содержание .. 15 16 17 18 ..

Медико-биологическая статистика - часть 17

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ

249

Таблица 8.2. Зависимость силы сжатия кисти от мышечной массы

Объединенная

1-я группа 2-я группа группа

Численность группы

Коэффициенты регрессии

сдвиг а(sa)

3,3(22,4)

-7,3(25,3)

-23,1(50,5)

наклон b(sb)

2,41(0,702)

10,19(0,789)

6,39(1,579)

Остаточное стандартное

отклонение sx|y

40,5

45,7

129,1

сии. Параметры уравнений регрессии и остаточные стандарт-

ные отклонения указаны в табл. 8.2. Вычислим объединенную

оценку остаточной дисперсии

(

−2

)

(

−2

)

y|x

общ

−4

где n1 и n2 — численность 1-й и 2-й групп,

— соответст-

y|x

вующие остаточные дисперсии. Тогда

(

25−2

)

40,5

(

25−2

)

45, 7

y|x

=1864.

общ

25+

25−4

Теперь объединим группы и найдем уравнение регрессии для

получившейся группы. Опустим вычисления, результат приве-

ден в табл. 8.2. Линия регрессии изображена на рис. 8.9Б. Оста-

точная дисперсия единой регрессии

= 129,12 = 16667. Вы-

y|x

един

игрыш от использования раздельных регрессий:

(

−2

)

−

(

−4

)

y|x

един

y|x

общ

y|x

(

25+

25−2

)

16667

−

(

25+

25−4

)

1864

357136.

Значение F:

y|x

357136

=191,596.

1864

y|x

общ

250

ГЛАВА 8

Критическое значение F при уровне значимости α = 0,011 и

числе степеней свободы νмеж = 2 и νвну = 25 + 25 - 4 равно 5,10, то

есть гораздо меньше полученного нами. Таким образом, у здо-

ро вых людей сила сжатия зависит от размера предплечья иначе

чем у больных артритом.

В чем заключается отличие? Сравним коэффициенты регрес-

сий. Начнем с коэффициента сдвига а.

22, 4

+25,3

=33,8.

−a

Тогда

−a

3,3−

(

−7,3

)

0,314.

33,8

−a

При уровне значимости α = 0,05 при числе степеней свобо-

ды ν = n1 + п2 - 4 = 46 критическое значение t равно 2,013.

Поскольку полученное нами значение t меньше критического,

заключаем, что между а1 и а2 нет значимого различия.

При сравнении коэффициентов наклона получим t = 7,367,

что больше критического. Итак, линии регрессии различаются

наклоном, который круче в группе здоровых.

КОРРЕЛЯЦИЯ

Регрессионный анализ позволяет оценить, как одна переменная

зависит от другой и каков разброс значений зависимой перемен-

ной вокруг прямой, определяющей зависимость. Эти оценки и

соответствующие доверительные интервалы позволяют пред-

сказать значение зависимой переменной и определить точность

этого предсказания. Результаты регрессионного анализа можно

представить только в достаточно сложной цифровой или гра-

фической форме. Однако нас часто интересует не предсказание

значения одной переменной по значению другой, а просто ха-

рактеристика тесноты (силы) связи между ними, при этом выра-

женная одним числом.

Эта характеристика называется коэффициентом корреляции,

обычно ее обозначают буквой r. Коэффициент корреляции МО-

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ

251

РИС. 8.10. Чем теснее связь между переменными, тем ближе абсолютная величина ко-

эффициента корреляции к 1.

жет принимать значения от -1 до +1. Знак коэффициента корре-

ляции показывает направление связи (прямая или обратная), а

абсолютная величина — тесноту связи. Коэффициент, равный

-1, определяет столь же жесткую связь, что и равный 1. В отсутст-

вие связи коэффициент корреляции равен нулю.

На рис. 8.10 приведены примеры зависимостей и соответст-

вующие им значения r. Мы рассмотрим два коэффициента кор-

реляции.

Коэффициент корреляции Пирсона предназначен для описа-

ния линейной связи количественных признаков; как и регресси-

252

ГЛАВА 8

онный анализ, он требует нормальности распределения. Когда

говорят просто о «коэффициенте корреляции», почти всегда име-

ют в виду коэффициент корреляции Пирсона, именно так мы и

будем поступать.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена можно использо-

вать, когда связь нелинейна — и не только для количественных, но

и для порядковых признаков. Это непараметрический метод, он не

требует какого-либо определенного типа распределения.

О количественных, качественных и порядковых признаках

мы уже говорили в гл. 5. Количественные признаки — это обыч-

ные числовые данные, такие, как рост, вес, температура. Зна-

чения количественного признака можно сравнить между собой

и сказать, какое из них больше, на сколько и во сколько раз. На-

пример, если один марсианин весит 15 г, а другой 10, то первый

тяжелее второго и в полтора раза и на 5 г. Значения порядкового

признака тоже можно сравнить, сказав, какое из них больше, но

нельзя сказать, ни на сколько, ни во сколько раз. В медицине

порядковые признаки встречаются довольно часто. Например,

результаты исследования влагалищного мазка по Папаниколау

оценивают по такой шкале: 1) норма, 2) легкая дисплазия, 3)

умеренная дисплазия, 4) тяжелая дисплазия, 5) рак in situ. И ко-

личественные, и порядковые признаки можно расположить по

порядку — на этом общем свойстве основана большая группа

непараметрических критериев, к которым относится и коэффи-

циент ранговой корреляции Спирмена. С другими непараметри-

ческими критериями мы познакомимся в гл. 10.

Коэффициент корреляции Пирсона

И все же, почему для описания тесноты связи нельзя воспользо-

ваться регрессионным анализом? В качестве меры тесноты связи

можно было бы использовать остаточное стандартное отклоне-

ние. Однако если поменять местами зависимую и независимую

переменные, то остаточное стандартное отклонение, как и дру-

гие показатели регрессионного анализа, будет иным. Взглянем

на рис. 8.11. По известной нам выборке из 10 марсиан построены

две линии регрессии. В одном случае вес — зависимая перемен-

ная, во втором — независимая. Линии регрессии заметно разли-

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ

253

Рис. 8.11. Если поменять местами х и у, уравнение регрессии получится другим, а коэф-

фициент корреляции останется прежним.

254

ГЛАВА 8

чаются. Получается, что связь роста с весом одна, а веса с рос-

том — другая. Асимметричность регрессионного анализа — вот

что мешает непосредственно использовать его для характери-

стики силы связи. Коэффициент корреляции, хотя его идея вы-

текает из регрессионного анализа, свободен от этого недостат-

ка. Приводим формулу.

∑

(

X −X

)(

Y −Y

)

∑

(

X −X

)

∑

(

Y −Y

)

где X и Y — средние значения переменных X и Y. Выражение

для r «симметрично» —поменяв местами X и Y, мы получим ту

же величину. Коэффициент корреляции принимает значения от

-1 до +1. Чем теснее связь, тем больше абсолютная величина

коэффициента корреляции. Знак показывает направление свя-

зи. При r > 0 говорят о прямой корреляции (с увеличением од-

ной переменной другая также возрастает), при r < 0 — об обрат-

ной (с увеличением одной переменной другая уменьшается). Вер-

немся к рис. 8.10. На рис. 8.10А изображена максимально силь-

ная прямая корреляция: r = +1. На рис. 8.10Б — максимально

сильная обратная корреляция: r = -1. На рис. 8.10В корреляция

прямая, тоже достаточно сильная: r = 0,8. Наконец, на рис. 8.10Г

какая-либо связь между признаками отсутствует: r = 0.

Возьмем пример с 10 марсианами, который мы уже рассматрива-

ли с точки зрения регрессионного анализа. Вычислим коэффици-

ент корреляции. Исходные данные и промежуточные результаты вы-

числений приведены в табл. 8.3. Объем выборки n = 10, средний рост

X = ∑ X n=36910=36,9 и вес Y = ∑ Y n=103,8 10=10,38.

Находим Σ(X- X )(Y- Y ) = 99,9, Σ(X- X )2 = 224,8, Σ(Y - Y )2 = 51,9.

Подставим полученные значения в формулу для коэффици-

ента корреляции:

99,9

0,925.

224,8×51,9

Величина r близка к 1, что говорит о тесной связи роста и

веса. Чтобы лучше представить себе, какой коэффициент корреля-

ции следует считать большим, а какой незначительным, взгляни-

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ

255

Таблица 8.3. Вычисление коэффициента корреляции

Y Х - X Y -Y

(X - X )(Y - Y )

(Х - X )2 (Y - Y )2

7,8

-5,9

-2,6

15,3

34,8

6,8

8,3

-4,9

-2,1

10,3

24,0

4,4

7,6

-3,9

-2,8

10,9

15,2

7,8

9,1

-2,9

-1,3

3,8

8,4

1,7

9,6

-1,9

-0,8

1,5

3,6

0,6

9,8

-1,9

-0,6

1,1

3,6

0,4

11,8

3,1

1,4

4,3

9,6

2,0

12,1

4,1

1,7

7,0

16,8

2,9

14,7

5,1

4,3

22,0

26,0

18,5

13,0

9,1

2,6

23,7

82,8

6,8

369

103,8

0,0

0,2

99,9

224,8

51,9

те на табл. 8.4 — в ней приведены коэффициенты корреляции

для примеров, которые мы разбирали ранее.

Связь регрессии и корреляции

Все примеры коэффициентов корреляции (табл. 8.4) мы перво-

начально использовали для построения линий регрессии. Дей-

ствительно, между коэффициентом корреляции и параметрами

регрессионного анализа существует тесная связь, которую мы

сейчас продемонстрируем. Разные способы представления ко-

эффициента корреляции, которые мы при этом получим, позво-

лят лучше понять смысл этого показателя.

Вспомним, что уравнение регрессии строится так, чтобы ми-

нимизировать сумму квадратов отклонений от линии регрессии.

Таблица 8.4. Примеры корреляций

Пример

Коэффициент Объем

корреляции r выборки п

Рост и вес марсиан (рис. 8.7)

0,925

Сила сжатия кисти и мышечная масса у 0,938

здоровых (рис. 8.9А)

Сила сжатия кисти и мышечная масса,

0,581

объединенная группа (рис. 8.9Б)

256

ГЛАВА 8

Обозначим эту минимальную сумму квадратов Sост (эту вели-

чину называют остаточной суммой квадратов). Сумму квадра-

тов отклонений значений зависимой переменной Y от ее сред-

него Y обозначим Sобщ. Тогда:

ост

=1−

общ

Величина r2 называется коэффициентом детерминации —

это просто квадрат коэффициента корреляции. Коэффициент де-

терминации показывает силу связи, но не ее направленность.

Из приведенной формулы видно, что если значения зависи-

мой переменной лежат на прямой регрессии, то Sост = 0, и тем

самым r = +1 или r = -1, то есть существует линейная связь

зависимой и независимой переменной. По любому значению

независимой переменной можно совершенно точно предсказать

значение зависимой переменной. Напротив, если переменные

вообще не связаны между собой, то Sост = Sобщ. Тогда r = 0.

Видно также, что коэффициент детерминации равен той доле

общей дисперсии Sобщ, которая обусловлена или, как говорят,

объясняется линейной регрессией*.

Остаточная сумма квадратов Sост связана с остаточной дис-

персией

соотношением Sост = (п - 2)s

, а общая сумма квад-

y|x

ратов Sобщ с дисперсией

соотношением Sобщ = (п - 1)s2. В

таком случае

n−2

=1−

n−1

Эта формула позволяет судить о зависимости коэффициента

корреляции от доли остаточной дисперсии в полной дисперсии

. Чем эта доля меньше, тем больше (по абсолютной ве-

y|x

личине) коэффициент корреляции, и наоборот.

Мы убедились, что коэффициент корреляции отражает тес-

ноту линейной связи переменных. Однако если речь идет о пред-

сказании значения одной переменной по значению другой, на

* Следует помнить, что в статистике слова «обусловлена» и «объясняется»

не обязательно означают причинную связь.

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ

257

коэффициент корреляции не следует слишком полагаться. На-

пример, данным на рис. 8.7 соответствует весьма высокий коэф-

фициент корреляции (r = 0,92), однако ширина доверительной

области значений показывает, что неопределенность предсказа-

ния довольно значительна. Поэтому даже при большом коэффи-

циенте корреляции обязательно вычислите доверительную об-

ласть значений.

И под конец приведем соотношение коэффициента корреля-

ции и коэффициента наклона прямой регрессии b:

r =b

где b — коэффициент наклона прямой регрессии, sX и sY — стан-

дартные отклонения переменных.

Если не брать во внимание случай sX = 0, то коэффициент

корреляции равен нулю тогда и только тогда, когда b = 0. Этим

фактом мы сейчас и воспользуемся для оценки статистической

значимости корреляции.

Статистическая значимость корреляции

Поскольку из b = 0 следует r = 0, гипотеза об отсутствии корреля-

ции равнозначна гипотезе о нулевом наклоне прямой регрес-

сии. Поэтому для оценки статистической значимости корреля-

ции можно воспользоваться уже известной нам формулой для

оценки статистической значимости отличия b от нуля:

Здесь число степеней свободы ν = n - 2. Однако если коэф-

фициент корреляции уже вычислен, удобнее воспользоваться

формулой:

1−r

n−2

Число степеней свободы здесь также ν = п - 2.

258

ГЛАВА 8

При внешнем несходстве двух формул для t, они тождест-

венны. Действительно, из того, что

n−2

=1−

n−1

следует

n−2

1−r

y|x

(

)

n−1

Подставив значение

в формулу для стандартной ошибки

y|x

n−1

получим

1−r

n−2

С другой стороны, поскольку

r =b

имеем

b=r

Теперь подставим выражения для sb и b в формулу

t=b s

Получим:

1−r

n−2

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ

259

Животный жир и рак молочной железы

В опытах на лабораторных животных показано, что высокое со-

держание животного жира в рационе повышает риск рака мо-

лочной железы. Наблюдается ли эта зависимость у людей? К.

Кэррол* собрал данные о потреблении животных жиров и

смертности от рака молочной железы по 39 странам. Результат

представлен на рис. 8.12А. Коэффициент корреляции между

потреблением животных жиров и смертностью от рака молоч-

ной железы оказался равен 0,90. Оценим статистическую зна-

чимость корреляции.

0,90

=12,56.

1−0,90

39−2

Критическое значение t0,001 при числе степеней свободы ν =

39 - 2 = 37 равно 3,574, то есть меньше полученного нами. Та-

ким образом, при уровне значимости 0,001 можно утверждать,

что существует корреляция между потреблением животных жи-

ров и смертностью от рака молочной железы.

Теперь проверим, связана ли смертность с потреблением рас-

тительных жиров? Соответствующие данные приведены на рис.

8.12Б. Коэффициент корреляции равен 0,15. Тогда

0,15

0,92.

1−0,15

39−2

Даже при уровне значимости 0,10 вычисленное значение t

меньше критического. Корреляция статистически не значима.

Таким образом, риск рака молочной железы статистически

значимо связан с потреблением животных, но не растительных

жиров. Значит ли это, что животный жир способствует развитию

рака молочной железы? Пока нет. Ведь обе рассматриваемые пе-

ременные могут зависеть от какой-то третьей. В обсервацион-

* К. К. Carroll. Experimental evidence of dietary factors and hormone-dependent

cancers. Cancer Res., 35:3375—3383,1975.

260

ГЛАВА 8

Рис. 8.12. Смертность от рака молочной железы и потребление жиров на душу населе-

ния в разных странах. А. Потребление животных жиров. Б. Потребление растительных

жиров. Связь смертности с потреблением животных жиров достаточно отчетлива, чего

не скажешь о связи с потреблением растительных жиров.

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ

261

ном исследовании, каковым является работа Кэррола, такую

возможность отвергнуть нельзя*. Однако экспериментальные

данные, о которых мы упомянули выше, — сильный аргумент в

пользу именно причинно-следственной связи.

Вообще истолкование результатов регрессионного и корре-

ляционного анализа зависит от того, в каком исследовании были

получены данные — обсервационном или экспериментальном.

Если мы обнаружили связь переменных в обсервационном ис-

следовании, то это не значит, что одна из них влияет на другую.

Возможно, их согласованные изменения — результат действия

какого-то неизвестного нам фактора. В экспериментальном ис-

следовании, произвольно меняя одну из переменных, мы мо-

жем быть уверены, что связь, если она будет выявлена, является

причинной. Впрочем, осторожность не помешает и в этом слу-

чае. В самом деле, трудно менять только одну переменную. Уве-

личивая содержание жира в рационе, мы либо увеличиваем об-

щую калорийность, либо снижаем содержание белков и углево-

дов. Кто поручится, что канцерогенное действие оказывает имен-

но жир, а не дисбаланс питательных веществ?

КОЭФФИЦИЕНТ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ СПИРМЕНА

Расчет коэффициента корреляции возможен при тех же услови-

ях, что и регрессионный анализ. Это прежде всего линейность

связи переменных и нормальность распределения. Эти условия

выполняются далеко не всегда. Кроме того, в клинических ис-

следованиях мы часто имеем дело с порядковыми признаками,

а к ним ни регрессионный анализ, ни расчет коэффициента кор-

* Например, исследования показывают, что заболеваемость раком молочной

железы связана с уровнем доходов, числом автомобилей и телевизоров в

семье. (В. S. Drasar, D. Irving. Environmental factors and cancer of the colon

and breast. Br. J. Cancer, 27:167—172, 1973.) Ho значит ли это, что, поку-

пая новый автомобиль, домашняя хозяйка увеличивает риск заболеть ра-

ком молочной железы? На основании таких данных мы вправе только пред-

положить, что какой-то фактор, связанный с уровнем жизни, влияет на

риск рака молочной железы, но не можем точно указать этот фактор.

262

ГЛАВА 8

реляци, разумеется, неприменим. В подобных случаях следует

воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции Спирме-

на*. Это непараметрический метод — он не требует нормально-

сти распределения; не требует он и линейной зависимости, его

можно применять как к количественным, так и к порядковым

признакам**.

Идея коэффициента ранговой корреляции Спирмена (его обо-

значают rs,) проста. Нужно упорядочить данные по возраста-

нию и заменить реальные значения их рангами. Рангом значе-

ния называется его номер в упорядоченном ряду. Например, в

ряду 1,4, 8, 8, 12 ранг числа 4 равен 2. Затем, беря вместо самих

значений их ранги, рассчитывают обычный коэффициент кор-

реляции Пирсона. Это и будет коэффициент ранговой корреля-

ции Спирмена. Его можно рассчитать и проще:

∑

=1−

−n

где d — разность рангов для каждого члена выборки.

Как быть, если в ряду встретятся одинаковые значения? Ска-

жем, в приведенном примере это две восьмерки. Им следует

* Упомянем также коэффициент ранговой корреляции Кендалла, обо-

значаемый τ. В отличие от коэффициента ранговой корреляции Спир-

мена он может быть обобщен для случая нескольких независимых

переменных. Заключения, основанные на использовании обоих ко-

эффициентов, одинаковы, хотя числовые значения коэффициентов

не совпадают. О коэффициенте ранговой корреляции Кендалла можно

прочесть в книге: S. Siegel, N. J. Castellan Non-parametric statistics

for the behavioral sciences (2d ed.). McGraw-Hill, New York, 1988.

** Если параметрические методы, требующие нормального распреде-

ления, применить к данным с иным типом рапределения, это приве-

дет к ошибочному заключению. Напротив, непараметрические ме-

тоды можно смело применять и в случае нормального распределе-

ния. Однако тогда чувствительность их будет несколько ниже чувст-

вительности параметрических методов. Что касается коэффициента

ранговой корреляции Спирмена, то он и в этом случае проигрывает

коэффициенту корреляции Пирсона весьма незначительно.

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ

263

Таблица 8.5. Вычисление коэффициента ранговой корреляции

Спирмена

Рост

Вес

Значение, см

Ранг Значение, г Ранг

Разность рангов

7,7

-1

8,3

-1

7,6

9,1

5,5

9,6

0,5

5,5

9,9

-0,5

11,8

12,2

14,8

15,0

присвоить один и тот же ранг, равный среднему занимаемых

ими мест: (3 + 4)/2 = 3,5. Рангом стоящего за ними числа 12

будет 5.

Посмотрим, как вычислить rs для знакомой нам выборки из

10 марсиан (табл. 8.5). Вначале упорядочим по возрастанию зна-

чения каждой из переменных. Ранг 1 присваивается меньшему

значению, 10 — большему. Упорядочим марсиан по росту. На

5-м и 6-м месте в нем стоят одинаковые значения. Присвоим им

общий ранг (5 + 6)/2 = 5,5. Затем упорядочим марсиан по весу и

для каждого марсианина вычислим разность рангов роста и веса.

Наконец, вычислим коэффициент ранговой корреляции Спир-

мена:

6

(

−1

)

(

−1

)

+0,5

(

−0,5

)







=1−

−10

=0,96.

Обратимся к таблице 8.6, где приведены критические зна-

чения коэффициента ранговой корреляции Спирмена для раз-

ных уровней значимости и объемов выборки. Критическое зна-

чение для уровня значимости 0,001 и объема выборки n = 10

равно 0,903, что меньше полученного нами. Тем самым, корре-

ляция статистически значима (Р < 0,001).

содержание .. 15 16 17 18 ..