — для нулевого коэффициента корреляции и истин-
ного, равного ρ. (Заметьте, насколько этот этот рисунок похож
на рис. 6.7.) Чувствительность равна площади под истинной
кривой распределения z справа от критического значения zα.
Вычислим
1
1+ρ
1
1+ 0,9
Zρ
=
ln
=
ln
=1, 472
2
1−ρ
2
1−0,9
и
1
σ
Z
=
=
0,378.
n−3
Уровню значимости α = 0,05 соответствует критическое зна-
чение zα = 1,960. Центром распределения z является
Zρ σ
=
Z
= 1,472/0,378 = 3,894. От этого центра критическое значение zα от-
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ
269
Рис. 8.14. Чувствительность выявления корреляции ρ = 0,9 при объеме выборки n = 10
и уровне значимости α = 0,05.
стоит на 1,960 - 3,894 = -1,934 стандартных отклонения. Из табл.
6.4 находим, что площадь части стандартного нормального рас-
пределения, расположенной правее -1,934 стандартного от-
клонения от центра, составляет примерно 0,97. То есть искомая
чувствительность равна 97%.
Итак, чувствительность 1 - β, необходимая для обнаруже-
ния корреляции, не меньшей ρ, при уровне значимости α и при
объеме выборки п равна площади под кривой стандартного
нормального распределения правее точки
Z
ρ
z
1−β
=
z
α
−
1
n−3
Эта формула для нахождения чувствительности по известно-
му объему выборки. Если нужно найти объем выборки, при ко-
тором достигалась бы чувствительность 1 - ρ, то, разрешив это
уравнение относительно п, получим:
z
−
z
α
1−β
n
=
3.
+
Z
ρ
270
ГЛАВА 8
СРАВНЕНИЕ ДВУХ СПОСОБОВ ИЗМЕРЕНИЯ: МЕТОД
БЛЭНДА—АЛТМАНА
Нередко требуется сравнить результаты измерений, выполнен-
ных двумя методами, ни один из которых не является абсолют-
но надежным. Например, некий гемодинамический показатель
определяли непрямым, неинвазивным, методом. Допустим, изо-
бретен новый метод, также непрямой. Естественно выяснить,
согласуются ли результаты измерений, выполненных старым и
новым методами. Или похожий вопрос — насколько согласова-
ны результаты повторных измерений, выполненных одним и тем
же методом.
Итак, с помощью двух методов получены две серии измере-
ний. Казалось бы, ничто не мешает применить регрессионный
анализ или рассчитать коэффициент корреляции. Увы, эти, на
первый взгляд, очевидные действия могут привести к ложными
выводами.
Регрессионный анализ неприменим уже потому, что его ре-
зультаты зависят от того, какую переменную считать незави-
симой, а какую зависимой. Тут следует подчеркнуть отличие
задачи сравнения двух методов измерения от задачи калибров-
ки, в которой приближенные измерения сравниваются с некото-
рым эталоном. Типичный пример калибровки: приготовив ряд
растворов известной концентрации, измерить ее исследуемым
методом. Здесь регрессионный анализ вполне применим,
поскольку эталон — достоверно известная концентрация —
очевидным образом и является независимой переменной. На-
против, при сравнении результатов двух приближенных мето-
дов никакого эталона нет.
Что может дать коэффициент корреляции? Положим, он ста-
тистически значимо отличается от нуля. Но ценен ли этот факт?
Нет, ведь проверялась корреляция измерений одной и той же
величины. В этом случае удивления было бы достойно как раз
отсутствие значимой корреляции, говорящее о том, что резуль-
таты, как минимум, одного из методов нимало не схожи с истин-
ными значениями измеряемого признака. Это практически ис-
ключено. Кроме того, как мы видели, даже весьма высоким ко-
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ
271
эффициентам корреляции соответствует довольно значительная
неопределенность предсказания зависимой переменной.
Д. Блэнд и Дж. Алтман предложили описательный метод
оценки согласованности измерений, выполненных двумя спо-
собами*. Идея метода очень проста. Для каждой — выполнен-
ной одним и другим способами — пары измерений вычислим
их разность. Найдем среднюю величину и стандартное откло-
нение разности. Средняя разность характеризует системати-
ческое расхождение, а стандартное отклонение — степень раз-
броса результатов. Далее, если в качестве оценки измеряемого
признака взять среднее значение пары измерений, то можно
определить, зависит ли расхождение от величины признака.
Последнее станет понятнее после того, как мы разберем при-
мер применения метода Блэнда—Алтмана.
Два способа оценки митральной регургитации
Вспомним схему кровообращения. Из правого желудочка кровь
поступает в легкие, где насыщается кислородом. Из легких кровь
попадает в левое предсердие, затем — в левый желудочек. Отсю-
да кровь перекачивается по всему телу, снабжая органы кислоро-
дом, после чего попадает в правое предсердие и вновь в правый
желудочек. Митральный клапан, расположенный между левым
предсердием и левым желудочком, при сокращении желудочка
закрывается и преграждает крови путь обратно в предсердие.
При митральной недостаточности возникает так называемая
митральная регургитация: часть крови при сокращении левого
желудочка выбрасывается в предсердие. В результате легкие пе-
реполняются кровью, что затрудняет их работу. Если мит-
ральная регургитация слишком велика, клапан необходимо за-
менять искусственным, — вот почему ее количественная оценка
чрезвычайно важна. Такой оценкой служит фракция регургита-
ции — доля крови, которая при каждом сокращении выбрасыва-
* Более подробное изложение этой процедуры можно найти в статьях:
D. G. Altman and J. M. Bland. Measurement in medicine: the analysis of
method comparison studies. Statistician, 32:307—317,1983 и J. M. Bland
and D. G. Altman. Statistical methods for assessing agreement between two
measures of clinical measurement. Lancet, 1(8476):307—310, 1986.
272
ГЛАВА 8
Таблица 8.7. Фракция митральной регургитации по данным ка-
тетеризации сердца и допплеровского исследования
Допплеровское
Среднее
исследование
Катетеризация
Разность
значение
0,49
0,62
-0,13
0,56
0,83
0,72
0,11
0,78
0,71
0,63
0,08
0,67
0,38
0,61
-0,23
0,50
0,57
0,49
0,08
0,53
0,68
0,79
-0,11
0,74
0,69
0,72
-0,03
0,71
0,07
0,11
-0,04
0,09
0,75
0,66
0,09
0,71
0,52
0,74
-0,22
0,63
0,78
0,83
-0,05
0,81
0,71
0,66
0,05
0,69
0,16
0,34
0,18
0,25
0,33
0,50
-0,17
0,42
0,57
0,62
-0,05
0,60
0,11
0,00
0,11
0,06
0,43
0,45
-0,02
0,44
0,11
0,06
0,05
0,85
0,31
0,46
-0,15
0,39
0,20
0,03
0,17
0,12
0,47
0,50
-0,03
0,49
ется из левого желудочка в левое предсердие. В норме фракция
регургитации равна нулю; чем тяжелее митральная недостаточ-
ность, тем более фракция регургитации приближается к еди-
нице.
Фракцию регургитации можно определить с помощью ка-
тетеризации сердца. В левый желудочек вводят катетер, а через
него — рентгеноконтрастный препарат. Наблюдая за его рас-
пространением, можно определить, какая доля крови выбра-
сывается в левое предсердие. Описанный способ трудно назвать
приятным, дешевым и безопасным.
Э. Мак-Исаак с соавт. предложили определять фракцию ре-
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ
273
Рис. 8.15. А. Фракция митральной регургитации при измерении прямым методом
и по данным допплеровского исследования. Б. Сравнение результатов по методу
Блэнда—Алтмана.
274
ГЛАВА 8
гургитации с помощью допплеровского исследования*. Этот
способ значительно проще и вполне безопасен. Насколько со-
гласуются оценки, полученные двумя способами? Фракцию ре-
гургитации обоими способами определили у 21 человека. Ре-
зультаты приведены на рис. 8.15А и в табл. 8.7. Коэффициент
корреляции между измерениями, выполненными обоими спо-
собами, составил 0,89. Высокое значение коэффициента корре-
ляции говорит о тесной линейной связи, однако для оценки со-
гласованности этого недостаточно.
Помимо самих измерений в табл. 8.7 приведены усреднен-
ные по каждому больному значения фракции регургитации и
разности этих долей. На рис. 8.15Б изображены разности долей
для каждого усредненного значения. Такое представление позво-
ляет сделать ряд выводов. Во-первых, средняя разность между
измерениями равна всего лишь -0,03, что говорит об отсутствии
систематического расхождения. Во-вторых, стандартное откло-
нение разностей составило 0,12, что невелико по сравнению с
самими значениями. В-третьих, отсутствует зависимость раз-
ности измерений от величины фракции регургитации. Таким
образом, измерения, полученные обоими способами, хорошо со-
гласуются друг с другом.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы рассмотрели методы, предназначенные для оценки связи
между двумя признаками. Успех применения этих методов опре-
деляется тем, насколько математическая модель, лежащая в их
основе, соответствует действительности. Особенно важна фор-
ма зависимости — она должна быть линейной. Поэтому, перед
тем как приступить к расчетам, нанесите данные на график —
это поможет вам правильно выбрать статистический метод (или
отказаться от применения любого из них).
* A. I. MacIsaac, I. G. McDonald, R. L. G. Kirsner, S. A. Graham, R. W. Gill
Quantification of mitral regurgitation by integrated Doppler backscattei power.
J. Am. Coll. Cardioi, 24:690-695, 1994.
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ
275
ЗАДАЧИ
8.1. Постройте графики для приведенных наборов данных.
Найдите для линии регрессии и коэффициенты корреляции.
X
Y
X
Y
X
Y
30
37
30
37
30
37
30
47
30
47
30
47
40
50
40
50
40
50
40
60
40
60
40
60
20
25
20
25
20
35
20
35
50
62
50
62
50
72
50
72
10
13
10
23
60
74
60
84
Нанесите данные и прямые регрессии на графики. Что в этих
трех случаях общего, в чем различия?
8.2. Постройте графики для двух наборов данных. Найдите
для каждого линию регрессии и коэффициент корреляции.
X
Y
X
Y
15
19
20
21
15
29
20
31
20
25
30
18
20
35
30
28
25
31
40
15
25
41
40
25
30
37
40
75
30
47
40
85
60
40
50
65
50
75
60
55
60
65
276
ГЛАВА 8
Нанесите полученные прямые регрессии на графики с исход-
ными данными. Обсудите результаты.
8.3. На рис. 8.16 и в таблице под ним представлены результа-
ты четырех экспериментов. Вычислите для каждого экспери-
мента коэффициенты линейной регрессии и коэффициент кор-
реляции. В чем сходство и различие результатов эксперимен-
тов? Проверьте, выполняются ли условия применимости рег-
рессионного анализа.
8.4. Исследуя проницаемость сосудов сетчатки, Дж. Фиш-
ман и соавт. (G. A. Fishman et al. Blood-retinal barrier function in
patients with cone or cone-rod dystrophy. Arch. Ophthalmoi,
104:545—548, 1986) решили выяснить, связан ли этот показа-
тель с электрической активностью сетчатки. Позволяют ли по-
лученные данные говорить о существовании связи?
Проницаемость сосудов
Электрическая активность
сетчатки
сетчатки
19,5
0,0
15,0
38,5
13,5
59,0
23,3
97,4
6,3
119,2
2,5
129,5
13,0
198,7
1,8
248,7
6,5
318,0
1,8
438,5
8.5. Наиболее точную оценку объема левого желудочка дает
рентгеноконтрастная вентрикулография — метод, требующий ка-
тетеризации сердца, а потому дорогой и небезопасный. Продол-
жается поиск методов, не требующих катетеризации. Р. Слуцкий*
и соавт. (R. Slutsky et al. Left ventricular volumes by gated equilibrium
* Роберт Слуцкий был обвинен в подтасовке данных, и ряд его работ объяв-
лен фальсификацией. Принадлежит ли цитируемая статья к их числу, мне
неизвестно. Как бы то ни было, мы рассматриваем данные исключитель-
но в учебных целях. Интересующиеся судьбой работ Слуцкого могут об-
ратиться в Калифорнийский университет в Сан-Диего.
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ
277
Рис. 8.16. К задаче 8.3.
Эксперимент А Эксперимент Б Эксперимент В Эксперимент Г
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
10
8,04
10
9,14
10
7,46
8
6,58
8
6,95
8
8,14
8
6,77
8
5,76
13
7,58
13
8,74
13
12,74
8
7,71
9
8,81
9
8,77
9
7,11
8
8,84
11
8,33
11
9,26
11
7,81
8
8,47
14
9,96
14
8,10
14
8,84
8
7,04
6
7,24
6
6,13
6
6,08
8
5,25
4
4,26
4
3,10
4
5,39
19
12,50
12
10,84
12
9,13
12
8,15
8
5,56
7
4,82
7
7,26
7
6,42
8
7,91
5
5,68
5
4,74
5
5,73
8
6,89
278
ГЛАВА 8
radionuclide angiography method. Circulation, 60:556—564, 1979)
исследовали метод оценки объема левого желудочка по данным изо-
топной вентрикулографии с внутривенным введением изотопа.
Конечно-диастолический объем
Конечно-систолический объем
Изотопная
Рентгенокон-
Изотопная
Рентгенокон-
вентрикуло-
трастная вентри-
вентрикуло-
трастная вентри-
графия
кулография
графия
кулография
75
101
35
47
48
75
30
35
126
126
52
49
93
106
23
23
201
195
103
88
260
265
182
173
40
60
14
12
293
288
166
163
95
94
27
29
58
67
24
25
91
81
50
25
182
168
139
131
91
89
50
49
88
102
40
44
161
150
57
60
118
94
41
18
120
129
48
40
Хорошо ли согласуются результаты?
8.6. Азотистый баланс — разность между количеством азо-
та, который попадает в организм с пищей, и количеством азота,
выводимого из организма, — важный показатель полноценно-
сти питания. Отрицательный азотистый баланс свидетельству-
ет о том, что организм не получает достаточно белка. Нормы
суточного потребления белка, рекомендуемые Всемирной
организацией здравоохранения и Японским комитетом питания,
рассчитаны главным образом на мужчин. Целью исследования
К. Канеко и Г. Койке (К. Kaneko, G. Koike. Utilization and requi-
rement of egg protein in Japanese women. J. Nutr. Sci. Vitaminol.
(Tokyo), 31:43—52, 1985) было определить количество белка в
содержание .. 16 17 18 19 ..