Оптические гироскопы - часть 23

 

93

резонатором,  и  это  понятно,  т.к.  к  волноводу  предъявляются  те  же 
требования, что и к резонатору. 
 

Мы  рассмотрели  интерференцию  двух  волн,  но  на  самом  деле  при 

распространении  электромагнитной  волны  в  световоде  происходит 
многолучевая  интерференция  и  условие (3.1) является  более  жестким  по 
углам 

θ. 

 

3.1.2. Моды распространения 

 

Пусть на входе световода волна с частотой 

f

π

=

ω 2 . Нужно определить 

под какими углами 

θ волна будет распространяться в световоде. 

 

Перепишем (3.1) в  виде 

a

n

k

2

sin

π

=

θ

.  Пусть  в  простейшем  случае 

n

=1, 

тогда  умножив  на 

с

,  получим 

a

c

ck

2

sin

π

=

θ

.  Введем  так  называемую 

критическую частоту 

ω

кр,

 ее период 

Т

кр

 и длину волны 

λ

кр 

а

с

а

Т

а

с

кр

кр

кр

4

;

4

;

2

=

λ

=

π

=

ω

. 

 

Тогда (3.1) можно записать в виде  

0

sin

=

ω

ω

−

θ

кр

n

   

 

 

 

(3.2) 

отсюда  следует,  что  при 

ω   <  ω

кр

  распространение  волн  вдоль  световода 

невозможно, 

ω

кр

 – критическая  частота  (наименьшая  частота,  а 

λ

кр

 – 

соответственно  наибольшая  длина  волны).  При  каждом  значении 

ω   мы 

будем иметь набор 

n

θ

, удовлетворяющих условию (3.2) 

Рис. 3.4 

 

 

94

)

arcsin(

ω

ω

=

θ

кр

n

n

,    (3.3) 

где 

n

 = 1, 2,…, 

N

. 

N

  определяется неравенством   

N

ω

кр

 

≤

 

ω

 

≤

 (

N

+1) 

ω

кр

. 

 

Каждое  такое  решение  уравнения (3.3) называется  модой 

распространения.  Зависимости  углов 

θ

  от  частоты  приведены  на  рис. 3.4. 

Причем, при фиксированной частоте

ω

 можно найти набор 

n

θ

, для которых 

выполняются фазовые условия и которые определяют угол распространения 
электромагнитного поля в данной моде. 
 

И  наоборот  при  фиксированном 

θ

  имеем  набор  частот  мод  или 

собственных частот световода. В пределе, когда 

ω

 очень велика, получается 

квазиосевая волна (рис.3.5). 

Рис.3.5 

 
 

Фазовая  скорость  электромагнитного  поля  в  световоде  определяется 

выражением 

θ

ω

=

β

ω

=

cos

k

v

ф

, 

или с учетом (3.2)                     

2

2

2

1

ω

ω

−

=

кр

ф

n

C

v

. 

Групповая скорость электромагнитного поля в световоде равна  

2

2

2

1

ω

ω

−

=

β

ω

=

кр

гр

n

c

d

d

v

. 

Какая мода будет распространяться в световоде при заданной 

ω ? Мы 

видели,  что  их  может  быть  несколько.  Общее  решение  будет  линейной 

 

95

комбинацией  этих  мод  с  коэффициентами,  зависящими,  в  основном,  от 
условий на концах световода.  

Одним  из  наиболее  важных  и  интересных  режимов  распространения 

света  в  волноводе  является  так  называемый  одномодовый  режим 
распространения.  Из  рис.3.4  очевидно,  что  такой  режим  имеет  место  при 
выполнении неравенства 

ω

кр

 

≤  ω  ≤  2ω

кр

 

.    (3.4) 

или  переходя  к  длинам  волн 

4

2

кр

кр

а

λ

≥

≥

λ

.  Из  полученного  выражения 

следует, что получение одномодового режима распространения света требует 
изготовления световода диаметром менее одного микрометра. 

 

3.1.3. Диэлектрический световод 

 

 

Рассмотрим  теперь  диэлектрический  световод,  более  реально 

отражающий  распространение  света  в  волокне.  В  волокне  свет 
распространяется в сердцевине, окруженной диэлектрической оболочкой (см. 
рис. 3.1). Коэффициенты  преломления  сердцевины 

1

1

ε

=

n

  и  оболочки 

2

2

ε

=

n

 

должны удовлетворять условиям 

ε

2

 

< 

ε

1

; 

n

2

 

< 

n

1

, 

 где 

ε

1

  и 

ε

2

 

–  диэлектрические  проницаемости  сердцевины  и  оболочки, 

соответственно.  В  этом  случае  свет,  падающий  из  сердцевины  на  границу 
раздела  сердцевина-оболочка,  испытывает  полное  внутреннее  отражение 

(рис. 3.6). 

Рис.3.6 

 

96

 

Рассмотрим  подробнее.  Пусть  в  среде 1 (сердцевине)  плоская  волна 

имеет компоненты волнового вектора 

1

k

G

, равные 

α (по оси x) и β (по оси z). 

При  этом 

1

1

n

k

k

=

G

.  В  среде 2 (оболочке)  имеем  компоненты  волнового 

вектора 

2

k

G

,  равные 

β  (по  оси  z)  и  –iγ  (по  оси  x).  При  этом 

2

2

kn

k

=

G

. 

Проекции волновых векторов на ось z одинаковы, в то время как проекция на 
ось  x  в  оболочке  чисто  мнимая  при  выполнении  условия  полного 
внутреннего отражения по углу падения 

ϕ: 

ϕ > ϕ

пред

; (

1

2

sin

n

n

пред

=

ϕ

)  или 

θ < θ

пред

. 

В этом случае косинус угла преломления 

ψ становится мнимым  

1

cos

1

sin

sin

1

cos

2

2

2

2

1

2

1

2

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕ

±

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕ

±

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕ

−

±

=

ψ

n

n

n

n

n

n

i

i

. 

Выбирая знак (–) перед корнем, находим проекцию волнового вектора 

2

k

G

 на 

ось  х: 

γ

−

=

ψ

i

kn cos

2

,  тогда 

1

cos

2

2

2

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

θ

=

γ

n

n

kn

,  а  поле  в  среде 2 будет 

равно  

x

z

t

i

x

k

z

k

t

i

r

k

t

i

y

e

e

E

e

E

e

E

E

x

z

γ

−

β

−

ω

−

−

ω

⋅

−

ω

=

=

=

)

(

0

)

(

0

)

(

0

)

2

(

2

2

2

G

G

,  

где 

θ

=

ψ

=

β

cos

sin

2

2

kn

kn

. 

Таким образом, получаем волну, бегущую вдоль оси 

z

, и в то же время 

экспоненциально затухающую вдоль оси 

x

 по мере проникновения во вторую 

среду.  Итак,  по  обе  стороны  от  сердцевины  световода  две  экспоненциально 
затухающие волны. Внутри сердцевины световода формально все точно так 
же как и в металлическом световоде. Суперпозиция падающей и отраженной 
волн дает бегущую вдоль оси z волну и стоячую вдоль оси 

х

 (рис. 3.7). 

)

(

0

)

1

(

z

t

i

y

e

E

E

β

−

ω

=

⎩

⎨

⎧

+

=

−

α

=

−

α

1

2

sin

2

cos

m

n

x

m

n

x

. 

Отличие  состоит  в  дополнительном  фазовом  сдвиге,  обусловленном 

полным внутренним отражением. Запишем условие согласования фаз. Пусть 
δ - фазовый  сдвиг,  возникающий  при  полном  внутреннем  отражении  от 
каждой границы раздела сред. Полный набег фазы при прохождении волны 
от стенки до стенки и обратно должен быть кратен целому числу 2

π. 

π

=

δ

+

θ

2

2

sin

4

1

n

kn

.