содержание .. 7 8 9 10 ..
Медико-биологическая статистика - часть 9
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
129
Рис. 5.5. Еще 4 случайные выборки из той же совокупности марсиан. Оценки доли ро-
зовых марсиан: 30, 30, 10 и 20%.
рим теперь не совокупность марсиан, а совокупность всех значе-
ний p , вычисленных по выборкам объемом 10 каждая. (Из сово-
купности в 200 членов можно получить более 106 таких выбо-
рок). На рис. 5.6 приведены пять значений p , вычисленных по
пяти выборкам с рис. 5.4 и 5.5 и еще 20 значений полученных на
других случайных выборках того же объема. Среднее этих 25
значений составляет 30%. Это близко к истинной доле розовых
марсиан — 25%. По аналогии со стандартной ошибкой среднего
найдем стандартную ошибку доли. Для этого нужно охаракте-
ризовать разброс выборочных оценок доли, то есть рассчитать
130
ГЛАВА 5
Рис. 5.6. Нанесем на график оценки доли розовых марсиан, полученные по выборке с
рис. 5.4 и четырем выборкам с рис. 5.5. Добавим к ним еще 20 выборочных оценок.
Получилось распределение выборочных оценок
p . Стандартное отклонение совокуп-
ности средних — это стандартная ошибка доли.
стандартное отклонение совокупности p . В данном случае оно
равно примерно 14%, в общем случае
σ
σ
=
,
p
n
гдеσ
p
— стандартная ошибка доли, σ — стандартное отклоне-
ние, n — объем выборки. Поскольку σ =
p(1 − p), то
p
(
1−
p
)
σ
=
p
n
Заменив в приведенной формуле истинное значение доли ее
оценкой p , получим оценку стандартной ошибки доли:
p
(
1−
p
)
s
=
p
n
Из центральной предельной теоремы (см. гл. 2) вытекает, что
при достаточно большом объеме выборки выборочная оценка p
приближенно подчиняется нормальному распределению, имею-
щему среднее р и стандартное отклонение
p
σ
. Однако при значе-
ниях р, близких к 0 или 1, и при малом объеме выборки это не
так. При какой численности выборки можно пользоваться приве-
денным способом оценки? Математическая статистика утвер-
ждает, что нормальное распределение служит хорошим при-
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
131
ближением, если и np и n (1 − p) превосходят 5*. Напомним, что
примерно 95% всех членов нормально распределенной совокуп-
ности находятся в пределах двух стандартных отклонений от
среднего. Поэтому если перечисленные условия соблюдены, то
с вероятностью 95% можно утверждать, что истинное значение
р лежит в пределах
2s
от p .
p
Вернемся на минуту к сравнению операционной летальности
при галотановой и морфиновой анестезии. Напомним, что при
использовании галотана летальность составила 13,1% (числен-
ность группы — 61 больной), а при использовании морфина —
14,9% (численность группы — 67 больных).
Стандартная ошибка доли для группы галотана
0,131
(
1−0,131
)
s
=
=
0,043=
4,3%,
p
гал
61
для группы морфина
0,149
(
1−0,149
)
s
=
=
0,044
=
4, 4%.
p
мор
67
Если учесть, что различие в летальности составило лишь 2%,
то маловероятно, чтобы оно было обусловлено чем-нибудь, кро-
ме случайного характера выборки.
Прежде чем двигаться дальше, перечислим те предпосылки,
на которых основан излагаемый подход. Мы изучаем то, что в
статистике принято называть независимыми испытаниями Бер-
нулли. Эти испытания обладают следующими свойствами.
• Каждое отдельное испытание имеет ровно два возможных
взаимно исключающих исхода.
• Вероятность данного исхода одна и та же в любом испыта-
нии.
• Все испытания независимы друг от друга.
В терминах совокупности и выборок эти свойства формулиру-
ются так.
* Если объем выборки недостаточен для использования нормального рас-
пределения, можно прибегнуть к помощи биномиального распределения.
О биномиальном распределении см. J. H. Zar. Biostatistical analysis, 2nd
ed. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1984.
132
ГЛАВА 5
• Каждый член совокупности принадлежит одному из двух
классов.
• Доля членов совокупности принадлежащих одному классу
неизменна.
• Каждый член выборки извлекается из совокупности незави-
симо от остальных.
СРАВНЕНИЕ ДОЛЕЙ
В предыдущей главе мы рассмотрели критерий Стьюдента t. Он
вычисляется на основе выборочных средних и стандартной
ошибки:
Разность выборочных средних
t=
Стандартная ошибка разности выборочных средних
Выборочная доля p аналогична выборочному среднему. Вы-
ражение для стандартной ошибки мы уже вывели. Теперь мы
можем перейти к задаче сравнения долей, то есть к проверке
нулевой гипотезы о равенстве долей. Для этого используется
критерий z, аналогичный критерию Стьюдента t:
Разность выборочных долей
z=
Стандартная ошибка разности выборочных долей
Пусть p 1 и p 2 — выборочные доли. Поскольку стандартная
ошибка — это стандартное отклонение всех возможных значе-
ний p , полученных по выборкам заданного объема, и посколь-
ку дисперсия разности равна сумме дисперсии стандартная
ошибка разности долей равна
2
2
s
=
s
+
s
p
1
−p
2
p
1
p
2
Следовательно,
p
−
p
p
−
p
1
2
1
2
z
=
=
2
2
s
p
−p
s
+
s
1
2
p
1
p
2
Если n1 и n2 — объемы двух выборок, то
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
133
p
(
1−
p
)
p
(
1−
p
)
1
1
2
2
s
=
s
=
p
1
и
p
2
n
n
1
2
Таким образом,
p
1
−
p
2
z
=
p
(
1−
p
)
p
(
1−
p
)
1
1
2
2
+
n
1
n
2
Итак, мы вывели формулу для критерия z. Вообще этой бук-
вой обозначаются величины со стандартным нормальным рас-
пределением (то есть нормальным распределением со средним
µ = 0 и стандартным отклонением σ = 1 см. табл. 6.4). С величи-
ной z мы встретимся еще неоднократно. В данном случае нор-
мальное распределение имеет место только при достаточно боль-
ших объемах выборок*.
Если при оценке дисперсии объединить наблюдения из обе-
их выборок, чувствительность критерия Стьюдента увеличит-
ся. Таким же способом можно повысить чувствительность кри-
терия z. Действительно если справедлива нулевая гипотеза то
обе выборочные доли p 1 = m1/n1 и p 2 = m2/n2 — это две оценки
одной и той же доли p, которую мы, следовательно, можем оце-
нить как
m
+
m
1
2
p
=
n
+
n
1
2
Тогда
s
=
p
(
1
−p
)
p
Отсюда имеем
2
2
s
s
1
1
p
p
s
=
+
=
p
(
1−
p
)
+
1
p
−p
2
n
n
n
n
1
2
1
2
* Точнее говоря, когда значения n p и n(1 - p ) больше 5. Если хотя бы для
одной выборки это условие не выполняется, то критерий z неприменим, и
нужно воспользоваться точным критерием Фишера. Этот критерий мы
рассмотрим чуть позже.
134
ГЛАВА 5
Подставляя полученную объединенную оценку в формулу
для критерия z, имеем:
p
1
−
p
2
z
=
1
1
p
(
1−
p
)
+
n
n
1
2
О статистически значимом различии долей можно говорить,
если значение z окажется «большим». С такой же ситуацией мы
имели дело, рассматривая критерии Стьюдента. Отличие состо-
ит в том, что t подчиняется распределению Стьюдента, а z —
стандартному нормальному распределению. Соответственно для
нахождения «больших» значении z нужно воспользоваться стан-
дартным нормальным распределением (рис. 2.5). Однако, по-
скольку при увеличении числа степеней свободы распределе-
ние Стьюдента стремится к нормальному, критические значе-
ния z можно найти в последней строке табл. 4.1. Для 5% уровня
значимости оно составляет 1,96, для 1% — 2,58.
Поправка Йейтса на непрерывность
Нормальное распределение служит лишь приближением для
распределения z. При этом оценка P оказывается заниженной, и
нулевая гипотеза будет отвергаться слишком часто. Причина
состоит в том, что z принимает только дискретные значения,
тогда как приближающее его нормальное распределение непре-
рывно. Для компенсации излишнего «оптимизма» критерия z
введена поправка Йеитса называемая также поправкой на не-
прерывность. С учетом этой поправки выражение для z имеет
следующий вид:
1
1
1
p
−
p
−
+
1
2
2
n
n
1
2
z
=
1
1
p
(
1−
p
)
+
n
n
1
2
Поправка Йейтса слегка уменьшает значение z, уменьшая тем
самым расхождение с нормальным распределением.
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
135
Галотан и морфин операционная летальность
Теперь мы можем, наконец, сравнить операционную летальность
при галотановой и морфиновой анестезии. Как вы помните Ко-
нахан и соавт. исходили из предположения о том, что морфин в
меньшей степени угнетает кровообращение, чем галотан и по-
тому предпочтительнее для общей анестезии. Действительно
при использовании морфина артериальное давление и сердеч-
ный индекс были выше, чем при использовании галотана и раз-
личия эти статистически значимы. Однако выводы делать рано
— ведь до сих пор не проанализированы различия операцион-
ной летальности, а именно этот показатель наиболее значим с
практической точки зрения.
Итак, среди получавших галотан (1-я группа) умерли 8 боль-
ных из 61 (13,1%), а среди получавших морфин (2-я группа) —
10 из 67 (14,9%). Объединенная оценка доли умерших
8+10
p
=
=
0,141.
61+67
Величина np для каждой из выборок равна соответственно
n1 p 1 = 61 × 0,141 = 8,6 и n2 p 2 = 67 × 0,149 = 9,4. Оба значения
больше 5*, поэтому можно воспользоваться критерием z. С уче-
том поправки Йейтса имеем:
1
1
1
p
−
p
−
+
1
2
2
n
n
1
2
z
=
=
1
1
p
(
1−
p
)
+
1
1
n
n
1
2
1
1
1
0,131−0,149
−
+
2
61
67
=
=
0,04.
1
1
0,141
(
1−0,141
)
+
61
67
Это очень маленькая величина. Она гораздо ниже 1,96 — кри-
* Больше 5 и n(1 - p) — нетрудно показать, что если p < 0,5, то n(1 - p) > n p.
136
ГЛАВА 5
тического значения для 5% уровня значимости. Следовательно,
хотя галотан и морфин действуют на кровообращение по-раз-
ному, нет никаких оснований, говорить о различии операцион-
ной летальности.
Этот пример очень поучителен: мы убедились, сколь важно
учитывать исход течения. Организм устроен сложно, действие
любого препарата многообразно. Если препарат положительно
влияет на сердечно-сосудистую систему, то не исключено, что он
отрицательно влияет, к примеру, на органы дыхания. Какой из
эффектов перевесит и как это скажется на конечном результате
— предвидеть трудно. Вот почему влияние препарата на любой
показатель будь то артериальное давление или сердечный индекс,
нельзя считать доказательством его эффективности, пока не до-
казана клиническая эффективность. Иными словами следует чет-
ко различать показатели процесса — всевозможные изменения
биохимических, физиологических и прочих параметров, которые,
как мы полагаем, играют положительную или отрицательную
роль, — и показатели результата, обладающие реальной кли-
нической значимостью. Так, изменения артериального давления
и сердечного индекса под действием галотана и морфина — это
показатели процесса, которые никак не сказались на показателе
результата — операционной летальности. Если бы мы доволь-
ствовались наблюдением показателей процесса, то заключили бы
что морфин лучше галотана, хотя, как оказалось, выбор анесте-
тика на летальность вообще не влияет.
Читая медицинские публикации или слушая аргументы сто-
ронника того или иного метода лечения, следует, прежде всего,
уяснить, о каких показателях идет речь — процесса или резуль-
тата. Продемонстрировать воздействие некоторого фактора на
процесс существенно легче, чем выяснить влияет ли он на ре-
зультат. Регистрация показателей процесса обычно проста и не
занимает много времени. Напротив, выяснение результата, как
правило, требует кропотливой длительной работы и нередко
связано с субъективными проблемами измерений, особенно если
речь идет о качестве жизни. И все же, решая необходим ли пред-
лагаемый метод лечения, нужно удостовериться, что, он положи-
тельно влияет именно на показатели результата. Поверьте, боль-
ного и его семью, прежде всего, волнует результат, а не процесс.
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
137
Тромбоз шунта у больных на гемодиализе
Гемодиализ позволяет сохранить жизнь людям, страдающим
хронической почечной недостаточностью. При гемодиализе
кровь больного пропускают через искусственную почку — ап-
парат, удаляющий из крови продукты обмена веществ. Искус-
ственная почка подсоединяется к артерии и вене больного: кровь
из артерии поступает в аппарат и оттуда, уже очищенная — в
вену. Так как гемодиализ проводится регулярно, больному ус-
танавливают артериовенозный шунт. В артерию и вену на пред-
плечье вводят тефлоновые трубки; их концы выводят наружу и
соединяют друг с другом. При очередной процедуре гемодиа-
лиза трубки разъединяют между собой и присоединяют к аппа-
рату. После диализа трубки вновь соединяют, и кровь течет по
шунту из артерии в вену. Завихрения тока крови в местах со-
единения трубок и сосудов приводят к тому, что шунт часто тром-
бируется. Тромбы приходится регулярно удалять, а в тяжелых
случаях даже менять шунт. Руководствуясь тем, что аспирин
препятствует образованию тромбов, Г. Хартер и соавт.* решили
проверить, нельзя ли снизить риск тромбоза назначением не-
больших доз аспирина (160 мг/сут). Было проведено контроли-
руемое испытание. Все больные, согласившиеся на участие в
испытании и не имевшие противопоказании к аспирину, были
случайным образом разделены на две группы: 1-я получала пла-
цебо, 2-я — аспирин. Ни врач, дававший больному препарат, ни
больной не знали, был это аспирин или плацебо. Такой способ
проведения испытания (он называется двойным слепым) исклю-
чает «подсуживание» со стороны врача или больного и, хотя
технически сложен, дает наиболее надежные результаты. Ис-
следование проводилось до тех пор, пока общее число больных
с тромбозом шунта не достигло 24. Группы практически не раз-
личались по возрасту, полу и продолжительности лечения ге-
модиализом.
B 1-й группе тромбоз шунта произошел у 18 из 25 больных,
во 2-й — у 6 из 19. Можно ли говорить о статистически значимом
* Н. R. Harter, J. W. Burch, P. W. Majerus, N. Stanford, J. A. Delmez, С. В.
Anderson, С. A. Weerts. Prevention of thrombosis in patients in hemodialysis
by low-dose aspirin. N. Engl. J. Med., 301:577—579, 1979.
138
ГЛАВА 5
различии доли больных с тромбозом, а тем самым об эффектив-
ности аспирина?
Прежде всего, оценим долю больных с тромбозами в каждой
из групп:
18
p
=
=
0, 72,
1
25
6
p
=
=
0,32.
2
19
Проверим можно ли применять критерии z: рассчитаем ве-
личины n p и n(1 - p) в каждой из групп:
n1 p 1= 18, n1(1 - p 1) = 7
и
n2 p 2 = 6, n2(1 - p 2) = 13.
Как видим, все величины больше 5, поэтому критерии z при-
менить можно.
Объединенная оценка доли больных с тромбозом
6+18
p
=
=
0,55.
19+
25
Тогда
1
1
1
1
s
=
p
(
1−
p
)
+
=
0,55
(
1−0,55
)
+
=0,15.
p
1
−p
2
n
1
n
2
25
19
Наконец вычислим значение z
1
1
1
p
1
−
p
2
−
+
0,72−0,32
−0,05
2
25
19
z
=
=
=
2,33.
s
0,15
p
1
−p
2
По табл. 4.1 находим, что для 2% уровня значимости крити-
ческое значение z составляет 2,3263, то есть меньше, чем мы по-
лучили. А это значит что снижение риска тромбоза шунта при
приеме аспирина статистически значимо. Иными словами если
бы группы представляли собой две случайные выборки из одной
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
139
совокупности, то вероятность получить наблюдаемые (или боль-
шие) различия не превышала бы 2%.
ТАБЛИЦЫ СОПРЯЖЕННОСТИ: КРИТЕРИЙ χ2
Рассмотренный выше метод хорошо работает, если качественный
признак, который нас интересует, принимает два значения (тром-
боз есть — нет, марсианин зеленый — розовый). Более того, по-
скольку метод является прямым аналогом критерия Стьюдента,
число сравниваемых выборок также должно быть равно двум.
Понятно, что и число значений признака и число выборок может
оказаться большим двух. Для анализа таких случаев нужен иной
метод аналогичный дисперсионному анализу. С виду этот метод,
который мы сейчас изложим, сильно отличается от критерия z,
но на самом деле между ними много общего.
Чтоб не ходить далеко за примером начнем с только что разоб-
ранной задачи о тромбозе шунтов. Теперь мы будем рассматри-
вать не долю, а число больных с тромбозом. Занесем результаты
испытания в таблицу (табл. 5.1). Для каждой из групп укажем
число больных с тромбозом и без тромбоза. У нас два признака:
препарат (аспирин—плацебо) и тромбоз (есть—нет); в таблице
указаны все их возможные сочетания, поэтому такая таблица на-
зывается таблицей сопряженности. В данном случае размер таб-
лицы 2×2.
Посмотрим на клетки расположенные, на диагонали идущей
из верхнего левого в нижний правый угол. Числа в них заметно
больше чисел в других клетках таблицы. Это наводит на мысль о
связи между приемом аспирина и риском тромбоза.
Теперь взглянем на табл. 5.2. Это таблица ожидаемых чисел,
которые мы получили бы, если бы аспирин не влиял на риск тром-
боза. Как рассчитать ожидаемые числа, мы разберем чуть ниже, а
пока обратим внимание на внешние особенности таблицы. Кро-
ме немного пугающих дробных чисел в клетках можно заметить
еще одно отличие от табл. 5.1 — это суммарные данные по груп-
пам в правом столбце и по тромбозам — в нижней строке. В пра-
вом нижнем углу — общее число больных в испытании. Об-
140
ГЛАВА 5
Таблица 5.1. Тромбозы шунта при приеме плацебо и аспирина
Тромбоз есть
Тромбоза нет
Плацебо
18
7
Аспирин
6
13
ратите внимание, что, хотя числа в клетках на рис. 5.1 и 5.2 раз-
ные, суммы по строкам и по столбцам одинаковы.
Как же рассчитать ожидаемые числа? Плацебо получали 25
человек, аспирин — 19. Тромбоз шунта произошел у 24 из 44
обследованных, то есть в 54,55% случаев не произошел — у 20
из 44, то есть в 45,45% случаев. Примем нулевую гипотезу о
том, что аспирин не влияет на риск тромбоза. Тогда тромбоз
должен с равной частотой 54,55% наблюдаться в группах пла-
цебо и аспирина. Рассчитав, сколько составляет 54,55% от 25 и
19, получим соответственно 13,64 и 10,36. Это и есть ожидае-
мые числа больных с тромбозом в группах плацебо и аспирина.
Таким же образом можно получить ожидаемые числа больных
без тромбоза в группе плацебо — 45,45% от 25, то есть 11,36 в
группе аспирина — 45,45% от 19, то есть 8,64. Обратите внима-
ние, что ожидаемые числа рассчитываются до второго знака
после запятой — такая точность понадобится при дальнейших
вычислениях.
Сравним табл. 5.1 и 5.2. Числа в клетках довольно сильно
различаются. Следовательно, реальная картина отличается от
той, которая наблюдалась бы, если бы аспирин не оказывал вли-
яния на риск тромбоза. Теперь осталось построить критерий,
который бы характеризовал эти различия одним числом, и за-
тем найти его критическое значение, — то есть поступить, так
как в случае критериев F, t или z.
Однако сначала вспомним еще один уже знакомый нам при-
Таблица 5.2. Тромбозы шунта при приеме плацебо и аспирина:
ожидаемые числа
Тромбоз есть
Тромбоза нет
Всего
Плацебо
13,64
11,36
25
Аспирин
10,36
8,64
19
Всего
24
20
44
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
141
Таблица 5.3. Операционная летальность при галотановой и мор-
финовой анестезии
Живы
Умерли
Всего
Галотан
53
8
61
Морфин
57
10
67
Всего
110
18
128
мер — работу Конахана по сравнению галотана и морфина, а
именно ту часть, где сравнивалась операционная летальность.
Соответствующие данные приведены в табл. 5.3. Форма табли-
цы такая же, что и табл. 5.1. В свою очередь табл. 5.4 подобно
табл. 5.2 содержит ожидаемые числа, то есть числа, вычислен-
ные исходя из предположения, что летальность не зависит от
анестетика. Из всех 128 оперированных в живых осталось 110,
то есть 85,94%. Если бы выбор анестезии не оказывал влияния
на летальность то в обеих группах доля выживших была бы та-
кой же и число выживших составило бы в группе галотана —
85,94% от 61, то есть 52,42 в группе морфина — 85,94% от 67,
то есть 57,58. Таким же образом можно получить и ожидаемые
числа умерших. Сравним таблицы 5.3 и 5.4. В отличие от пре-
дыдущего примера, различия между ожидаемыми и наблюдае-
мыми значениями очень малы. Как мы выяснили раньше, раз-
личий в летальности нет. Похоже мы на правильном пути.
Критерии χ2 для таблицы 2×2
Критерий χ2 (читается «хи-квадрат») не требует никаких пред-
положений относительно параметров совокупности, из которой
извлечены выборки, — это первый из непараметрических кри-
териев, с которым мы знакомимся. Займемся его построением.
Во-первых, как и всегда, критерий должен давать одно число,
Таблица. 5.4. Операционная летальность при галотановой и
морфиновой анестезии: ожидаемые числа
Живы
Умерли
Всего
Галотан
52,42
8,58
61
Морфин
57,58
9,42
67
Всего
110
18
128
142
ГЛАВА 5
которое служило бы мерой отличия наблюдаемых данных от
ожидаемых, то есть в данном случае различия между таблицей
наблюдаемых и ожидаемых чисел. Во-вторых критерий должен
учитывать, что различие, скажем, в одного больного имеет боль-
шее значение при малом ожидаемом числе, чем при большом.
Определим критерий χ2 следующим образом:
2
(
O−E
)2
χ
,
=∑
E
где О — наблюдаемое число в клетке таблицы сопряженности,
Е — ожидаемое число в той же клетке. Суммирование прово-
дится по всем клеткам таблицы. Как видно из формулы, чем
больше разница наблюдаемого и ожидаемого числа, тем боль-
ший вклад вносит клетка в величину χ2. При этом клетки с ма-
лым ожидаемым числом вносят больший вклад. Таким обра-
зом, критерий удовлетворяет обоим требованиям — во-первых,
измеряет различия и, во-вторых, учитывает их величину отно-
сительно ожидаемых чисел.
Применим критерии χ2 к данным по тромбозам шунта. В табл.
5.1 приведены наблюдаемые числа, а в табл. 5.2 — ожидаемые.
2
2
(O−E)
χ
=
=
∑
E
2
2
2
2
(18−1 ,64)
(7−1 ,36)
(6−10,36)
(13−8,64)
=
+
+
+
=7,10
1 ,64
1 ,36
10,36
8,64
Много это или мало? Испытаем наш новый критерий на дан-
ных по галотановой и морфиновой анестезии (табл. 5.3 и 5.4):
2
2
2
2
2
(53−5 ,42)
(8−8,58)
(57−57,58)
(10−9,42)
χ
=
+
+
+
=0,09
5 ,42
8,58
57,58
9,42
Разница найденных значений χ2 довольно велика: 7,10 в пер-
вом случае и 0,09 во втором, что соответствует тем впечатлени-
ям, которые мы получили, сравнивая табл. 5.1 с 5.2 и 5.3 с 5.4. В
первом случае мы получили «большое» значение χ2, «большим» бы-
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
143
Рис. 5.7. Распределение χ2 с 1 степенью свободы. Заштрихованная зона — это 5% наи-
больших значений.
ло и значение z, полученное по тем же данным. Можно пока-
зать, что для таблиц сопряженности размером 2×2 выполняет-
ся равенство χ2 = z2.
Критическое значение χ2 можно найти хорошо знакомым
нам способом. На рис. 5.7 показано распределение возможных
значений χ2 для таблиц сопряженности размером 2×2 для слу-
чая, когда между изучаемыми признаками нет никакой связи.
Величина χ2 превышает 3,84 только в 5% случаев. Таким обра-
зом, 3,84 — критическое значение для 5% уровня значимости.
В примере с тромбозом шунта мы получили значение 7,10, по-
этому мы отклоняем гипотезу об отсутствии связи между при-
емом аспирина и образованием тромбов. Напротив, данные из
табл. 5.3 хорошо согласуются с гипотезой об одинаковом вли-
янии галотана и морфина на послеоперационный уровень смер-
тности.
содержание .. 7 8 9 10 ..