ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ИСПЫТАНИЕ ДЕРЕВЯННЫХ КОНСТРУКЦИЙ - ЧАСТЬ 13

3  Статический расчет арки. 
1) Равномерно распределенная нагрузка действует на левом полупролете. Определим опорные ре-

акции R и H по уравнениям: 

53

,

4

8

4

02

,

3

3

8

3

=

⋅

⋅

=

=

ql

R

 кН и 

51

,

1

2

16

4

02

,

3

16

2

2

=

⋅

⋅

=

=

f

ql

H

 кН. 

Определим изгибающие моменты, продольные и поперечные силы в сечениях левой полуарки (4.2). 

Расчет ведем в табличной форме (табл. 4.2).  

48

,

0

91

,

0

51

,

1

41

,

0

53

,

4

0

=

⋅

−

⋅

=

Q

 кН, 

51

,

1

2

4

02

,

3

53

,

4

2

6

−

=

⋅

−

=

−

=

ql

R

Q

 кН,  

51

,

1

6

=

= H

N

 кН. 

2) Равномерно распределенная нагрузка действует на правом полупролете. Определим опорные ре-

акции R и H по уравнениям: 

51

,

1

8

4

02

,

3

8

=

⋅

=

=

ql

R

 кН и 

51

,

1

2

16

4

02

,

3

16

2

2

=

⋅

⋅

=

=

f

ql

H

 кН. 

Определим изгибающие моменты, продольные и поперечные силы в сечениях левой полуарки:  

Hy

Rx

M

x

−

=

; 

n

n

x

H

R

N

α

+

α

=

cos

sin

; 

51

,

1

6

=

= H

N

 кН; 

n

n

x

s

H

n

R

Q

α

−

α

=

sin

cos

; 

51

,

1

2

4

02

,

3

53

,

4

2

6

−

=

⋅

−

=

−

=

ql

R

Q

 кН. 

 

4.2   Усилия в сечениях арки 

 

Усилия, возникающие в арке от нагрузки q = 3,02 кН,  

действующей 

Сечение 

 

на левой  

полуарке 

на правой  

полуарке 

на всем пролете 

1 

0,41 

–0,42 

–0,01 

2 

0,79 

–0,56 

0,23 

3 

Изгибающий мо-

мент (M), кН

⋅м 

0,95 

–0,56 

0,39 

Продолжение табл. 4.2 

 

Усилия, возникающие в арке от нагрузки q = 3,02 кН,  

действующей 

Сечение 

 

на левой  

полуарке 

на правой  

полуарке 

на всем пролете 

4 

0,91 

–0,44 

0,47 

5 

Изгибающий мо-

мент (M), кН

⋅м 

0,58 

–0,26 

0,32 

0 

4,74 

1,91 

6,65 

1 

3,74 

2,08 

5,82 

3 

2,13 

2,13 

4,26 

4 

1,54 

2,11 

3,65 

6 

Продольная сила 

(N), кН 

1,51 

1,51 

3,02 

0 

0,48 

–0,76 

–0,28 

6 

Поперечная сила 

(Q), кН 

–1,51 

1,51 

0 

 
 

4  Определим геометрические характеристики арки: 
– площадь поперечного сечения 

00432

,

0

12

,

0

036

,

0

=

⋅

=

= bh

A

 м

2

, 

– момент сопротивления 

0000864

,

0

6

12

,

0

036

,

0

6

2

2

=

⋅

=

=

bh

W

 м

3

, 

– момент инерции 

0000052

,

0

12

12

,

0

036

,

0

12

3

32

=

⋅

=

=

bh

I

 м

4

, 

– статический момент 

0000648

,

0

8

12

,

0

036

,

0

8

2

2

=

⋅

=

=

bh

S

 м

3

, 

– расчетная длина 

3

p

=

= S

l

 м, 

– гибкость 

7

,

85

12

,

0

29

,

0

3

29

,

0

p

=

⋅

=

=

λ

h

l

. 

5 

Проверяем  прочность  арки  по  нормальным  напряжениям  (4.3).  Максимальный  изгибаю-

щий  момент,  действующий  в  4-м  сечении,  равен  0,47  кН

⋅м.  Ему  соответствует  продольная  сила, 

равная 3,65 кН.  
λ  =  85,7  >  70,  поэтому  коэффициент  устойчивости  и  коэффициент  ξ  определяются  по  формулам: 

1

00432

,

0

5

,

16

3000

7

,

85

10

65

,

3

1

3000

1

2

3

c

2

≈

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

λ

−

=

ξ

−

A

R

N

, 

41

,

0

7

,

85

3000

3000

2

2

=

=

λ

=

ϕ

, тогда 

47

,

0

1

47

,

0

д

=

=

ξ

=

M

M

 кН

⋅м. 

Напряжения будут равны 

28

,

6

0000864

,

0

10

47

,

0

00432

,

0

10

65

,

3

3

3

=

⋅

+

⋅

=

σ

−

−

 МПа < 

5

,

16

1

,

1

1

5

=

⋅

⋅

<

 МПа, где m

б 

= 1, так как h 

< 50 см [9, табл. 7], m

сл 

= 1, так как толщина досок < 19 см [9, табл. 8]. 

Проверка скалывающих напряжений (формула 4.4). Максимальная поперечная сила равна 0,28 

кН. 

1

,

0

10

036

,

0

0000052

,

0

0000648

,

0

28

,

0

3

=

⋅

⋅

⋅

=

τ

−

 МПа 

5

,

1

ск

=

< R

 МПа. 

Проверка  устойчивости  плоской  формы  деформирования  выполняется  по  формуле  (4.5) при  макси-

мальном отрицательном изгибающем моменте M = –0,01 кН

⋅м и соответствующей ему продольной силе N 

= 5,82 кН. 

Коэффициент 

учета 

дополнительного 

момента 

при 

деформировании 

равен 

8

,

0

00432

,

0

5

,

16

3000

10

82

,

5

1

3

=

⋅

⋅

⋅

−

=

ξ

−

, тогда 

012

,

0

8

,

0

01

,

0

д

=

=

M

 кН

⋅м. 

Верхняя  кромка  полуарки  при  отрицательном  изгибающем  моменте  растянута  и  закреплена  скат-

ными связями через каждые 

75

,

0

4

p

=

=

S

l

 м. Такое закрепление считается сплошным, поскольку соблю-

дается условие 

51

,

1

12

,

0

036

,

0

140

140

2

2

=

⋅

=

h

b

  м  >0,4  м.  Нижняя  кромка  полуарки сжата  и  из  плоскости  не  за-

креплена. Расчетная длина полуарки из плоскости при сжатии 

3

p

=

= S

l

 м, тогда гибкость из плоскости 

будет  равна 

70

287

036

,

0

29

,

0

3

29

,

0

>

=

⋅

=

=

λ

b

l

p

y

  и 

036

,

0

287

3000

3000

2

2

=

=

λ

=

ϕ

y

.  Определим  коэффициенты,  входя-

щие в формулу (4.5):  

57

,

0

12

,

0

3

13

,

1

036

,

0

140

2

=

⋅

⋅

⋅

=

ϕ

M

, 

(

)

2

,

12

12

,

0

3

76

,

0

6

,

0

12

,

0

3

06

,

0

75

,

0

2

п

=

⋅

⋅

+

⋅

+

=

N

K

 

и 

68

,

4

76

,

0

4

,

1

3

12

,

0

76

,

1

12

,

0

3

142

,

0

п

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

M

K

. 

1

19

,

0

10

864

,

0

5

,

16

68

,

4

57

,

0

10

012

,

0

00432

,

0

5

,

16

2

,

12

036

,

0

10

82

,

5

4

3

3

<

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

−

−

−

. 

Следовательно,  устойчивость  плоской  формы  деформирования  обеспечена.  При  положительном 

изгибающем моменте, когда сжатая  кромка полуарки закреплена связями, ее устойчивость больше и 
проверка не нужна. 

Проверяем прочность затяжки по уравнению (4.6), выполненной из стального прутка диаметром 8 

мм. Расчетное сопротивление стали – 240 МПа. Продольная растягивающая сила равна 6,65 кН. Опре-

деляем  площадь  затяжки 

5024

,

0

4

8

,

0

14

,

3

4

П

2

2

=

⋅

=

=

d

A

  см

2

.  Напряжения,  действующие  в  затяжке,  будут 

равны 

36

,

132

10

5024

,

0

10

65

,

6

4

3

=

⋅

⋅

=

σ

−

−

 МПа

240

<

 МПа. 

Пример 4.2   Рассмотрим расчет узлов трехшарнирной арки. Коньковый узел (рис. 4.1) решается с 

помощью двух стальных креплений из упорного листа и двух фасонок с отверстиями для болтов. Расчет 
производится на действие максимальных продольной (N = 3,02 кН) и поперечной (Q = 0) сил. 

Проверка торцевого сечения полуарки на смятие под углом 24

° к волокнам древесины производится 

по  формуле  (4.7).  Площадь  смятия  равна 

0108

,

0

3

,

0

036

,

0

=

⋅

=

A

  м.  Определим  расчетное  сопротивление 

смятию 

2

,

11

41

,

0

1

3

5

,

16

1

5

,

17

sin

1

1

3

3

90

см.

c

см

см

=

−

+

=

α

−

+

=

α

R

R

R

R

 МПа. Тогда прочность будет равна  

8

,

2

0108

,

0

10

02

,

3

3

=

⋅

=

σ

−

 МПа < 11,2 МПа. 

Определим число болтов (формула (4.8)), необходимое для крепления конца полуарки к фасонкам. 

Они работают симметрично при числе швов n

ш 

= 2 и толщине сечения полуарки b = c = 0,036 м под уг-

лом смятия 

α = 90 – 24 = 66° к волокнам древесины. Принимаем болты диаметром 2 см. 

Несущая способность болта в одном срезе равна с учетом k

α 

= 0,63 [9, табл. 19]: 

– при изгибе 

94

,

7

63

,

0

2

5

,

2

5

,

2

2

2

н

=

⋅

=

=

α

k

d

Т

 кН; 

– при смятии древесины 

27

,

2

63

,

0

2

6

,

3

5

,

0

5

,

0

н

=

⋅

⋅

⋅

=

=

α

сdk

Т

 кН. 

Тогда требуемое количество болтов равно 

33

,

0

27

,

2

2

51

,

1

н

ш

=

⋅

=

=

Т

n

Q

n

. Принимаем два болта диаметром 

20 мм. 

Опорный узел (рис. 4.2) решается с помощью стального башмака, состоящего из горизонтального 

опорного листа, двух вертикальных боковых фасонок и упорной диафрагмы между ними. Расчет опор-
ного узла производится на действие опорной реакции (R = 4,53 кН) и усилия в затяжке (Н = 3,02 кН). 

Проверяем  прочность  сечения  опорного  горизонтального  торца  полуарки.  Площадь  смятия  равна 

0108

,

0

3

,

0

036

,

0

=

⋅

=

A

 м. Расчетное сопротивление смятию равно  

5

,

10

41

,

0

1

3

5

,

16

1

5

,

16

sin

1

1

3

3

см.90

c

с

см

=

−

+

=

α

−

+

=

α

R

R

R

R

 МПа. 

Тогда 

19

,

4

0108

,

0

10

53

,

4

3

=

⋅

=

σ

−

 МПа < 11,2 МПа. 

Подбираем площадь сечения торца полуарки, упирающегося в вертикальную диафрагму башмака. 

Угол наклона оси полуарки в узле равен 66

0

, тогда R

см.

α

= 2,29 МПа (при sin

α = 0,91). Определяем тре-

буемую площадь диафрагмы из условия прочности на смятие 

0013

,

0

29

,

2

10

02

,

3

3

см.α

тр

=

⋅

=

=

−

R

N

А

 м

2

. Принима-

ем диафрагму сечением b 

× h = 0,036×0,04 м, площадью 0,00144 м

2

> А

тр

 = 0,0013 м

2

. 

Для  крепления  конца  полуарки  к  фасонкам  принимаем  болты  диаметром  2  см;  работают  симмет-

рично при числе швов n

ш 

= 2 и толщине сечения полуарки b = c = 0,036 м под углом смятия 

α = 90 – 24 

= 66

° к волокнам древесины. Определяем необходимое количество болтов. 

Несущая способность болта в одном срезе равна с учетом k

α 

= 0,63 [9]: 

– при изгибе 

94

,

7

63

,

0

2

5

,

2

5

,

2

2

2

н

=

⋅

=

=

α

k

d

Т

 кН, 

 

– при смятии древесины 

27

,

2

63

,

0

2

6

,

3

5

,

0

5

,

0

н

=

⋅

⋅

⋅

=

=

α

сdk

Т

 кН. 

Определим  требуемое  количество  болтов  по  формуле  (4.8) 

1

,

0

27

,

2

2

48

,

0

н

ш

=

⋅

=

=

Т

n

Q

n

.  Принимаем  два 

болта диаметром 20 мм. 

Определяем  толщину  опорного  листа,  который  работает  на  изгиб  от  давления  торца  полуарки 

(

19

,

4

см

1

=

σ

=

q

 МПа) и реактивного давления фундамента (

5

,

0

30

6

,

3

19

,

4

2

1

1

2

=

=

=

l

l

q

q

 МПа). Длина торца равна 

l

1 

= b = 3,6 см, длина листа – l

1 

= b = 30 см и расчетная ширина сечения (b) – 1 см. Определяем изгибающий 

момент  

0049

,

0

8

6

,

3

19

,

4

30

5

,

0

8

2

2

2

1

1

2

2

2

=

⋅

−

⋅

=

−

=

l

q

l

q

M

 кН

⋅м. 

Расчетное сопротивление стали равно 240 МПа, тогда требуемый момент инерции определяется по фор-

муле 

6

3

10

02

,

0

240

10

0049

,

0

тр

−

−

⋅

=

⋅

=

=

R

M

W

 м

3

, и требуемая толщина будет равна 

3

тр

10

6

,

0

6

−

⋅

=

=

δ

l

W

 м. Прини-

маем толщину листа равной 10 мм. 
 

4.2   ИСПЫТАНИЕ ТРЕХШАРНИРНОЙ СТРЕЛЬЧАТОЙ АРКИ 

 

С помощью специальных приспособлений для подвески груза на арку в 9 точках передается со-

средоточенная нагрузка. Для этого арку поделили на 8 участков по 0,5 м (рис. 4.4). В процессе ис-
пытаний  с  помощью  индикатора  часового  типа  ИЧ-10  замерялись  значения  прогибов  (табл.  4.3  и 
4.4). Место контакта индикатора с поверхностью конструкции должно быть гладким, поэтому ис-
пользовали металлическую пластину. 
Испытания проводились следующим способом. В точке 7 был установен индикатор, с помощью ко-

торого замерялись значения прогибов при поочередном нагружении участков нагрузкой от 0 до 250 Н.  

 

4.3   ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗНА-

ЧЕНИЯ ПРОГИБОВ В ТОЧКЕ 7 

 

Нагрузка (Р), кг 

№ участка 

нагружения 

0 

50 

100 

150 

200 

250 

Показания индикатора 

9,6 

9,63 

9,72 

9,76 

9,83 

9,9 

2 

Экспериментальный прогиб (f

э

), мм 

– 

0,03 

0,09 

0,04 

0,07 

0,07 

Показания индикатора 

9,5 

9,57 

9,68 

9,77 

9,87 

10,06 

3 

Экспериментальный прогиб (f

э

), мм 

– 

0,07 

0,11 

0,09 

0,1 

0,19 

Показания индикатора 

9,5 

9,5 

9,64 

9,72 

9,8 

9,92 

4 

Экспериментальный прогиб (f

э

), мм 

– 

0 

0,14 

0,08 

0,08 

0,12 

Показания индикатора 

9,5 

9,5 

9,56 

9,57 

9,58 

9,59 

5 

Экспериментальный прогиб (f

э

), мм 

– 

0 

0,06 

0,01 

0,01 

0,01 

Показания индикатора 

9,6 

9,58 

9,56 

9,4 

9,31 

9,19 

6 

Экспериментальный прогиб (f

э

), мм 

– 

–0,02 

–0,02 

–0,16 

–0,09 

–0,12 

Показания индикатора 

9,75

9,65 

9,58 

9,36 

9,28 

9,2 

7 

Экспериментальный прогиб (f

э

), мм 

– 

–0,1 

–0,07 

–0,2 

–0,1 

–0,08 

Показания индикатора 

9,66

9,52 

9,4 

9,28 

8,9 

8,72 

8 

Экспериментальный прогиб (f

э

), мм 

– 

–0,14 

–0,12 

–0,12 

–0,38 

–0,18 

 
Определим теоретическую величину максимального прогиба от сосредоточенной нагрузки (Р = 

250 кг), действующей в центре арки  

0064

,

0

10

0000052

,

0

48

10

4

5

,

2

48

5

3

3

4

5

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

−

EI

Pl

f

 м, 

 

Рис. 4.4   Схема для измерения прогибов клеедеревянной арки:  

1 – устройство, передающее нагрузку; 2 – индикатор часового типа ИЧ-10;  

3 – клеедеревянная арка; 4 – затяжная муфта 

2 

4 

1 

4000 

3 

500 

500 

500 

500 

500 

500 

500 

500 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9