содержание .. 6 7 8 9 ..
Медико-биологическая статистика - часть 8
Таблица 4.4А. Критические значения q′ для α′ = 0,05
Интервал сравнения l
ν
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
16
21
5
2,57
3,03
3,29
3,48
3,62
3,73
3,82
3,90
3,97
4,03
4,09
4,14
4,26
4,42
6
2,45
2,86
3,10
3,26
3,39
3,49
3,57
3,64
3,71
3,76
3,81
3,86
3,97
4,11
7
2,36
2,75
2,97
3,12
3,24
3,33
3,41
3,47
3,53
3,58
3,63
3,67
3,78
3,91
8
2,31
2,67
2,88
3,02
3,13
3,22
3,29
3,35
3,41
3,46
3,50
3,54
3,64
3,76
9
2,26
2,61
2,81
2,95
3,05
3,14
3,20
3,26
3,32
3,36
3,40
3,44
3,53
3,65
10
2,23
2,57
2,76
2,89
2,99
3,07
3,14
3,19
3,24
3,29
3,33
3,36
3,45
3,57
11
2,20
2,53
2,72
2,84
2,94
3,02
3,08
3,14
3,19
3,23
3,27
3,30
3,39
3,50
12
2,18
2,50
2,68
2,81
2,90
2,98
3,04
3,09
3,14
3,18
3,22
3,25
3,34
3,45
13
2,16
2,48
2,65
2,78
2,87
2,94
3,00
3,06
3,10
3,14
3,18
3,21
3,29
3,40
14
2,14
2,46
2,63
2,75
2,84
2,91
2,97
3,02
3,07
3,11
3,14
3,18
3,26
3,36
15
2,13
2,44
2,61
2,73
2,82
2,89
2,95
3,00
3,04
3,08
3,12
3,15
3,23
3,33
16
2,12
2,42
2,59
2,71
2,80
2,87
2,92
2,97
3,02
3,06
3,09
3,12
3,20
3,30
17
2,11
2,41
2,58
2,69
2,78
2,85
2,90
2,95
3,00
3,03
3,07
3,10
3,18
3,27
18
2,10
2,40
2,56
2,68
2,76
2,83
2,89
2,94
2,98
3,01
3,05
3,08
3,16
3,25
19
2,09
2,39
2,55
2,66
2,75
2,81
2,87
2,92
2,96
3,00
3,03
3,06
3,14
3,23
20
2,09
2,38
2,54
2,65
2,73
2,80
2,86
2,90
2,95
2,98
3,02
3,05
3,12
3,22
24
2,06
2,35
2,51
2,61
2,70
2,76
2,81
2,86
2,90
2,94
2,97
3,00
3,07
3,16
30
2,04
2,32
2,47
2,58
2,66
2,72
2,77
2,82
2,86
2,89
2,92
2,95
3,02
3,11
40
2,02
2,29
2,44
2,54
2,62
2,68
2,73
2,77
2,81
2,85
2,87
2,90
2,97
3,06
60
2,00
2,27
2,41
2,51
2,58
2,64
2,69
2,73
2,77
2,80
2,83
2,86
2,92
3,00
120
1,98
2,24
2,38
2,47
2,55
2,60
2,65
2,69
2,73
2,76
2,79
2,81
2,87
2,95
∞
1,96
2,21
2,35
2,44
2,51
2,57
2,61
2,65
2,69
2,72
2,74
2,77
2,83
2,91
Таблица 4.4Б. Критические значения q′ для α′ = 0,01
Интервал сравнения l
ν
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
16
21
5
4,03
4,63
4,98
5,22
5,41
5,56
5,69
5,80
5,89
5,98
6,05
6,12
6,30
6,52
6
3,71
4,21
4,51
4,71
4,87
5,00
5,10
5,20
5,28
5,35
5,41
5,47
5,62
5,81
7
3,50
3,95
4,21
4,39
4,53
4,64
4,74
4,82
4,89
4,95
5,01
5,06
5,19
5,36
8
3,36
3,77
4,00
4,17
4,29
4,40
4,48
4,56
4,62
4,68
4,73
4,78
4,90
5,05
9
3,25
3,63
3,85
4,01
4,12
4,22
4,30
4,37
4,43
4,48
4,53
4,57
4,68
4,82
10
3,17
3,53
3,74
3,88
3,99
4,08
4,16
4,22
4,28
4,33
4,37
4,42
4,52
4,65
11
3,11
3,45
3,65
3,79
3,89
3,98
4,05
4,11
4,16
4,21
4,25
4,29
4,30
4,52
12
3,05
3,39
3,58
3,71
3,81
3,89
3,96
4,02
4,07
4,12
4,16
4,19
4,29
4,41
13
3,01
3,33
3,52
3,65
3,74
3,82
3,89
3,94
3,99
4,04
4,08
4,11
4,20
4,32
14
2,98
3,29
3,47
3,59
3,69
3,76
3,83
3,88
3,93
3,97
4,01
4,05
4,13
4,24
15
2,95
3,25
3,43
3,55
3,64
3,71
3,78
3,83
3,88
3,92
3,95
3,99
4,07
4,18
16
2,92
3,22
3,39
3,51
3,60
3,67
3,73
3,78
3,83
3,87
3,91
3,94
4,02
4,13
17
2,90
3,19
3,36
3,47
3,56
3,63
3,69
3,74
3,79
3,83
3,86
3,90
3,98
4,08
18
2,88
3,17
3,33
3,44
3,53
3,60
3,66
3,71
3,75
3,79
3,83
3,86
3,94
4,04
19
2,86
3,15
3,31
3,42
3,50
3,57
3,63
3,68
3,72
3,76
3,79
3,83
3,90
4,00
20
2,85
3,13
3,29
3,40
3,48
3,55
3,60
3,65
3,69
3,73
3,77
3,80
3,87
3,97
24
2,80
3,07
3,22
3,32
3,40
3,47
3,52
3,57
3,61
3,64
3,68
3,70
3,78
3,87
30
2,75
3,01
3,15
3,25
3,33
3,39
3,44
3,49
3,52
3,56
3,59
3,62
3,69
3,78
40
2,70
2,95
3,09
3,19
3,26
3,32
3,37
3,41
3,44
3,48
3,51
3,53
3,60
3,68
60
2,66
2,90
3,03
3,12
3,19
3,25
3,29
3,33
3,37
3,40
3,42
3,45
3,51
3,59
120
2,62
2,85
2,97
3,06
3,12
3,18
3,22
3,26
3,29
3,32
3,35
3,37
3,43
3,51
∞
2,58
2,79
2,92
3,00
3,06
3,11
3,15
3,19
3,22
3,25
3,27
3,29
3,35
2,42
С. W, Dunnett. New tables for multiple comparisons with a control. Biometrics, 20:482—491, 1964.
116
ГЛАВА 4
m - 1 и соответственно рассчитать уровень значимости в каж-
дом из сравнений α = α′/k. Применим этот метод к исследо-
ванию частоты менструаций. Сравним спортсменок и физкуль-
турниц с контрольной группой. Число сравнений k - 2 (а не 3
как при всех возможных сравнениях). Чтобы полная вероятность
ошибочно обнаружить различия не превышала 0,05 при каж-
дом сравнении, уровень значимости должен быть 0,05/2 = 0,025
(вместо 0,05/3 = 0,017). Число степеней свободы — 75; крити-
ческое значение t = 2,31 (при всех возможных сравнениях оно
бы составило 2,45). Величину l для сравнения физкультурниц и
спортсменок с контролем мы уже рассчитывали — 2,54 и 4,35
соответственно. Таким образом, и спортсменки и физкультур-
ницы статистически значимо отличаются от контрольной груп-
пы. В данном случае вывод получился тот же, что и при приме-
нении поправки Бонферрони в общем случае. Ясно, однако, что
за счет снижения критического уровня t чувствительность ме-
тода повышается. Обратите внимание, что в данном случае мы
не делаем никакого заключения о различии спортсменок и физ-
культурниц.
Критерии Даннета
Критерии Даннета — это вариант критерия Ньюмена-Кей-
лса для сравнения нескольких групп с одной контрольной. Он
вычисляется как
X
−
X
кон
A
q′=
1
1
2
s
вну
+
n
n
кон
A
Число сравнении равно числу групп не считая контрольной, и
существенно меньше числа сравнений в исходном критерии Нью-
мена-Кейлса. Соответственно меньше и критические значения
(табл. 4.4). Как и в критерии Ньюмена-Кейлса сначала средние
значения для всех групп упорядочиваются только теперь — по аб-
солютной величине их отличия от контрольной группы. Затем кон-
трольную группу сравнивают с остальными начиная с наиболее
отличной от контрольной. Если различия с очередной группой не
найдены вычисления прекращают. Параметр l постоянен и равен
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП: КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА
117
числу групп включая контрольную. Число степеней свободы вы-
числяют как в критерии Ньюмена-Кейлса: ν = N - m.
Применим критерий Даннета к анализу влияния бега на мен-
струации. Сначала сравним с контрольной наиболее от нее от-
личную группу спортсменок:
X
кон
−
X
1
1 ,5
−
,1
q′=
=
=
4,35
1
1
2
1
1
s
+
3,95
+
вну
26
26
n
n
кон
1
Общее число средних равно трем, поэтому l = 3. Число степе-
ней свободы равно 75. По таблице 4.4 находим критическое зна-
чение для уровня значимости 0,05. Оно равно 2,28. Вычисленное
значение больше критического. Тем самым различие между спорт-
сменками и контрольной группой статистически значимо и срав-
нения можно продолжать.
Теперь сравним с контрольной группу физкультурниц
X
−
X
1 ,5
−10,1
кон
2
q′=
=
=
2,54
1
1
1
1
2
3,95
+
s
+
вну
n
n
26
26
кон
2
Критическое значение, q′ по-прежнему равно 2,28. Вычис-
ленное значение больше. Различие между физкультурницами и
контрольной группой статистически значимо.
Критерии Даннета, как вариант критерия Ньюмена-Кейлса
более чувствителен, чем критерий Стьюдента с поправкой Бон-
феррони, особенно при большом числе групп. Если бы групп
было больше, мы убедились бы, что критерии Ньюмена-Кейлса
обнаруживает те различия, которые упускает критерии Стью-
дента с поправкой Бонферрони завышающей критические значе-
ния t.
ЧТО ОЗНАЧАЕТ Р
Поговорим еще раз о вероятности справедливости нулевой гипо-
тезы Р. Понимание смысла Р требует понимания логики провер-
ки статистической гипотезы. Например, исследователь хочет
118
ГЛАВА 4
узнать, влияет ли некий препарат на температуру тела. Очевид-
ная схема эксперимента: взять две группы, одной дать препарат
другой плацебо измерить температуру и вычислить для обеих
групп среднюю температуру и стандартное отклонение. Сред-
ние температуры вряд ли совпадут, даже если препарат не обла-
дает никаким действием. Поэтому естественен вопрос сколь ве-
роятно, что наблюдаемое различие случайно?
Для ответа на этот вопрос, прежде всего, нужно выразить раз-
личия одним числом — критерием значимости. Со многими из
них мы уже встречались — это критерии F, t, q и q′. Значение
критерия тем больше, чем больше различия. Если препарат не
оказывает действия, то величина критерия будет мала, если ока-
зывает — велика. Но что значит «мала» и что значит «велика»?
Чтобы разграничить «большие» и «малые» значения крите-
рия, строится предположение, что препарат не оказывает влия-
ния на температуру. Это так называемая нулевая гипотеза. Если
нулевая гипотеза верна, то обе группы можно считать просто
случайными выборками из одной и той же совокупности. Далее
эксперимент мысленно проводится на всех возможных выбор-
ках, и для каждой пары вычисляется значение критерия. Чаше
всего оно будет небольшим, но какая-то часть выборок даст весь-
ма высокие значения. При этом мы сможем указать такое число
(критическое значение), выше которого значение критерия, ока-
зывается, скажем, в 5% случаев.
Теперь вернемся к препарату и вычислим значение крите-
рия. Если оно превышает критическое значение, то мы можем
утверждать следующее, если бы нулевая гипотеза была спра-
ведлива, то вероятность получить наблюдаемые различия была
бы меньше 5%. В принятой системе обозначений это записыва-
ется как Р < 0,05. Отсюда мы заключаем, что гипотеза об отсут-
ствии влияния препарата на температуру вряд ли справедлива,
то есть различия статистически значимы (при 5% уровне зна-
чимости). Разумеется, этот вывод по сути своей носит вероят-
ностный характер. Не исключено, что мы ошибочно признаем
неэффективный препарат эффективным, то есть найдем разли-
чия там, где их нет. Однако мы можем утверждать, что вероят-
ность подобной ошибки не превышает 5%.
Дадим определение Р.
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП: КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА
119
Р есть вероятность того, что значение критерия окажется
не меньше критического значения при условии справедливости
нулевой гипотезы об отсутствии различий между группами.
Определение можно сформулировать и по-другому.
Р есть вероятность ошибочно отвергнуть нулевую гипоте-
зу об отсутствии различий.
Упрощая, можно сказать, что Р — это вероятность справед-
ливости нулевой гипотезы. Часто говорят также, что Р — это ве-
роятность ошибки. В общем, и это верно, однако несколько не-
точно. Дело в том, что существует два рода ошибок. Ошибка I
рода — это ошибочное заключение о существовании различий,
которых в действительности нет. Вероятность именно этой оце-
нивает P. Возможна и противоположная ошибка — принять не-
верную нулевую гипотезу то есть не найти действительно суще-
ствующее различие. Это гак называемая ошибка II рода. О веро-
ятности этой ошибки P ничего не говорит, мы обсудим ее в гл. 6.
ЗАДАЧИ
4.1. Конахан и соавт. определили среднее артериальное дав-
ление и общее периферическое сосудистое сопротивление при
операциях на открытом сердце с галотановой (9 больных) и мор-
финовой (16 больных) анестезией. Результаты приведены в табл.
4.2. Можно ли утверждать, что в группах галотановой и морфи-
новой анестезии эти гемодинамические показатели различают-
ся статистически значимо?
4.2. Кокаин чрезвычайно вреден для сердца, он может вызвать
инфаркт миокарда даже у молодых людей без атеросклероза. Ко-
каин сужает коронарные сосуды что приводит к уменьшению
притока крови к миокарду кроме того, он ухудшает насосную
функцию сердца. Нифедипин (препарат из группы антагонистов
кальция) обладает способностью расширять сосуды, его приме-
няют при ишемической болезни сердца. Ш. Хейл и соавт. (S. L.
Hale, К. J. Alker, S. H. Rezkalla et al. Nifedipine protects the heart
from the acute deleterious effects of cocaine if administered before
but not after cocaine. Circulation, 83:1437—1443, 1991) предположи-
ли, что нифедипин можно использовать и при поражении сердца,
120
ГЛАВА 4
вызванном кокаином. Собакам вводили кокаин, а затем нифеди-
пин либо физиологический раствор. Показателем насосной фун-
кции сердца служило среднее артериальное давление. Были по-
лучены следующие данные.
Среднее артериальное давление после приема кокаина, мм рт. ст.
Плацебо
Нифедипин
156
73
171
81
133
103
102
88
129
130
150
106
120
106
110
111
112
122
130
108
105
99
Влияет ли нифедипин на среднее артериальное давление пос-
ле приема кокаина?
4.3. Ш. Хейл и соавт. измеряли также диаметр коронарных
артерии после приема нифедипина и плацебо. Позволяют ли при-
водимые ниже данные утверждать, что нифедипин влияет на
диаметр коронарных артерий?
Диаметр коронарной артерии, мм
Плацебо
Нифедипин
2,5
2,5
2,2
1,7
2,6
1,5
2,0
2,5
2,1
1,4
1,8
1,9
2,4
2,3
2,3
2,0
2,7
2,6
2,7
2,3
1,9
2,2
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП: КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА
121
4.4. Решите задачи 3.1 и 3.5 используя критерий Стьюдента.
4.5. В задаче 3.2 приведены данные, собранные Уайтом и Фре-
бом о проходимости дыхательных путей у некурящих работаю-
щих в помещении, где не курят у пассивных курильщиков и у
курильщиков выкуривающих различное число сигарет. Диспер-
сионный анализ обнаружил, что приведенные данные не согла-
суются с гипотезой о том, что проходимость дыхательных пу-
тей во всех группах одинакова. Выделите группы с одинаковой
функцией легких. Что означает полученный результат, с точки
зрения первоначально поставленного вопроса влияет ли пассив-
ное курение на функцию легких?
4.6. Используя данные задачи 3.2, оцените статистическую
значимость различий некурящих работающих в помещении, где
не курят со всеми остальными группами. Воспользуйтесь кри-
терием Даннета.
4.7. Решив задачу 3.3, мы пришли к заключению, что уро-
вень холестерина липопротеидов высокой плотности (ХЛПВП)
у бегунов марафонцев бегунов трусцой и лиц, не занимающих-
ся спортом неодинаков. Пользуясь критерием Стьюдента с по-
правкой Бонферрони, сравните эти группы попарно.
4.8. Используя данные задачи 3.3 и рассматривая группу не
занимающихся спортом как контрольную сравните ее с осталь-
ными двумя группами. Используйте поправку Бонферрони.
4.9. Пользуясь данными задачи 3.4, найдите группы с близ-
кими показателями антибактериальной защиты.
4.10. По данным задачи 3.7 опишите различия групп. Исполь-
зуйте поправку Бонферрони.
4.11. Решите снова задачу 4.10, пользуясь критерием Нью-
мена—Кейлса. Сравните результат с решением задачи 4.10 и
объясните различия, если они есть.
4.12. В задаче 3.6 мы установили, что существуют различия
в степени опустошенности у медицинских сестер работающих
с больными разной тяжести. В чем заключаются эти различия?
Глава 5
Анализ качественных признаков
Статистические процедуры, с которыми мы познакомились в пре-
дыдущих главах, предназначены для анализа количественных при-
знаков. Примером таких признаков служат артериальное давле-
ние диурез или продолжительность госпитализации. Единицей
их измерения могут быть миллиметры ртутного столба, литры
или дни. Над значениями количественных признаков можно про-
изводить арифметические действия. Можно, например, сказать,
что диурез увеличился вдвое. Кроме того, их можно упорядочить,
то есть расположить в порядке возрастания или убывания.
Однако очень многие признаки невозможно измерить чис-
лом. Например, можно быть либо мужчиной, либо женщиной,
либо мертвым либо живым. Можно быть врачом, юристом, ра-
бочим и так далее. Здесь мы имеем дело с качественными при-
знаками. Эти признаки не связаны между собой никакими ариф-
метическими соотношениями, упорядочить их также нельзя.
Единственный способ описания качественных признаков состо-
ит в том, чтобы подсчитать число объектов, имеющих одно и
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
123
то же значение. Кроме того, можно подсчитать, какая доля от
общего числа объектов приходится на то или иное значение.
Существует еще один вид признаков. Это порядковые при-
знаки. Их можно упорядочить, но производить над ними ариф-
метические действия нельзя. Пример порядкового признака —
состояние больного тяжелое, средней тяжести, удовлетворитель-
ное. С такими признаками мы познакомимся в гл. 8 и 10, а сей-
час продолжим обсуждение работы Т. Конахана и соавт. по срав-
нению галотановой и морфиновой анестезии начатое в гл. 3.
Мы уже знаем, что галотан и морфин по-разному влияли на
артериальное давление и что это различие статистически зна-
чимо. Однако для клинициста важнее знать, наблюдалось ли
различие в операционной летальности? Из 61 больного, опери-
рованного под галотановой анестезией, умерли 8, то есть 13,1%.
При использовании морфина умерли 10 из 67, то есть 14,9%. (В
гл. 4 мы для простоты считали размеры обеих групп одинако-
выми, теперь используются реальные данные). Летальность при
использовании галотана оказалась примерно на 1% ниже, чем
при использовании морфина. Можно ли считать, что морфин
опаснее галотана, или такой результат мог быть результатом
случайности?
Чтобы ответить на этот вопрос нам сначала нужно найти спо-
соб оценить точность, с которой доли вычисленные по выбор-
кам, соответствуют долям во всей совокупности. Однако преж-
де нам нужно понять, каким должно быть описание самой сово-
купности. Здесь нам пригодятся уже несколько подзабытые мар-
сиане.
НОВОСТИ С МАРСА
В гл. 2 мы побывали на Марсе, где измерили всех его обитате-
лей. Хотя ранее мы не говорили об этом, но больше всего нас
поразило различие в пигментации марсиан, 50 марсиан были
розового, а остальные 150 — зеленого цвета (рис. 5.1).
Как описать совокупность марсиан по этому признаку? Ясно,
что нужно указать долю, которую составляют марсиане каждого
цвета во всей совокупности марсиан. В нашем случае доля розо-
вых марсиан pроз = 50/200 = 0,25 и зеленых pзел = 150/200 = 0,75.
124
ГЛАВА 5
Рис. 5.1. Из 200 марсиан 150 имеют зеленую окраску, остальные 50 розовые. Если на-
угад извлечь марсианина, то вероятность, что он окажется розовым, составляет 50/200
= 0,25, то есть 25%.
Поскольку марсиане бывают только розовые и зеленые, справед-
ливо тождество pроз + pзел = 1. Или, что то же самое, pроз = 1 - pзел.
То есть, зная pроз, мы легко определим и pзел. Таким образом, для
характеристики совокупности, которая состоит из двух классов,
достаточно указать численность одного из них если доля одного
класса во всей совокупности равна р, то доля другого равна 1 -
р. Заметим, что pроз есть еще и вероятность того, что случайно
выбранный марсианин окажется розовым. Покажем, что доля р
в некотором смысле аналогична среднему µ по совокупности.
Введем числовой признак X, который принимает только два зна-
чения 1 для розового и 0 для зеленого. Среднее значение призна-
ка X равно
∑
X
1+1+…+1+0+0+…+0
µ
=
=
=
N
200
50×1+150×0
50
=
=
=
0, 25.
200
200
Как видим, полученное значение совпадает с долей розовых
марсиан.
Повторим это рассуждение для общего случая. Пусть име-
ется совокупность из N членов. При этом М членов обладают
каким-то качественным признаком, которого нет у остальных
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
125
N - M членов. Введем числовой признак X: у членов совокуп-
ности, обладающих качественным признаком, он будет равен
1, а у членов, не обладающих этим признаком, он будет равен
0. Тогда среднее значение X равно
∑
X M
×1+
(
N −M
)
×0
M
µ
=
=
=
=
p,
N
N
N
то есть доле членов совокупности, обладающих качественным
признаком.
Используя такой подход, легко рассчитать и показатель раз-
броса — стандартное отклонение. Не совсем ясно, однако, что
понимать под разбросом, если значений признака всего два — 0
и 1. На рис. 5.2 мы изобразили три совокупности по 200 членов
в каждой. В первой из них (5.2А) все члены принадлежат к од-
ному классу. Разброс равен нулю. На рис. 5.2Б разброс уже име-
ется, но он невелик. На рис. 5.2В совокупность делится на два
равные класса. В этом случае разброс максимален.
Итак, найдем стандартное отклонение. По определению оно
равно
(
X
−
µ
)2
∑
σ
=
,
N
где для М членов совокупности значение X = 1, а для остальных
N - М членов X = 0. Величина µ = р. Таким образом,
2
2
2
2
(
1−
p
)
+…+
(
1−
p
)
+
(
0−
p
)
+…+
(
0−
p
)
σ
=
=
N
2
2
M
(
1−
p
)
+
(
N −M
)
p
M
2
M
2
=
=
(
1−
p
)
+
1−
p
N
N
N
Но так как M N = p , то
2
2
2
σ =
p
(
1−p
)
+
(
1−p
)
p
=
(
1−p
)
+p
(
1−p
)
,
p
или, после преобразования,
σ =
p(1 − p).
126
ГЛАВА 5
Рис. 5.2. Что такое разброс данных, если значений признака всего два? Возможно, это
станет яснее, если вспомнить, что разброс — это отсутствие единства. Рассмотрим три
совокупности из 200 марсиан. А. Все марсиане зеленые. Царит полное единство, раз-
брос отсутствует, σ = 0. Б. Среди стройных рядов зеленых марсиан появилось 10 розо-
вых. Единство немного нарушено, появился некоторый разброс, σ = 0,2. В. От единства
марсиан не осталось и следа: они разделились поровну на зеленых и розовых. Разброс
максимален, σ = 0,5.
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
127
Рис. 5.3. Стандартное отклонение доли σ полностью определяется самой этой долей р.
Когда доля равна 0 или 1, разброс отсутствует и σ = 0. Когда р = 0,5, разброс максима-
лен, σ = 0,5
Найденное стандартное отклонение σ полностью определя-
ется величиной р. Этим оно принципиально отличается от стан-
дартного отклонения для нормального распределения которое
не зависит от µ. На рис. 5.3 показана зависимость σ от р. Она
вполне согласуется с теми впечатлениями которые возникают
при рассмотрении рис. 5.2: стандартное отклонение достигает
максимума при р = 0,5 и равно 0 когда р равно 0 или 1.
Зная стандартное отклонение σ можно найти стандартную
ошибку для выборочной оценки р. Посмотрим, как это делается.
ТОЧНОСТЬ ОЦЕНКИ ДОЛЕЙ
Если бы в наших руках были данные по всем членам совокуп-
ности, то не было бы никаких проблем связанных с точностью
оценок. Однако нам всегда приходится довольствоваться огра-
ниченной выборкой. Поэтому возникает вопрос, насколько точ-
но доли в выборке соответствуют долям в совокупности. Про-
делаем мысленный эксперимент наподобие того, который мы
провели в гл. 2, когда рассматривали насколько хорошей оцен-
кой среднего по совокупности является выборочное среднее.
128
ГЛАВА 5
Рис. 5.4. А. Из совокупности марсиан, среди которых 150 зеленых и 50 розовых, из-
влекли случайную выборку из 10 особей. В выборку попало 5 зеленых и 5 розовых
марсиан, на рисунке они помечены черным. Б. В таком виде данные предстанут перед
исследователем, который не может наблюдать всю совокупность и вынужден судить о
ней по выборке. Оценка доли розовых марсиан
p = 5/10 = 0,5.
Предположим, что из всех 200 марсиан случайным образом
выбрали 10. Распределение розовых и зеленых марсиан во всей
совокупности неизвестное исследователям изображено в верх-
ней части рис. 5.4. Закрашенные кружки соответствуют марси-
анам, попавшим в выборку. В нижней части рис. 5.4 показана
информация, которой располагал бы исследователь, получив-
ший такую выборку. Как видим в выборке розовые, и зеленые
марсиане поделились поровну. Основываясь на этих данных, мы
решили бы, что розовых марсиан столько же, сколько и зеле-
ных, то есть их доля составляет 50%.
Исследователь мог бы извлечь другую выборку, например
одну из представленных на рис. 5.5. Здесь выборочные доли
розовых марсиан равны 30, 30, 10, и 20%. Как любая выборочная
оценка, оценка доли (обозначим ее p) отражает долю р в сово-
купности, но отклоняется от нее в силу случайности. Рассмот-
содержание .. 6 7 8 9 ..