|
|
|
содержание .. 1 2 3 ..
случайная
составляющая
погрешности
многократных
измерений
"
∆
x
x
t S
=
< >
α
,
(5)
где
t
α
-
безразмерный
коэффициент
доверия
(
коэффициент
Стьюдента
)
.
Коэффициент
доверия
показывает
,
во
сколько
раз
нужно
увеличить
среднее
квадратическое
отклонение
среднего
,
чтобы
при
заданном
числе
из
-
мерений
получить
заданную
надежность
их
результата
.
Коэффициент
доверия
сложным
образом
зависит
от
надежности
и
числа
измерений
,
и
его
значение
определяют
по
статистическим
таблицам
(
приложение
1
).
При
расчете
случайной
погрешности
задаются
надежностью
измерений
,
ко
-
торую
(
в
зависимости
от
целей
измерений
и
требований
к
ним
)
принимают
равной
0,9; 0,95; 0,96; 0,98; 0,99; 0,997; 0,999.
!
Чем
больше
доверительная
вероятность
,
тем
надежнее
оценка
интервала
и
,
вместе
с
тем
,
шире
его
границы
.
Полная
погрешность
∆
x
прямых
измерений
равна
квадратичной
сумме
ее
составляющих
:
инструментальной
∆
a
и
случайной
∆
x
"
2
2
x
a
x
∆
+
∆
=
∆
,
(6)
2.3.
Промахи
Обработку
прямых
измерений
рекомендуется
начинать
с
проверки
отсче
-
тов
на
наличие
промахов
.
Существует
много
критериев
выявления
и
отбрасы
-
вания
промахов
,
но
ни
один
из
них
не
является
универсальным
.
Выбор
крите
-
рия
зависит
от
цели
измерений
,
но
решение
отбросить
какие
-
то
данные
,
в
ко
-
нечном
счете
,
всегда
субъективно
.
Сформулируем
,
так
называемый
,
критерий
Шовене
[3].
Из
полученного
рядя
,
содержащего
N
отсчетов
,
выбирается
аномальный
отсчет
x
k
и
вычис
-
ляется
модуль
его
отклонения
от
среднего
значения
в
долях
выборочного
среднего
квадратического
отклонения
:
x
k
S
x
x
Z
−
=
.
(7)
Затем
вычисляется
вероятность
этого
отклонения
,
а
также
ожидаемое
число
n
измерений
,
которые
дадут
отсчеты
,
имеющие
отклонение
Z
не
меньшее
,
чем
испытуемый
.
Если
получено
n<0.5 (
при
округлении
до
целого
n=0),
то
отсчет
x
k
считается
промахом
.
Эту
процедуру
можно
изменить
и
вычислить
ожидае
-
мое
число
M
отсчетов
,
среди
которых
будет
хотя
бы
один
аномальный
.
Если
M>N,
то
отсчет
x
k
считается
промахом
.
Связь
между
M
и
Z
приведе
-
на
в
приложении
3.
#
Алгоритм
обработки
прямых
измерений
1
.
Определить
инструментальную
погрешность
.
2.
Вычислить
среднее
значение
серии
измерений
формула
(2)
3.
Вычислить
среднее
квадратическое
отклонение
отсчета
формула
(3)
Если
промах
устранен
,
то
перейти
к
5;
иначе
к
4.
4.
Проверить
отсчеты
на
наличие
промаха
:
•
отобрать
аномальный
отсчет
;
•
вычислить
его
относительное
отклонение
формула
(7)
•
определить
ожидаемое
число
отсчетов
,
среди
которых
может
быть
аномальный
приложение
3
•
если
это
число
больше
числа
отсчетов
,
то
исключить
аномальный
отсчет
и
перейти
к
2;
иначе
перейти
к
5.
5.
Вычислить
выборочное
среднее
квадратическое
отклонение
среднего
значения
формула
(4)
6.
Определить
коэффициент
доверия
для
заданной
надежности
и
полученного
числа
отсчетов
приложение
1
7.
Вычислить
случайную
погрешность
формула
(5)
8.
Вычислить
полную
погрешность
формула
(6)
9.
После
округлений
результат
обработки
измерений
записать
в
форме
:
(
)
.
%;
100
.;
)
(
α
δ
⋅
>
<
∆
=
∆
±
>
<
=
x
x
∕
Ÿ
x
x
x
Иногда
необходимо
объединить
результаты
нескольких
серий
прямых
измерений
одной
и
той
же
физической
величины
.
Эту
задачу
можно
решить
следующим
образом
.
Пусть
результаты
M
измерений
представлены
в
виде
x
x
x
=<
> ±
1
1
∆
,
x
x
x
=<
> ±
2
2
∆
,
. . .
,
x
x
x
M
M
=<
> ±∆
.
Наилучшее
значение
<
>
x
и
его
погрешность
∆
x
вычисляются
по
формулам
:
"
∑
∑
=
=
>=
<
M
m
m
M
m
m
m
w
x
w
x
1
1
,
2
1
1
−
=
=
∆
∑
M
m
m
w
x
(8)
где
(
)
2
1
m
m
x
w
∆
=
-
статистический
вес
каждой
серии
измерений
.
11
1
2
3.
ОБРАБОТКА
КОСВЕННЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
Пусть
(
)
u
f
x y
=
,
,...
функциональная
зависимость
между
измеряемой
величиной
u
и
величинами
x y
,
,...
,
значения
которых
найдены
прямыми
измерениями
.
Действительное
значение
<
>
u
определяется
как
:
"
(
)
<
>=
<
> <
>
u
f
x
y
,
,...
.
(9)
Получим
выражение
для
погрешности
∆
u
.
Если
зафиксировать
значения
всех
аргументов
кроме
одного
,
например
x
,
то
приращение
функции
при
изме
-
нении
ее
аргумента
имеет
вид
:
"
(
)
(
)
∆
∆
x
u
f
x
x
y
f
x
y
=
<
> +
<
>
−
<
> <
>
,
,...
,
,...
.
(
1
0)
Если
значение
∆
x
мало
,
то
в
интервале
[
,
]
<
> −
<
> +
x
x
x
x
∆
∆
функ
-
цию
u
f
x
=
( )
можно
считать
линейной
и
"
(
)
x
x
f
u
x
∆
⋅
≈
∆
∂
∂
.
(
11
)
Величина
∆
x
u
характеризует
погрешность
∆
u
,
обусловленную
погреш
-
ностью
∆
x
.
Аналогично
определяются
составляющие
погрешности
∆
u
,
вно
-
симые
другими
аргументами
.
Полная
погрешность
∆
u
косвенных
измерений
u
вычисляется
либо
с
помощью
квадратичного
суммирования
либо
суммиро
-
вания
по
модулю
ее
составляющих
,
вносимых
каждым
аргументом
:
(
)
(
)
...
2
2
+
∆
+
∆
=
∆
y
x
u
(
1
2)
"
...
+
∆
+
∆
=
∆
y
x
u
.
(
1
3)
Соотношения
(
1
2)
применяется
в
том
случае
,
когда
выполняются
два
усло
-
вия
.
Во
-
первых
,
погрешность
аргументов
обусловлена
влиянием
многих
фак
-
торов
,
среди
которых
нет
преобладающего
фактора
.
Во
-
вторых
,
погрешности
аргументов
статистически
не
связаны
.
В
остальных
случаях
используется
со
-
отношение
(
1
3).
Однако
правило
суммирования
(
1
3)
часто
приводит
к
завы
-
шенному
значению
погрешности
косвенных
измерений
.
Более
подробные
све
-
дения
о
суммирования
погрешностей
приведены
в
разделе
8.
Пример
.
Пусть
значение
сопротивления
на
участке
цепи
постоянного
тока
опреде
-
ляется
по
результатам
прямых
измерений
тока
и
напряжения
на
этом
участке
.
Если
погрешность
измерения
тока
и
напряжения
обусловлены
влиянием
многих
факторов
(
температуры
,
внутренних
сопротивлений
амперметра
и
вольтметра
,
электрических
наводок
,
нестабильности
источника
питания
и
др
.),
то
при
суммировании
погрешностей
лучше
использовать
формулу
(
1
2).
Если
погрешность
прямых
измерений
обусловлена
в
основном
случайным
изменением
внутреннего
сопротивлением
источника
питания
,
то
лучше
применить
формулу
(
1
3).
Соотношения
(9-
1
2)
позволяют
использовать
два
алгоритма
обработки
кос
-
венных
измерений
.
В
одном
из
них
необходимо
найти
аналитические
выраже
-
ния
для
частных
производных
,
в
другом
-
используются
только
численные
ме
-
тоды
.
В
приложении
3
приведены
формулы
для
вычисления
погрешности
пер
-
вым
способом
для
некоторых
часто
встречающихся
на
практике
функциональ
-
ных
связей
.
#
Алгоритм
обработки
косвенных
измерений
1
.
По
известной
зависимости
измеряемой
величины
от
её
аргументов
,
значения
которых
найдены
с
помощью
прямых
измерений
,
вычислить
действительное
значение
функции
формула
(9)
2.
Вычислить
составляющие
погрешности
как
приращения
функции
по
каждому
аргумент
у
формула
(
1
0)
или
найти
частные
производные
по
всем
аргументам
и
вычислить
составляющие
погрешности
формула
(
11
)
3.
Вычислить
полную
погрешность
функции
формула
(
1
2)
формула
(
1
3)
4.
После
округлений
результат
обработки
измерений
записать
в
форме
:
(
)
.
%;
100
.;
)
(
α
δ
⋅
>
<
∆
=
∆
±
>
<
=
u
u
∕
Ÿ
u
u
u
Часто
измеряемая
величина
p
является
параметром
функциональной
за
-
висимости
)
,
(
p
x
f
y
=
величин
x
и
y
,
которые
находят
в
результате
серии
прямых
измерений
с
однократными
наблюдениями
.
В
этом
случае
случайную
составляющую
погрешности
косвенных
измерений
p
∆
определяют
с
помо
-
щью
обработки
вычисленных
значений
p
F x
y
m
m
m
=
(
,
)
по
методике
обра
-
ботки
прямых
измерений
(
здесь
m
=
1
..M,
где
M -
число
однократных
наблюде
-
ний
величин
x
и
y
).
Погрешность
косвенных
измерений
функции
,
как
правило
,
больше
погреш
-
ности
прямых
измерений
ее
аргументов
.
Однако
в
некоторых
частных
случаях
это
правило
может
нарушаться
.
Рассмотрим
такой
частный
случай
на
примере
измерения
периода
колебаний
.
1
3
1
4
!
Пример
.
Пусть
при
прямом
измерении
периода
колебаний
с
помощью
секундоме
-
ра
получено
значение
T=2,0
±
0,2
с
.
Тем
же
секундомером
период
можно
измерить
кос
-
венно
,
зафиксировав
время
t=200
±
0,2
с
,
за
которое
совершилось
N=
1
00
колебаний
.
То
-
гда
период
T=t/N,
т
.
е
. T=2,000
±
0,002
с
.
Говорить
о
том
,
что
в
данном
случае
полная
погрешность
измерения
меньше
инструментальной
погрешности
некорректно
,
так
как
речь
идет
об
измерении
разных
величин
,
а
именно
:
прямом
измерении
времени
и
кос
-
венном
измерении
периода
.
Последний
вид
измерений
непосредственно
не
связан
с
инструментальной
погрешностью
.
4.
ПРАВИЛА
ОКРУГЛЕНИЯ
ПРИБЛИЖЕННЫХ
ЧИСЕЛ
.
Незначащими
цифрами
числа
называются
нули
в
начале
десятичных
дро
-
бей
,
меньших
1
,
и
нули
в
конце
числа
,
заменившие
цифры
,
отброшенные
после
округления
.
Остальные
цифры
называются
значащими
.
Сомнительной
цифрой
результата
измерения
называется
цифра
,
стоящая
в
разряде
,
соответствующем
старшему
разряду
со
значащей
цифрой
в
значении
погрешности
.
Цифры
,
стоящие
слева
от
сомнительной
называются
верными
,
а
справы
неверными
.
Примеры
.
Числа
30
2000
;
03
,
0
00
,
1
;
00002
,
0
00234
,
0
;
6
586
±
±
±
±
содержат
по
три
значащие
цифры
.
При
округлении
числа
2 9 9 7 9 3
1
±
до
значения
3
1 0
5
⋅
допущена
погрешность
2 0 7
,
поэтому
в
полученном
числе
сотни
являются
сомнительной
цифрой
и
,
следовательно
,
последние
два
нуля
-
незначащие
.
Погрешность
обычно
выражается
одной
значащей
цифрой
и
лишь
при
особо
ответственных
измерениях
-
двумя
.
"
Округление
погрешности
и
действительного
значения
.
Погрешность
округляется
до
одной
значащей
цифры
.
Эта
цифра
является
сомнительной
т
.
к
.
значение
погрешности
не
имеет
верных
цифр
.
Действительное
значение
округляется
до
цифры
,
разряд
которой
равен
разряду
значащей
цифры
погрешности
.
Последняя
цифра
действительно
-
го
значения
сомнительная
,
остальные
цифры
-
верные
.
При
особо
точных
измерениях
погрешность
округляется
до
двух
значащих
цифр
,
если
первая
их
них
меньше
4-
х
и
до
одной
цифры
,
если
первая
цифра
больше
3-
х
.
Ино
-
гда
в
качестве
второй
цифры
оставляют
0
или
5.
Запись
чисел
,
считанных
со
шкалы
прибора
.
В
числовом
значении
измеряемой
величины
,
считанном
со
шкалы
прибора
,
записываются
только
верные
цифры
и
сомнительная
цифра
,
разряд
которой
определяется
по
значению
инструментальной
погрешности
прибора
.
"
Округление
чисел
.
Лишние
цифры
у
целых
чисел
заменяются
нулями
,
а
у
десятичных
дробей
отбрасываются
.
Если
заменяемая
нулем
или
отбрасываемая
цифра
старшего
разряда
меньше
5,
то
оставшиеся
цифры
не
изменяются
.
Если
указанная
цифра
больше
5,
то
последняя
оставшаяся
цифра
увеличивается
на
1
.
Если
заменяе
-
мая
нулем
или
отбрасываемая
цифра
равна
5,
то
округление
производится
сле
-
дующим
образом
:
последняя
цифра
в
округленном
числе
остается
без
измене
-
ния
,
если
она
четная
,
и
увеличивается
на
1
,
если
она
нечетная
.
"
Округление
при
вычислениях
.
При
записи
результатов
промежуточных
вычислений
сохраняется
одна
за
-
пасная
цифра
цифра
,
стоящая
справа
от
сомнительной
.
При
сложении
и
вычитании
приближенных
чисел
разряд
сомнительной
цифры
результата
сов
-
падает
со
старшим
из
разрядов
сомнительных
цифр
слагаемых
.
Результат
ум
-
ножения
и
деления
содержит
столько
значащих
цифр
,
сколько
их
в
исходном
данном
с
наименьшим
количеством
значащих
цифр
.
При
возведении
в
степень
(
извлечении
корня
)
приближенного
числа
результат
должен
иметь
столько
значащих
цифр
,
сколько
их
в
основании
(
подкоренном
выражении
).
При
лога
-
рифмировании
в
мантиссе
сохраняется
столько
значащих
цифр
,
сколько
их
в
исходном
числе
.
Если
один
из
операндов
точное
число
,
то
количество
его
цифр
не
влияет
на
округление
результата
операции
.
Если
при
вычислениях
исполь
-
зуются
табличные
данные
,
то
все
их
цифры
верные
.
Квадратичное
суммирование
Если
при
квадратичном
суммировании
одно
из
чисел
меньше
другого
в
3
и
более
раз
,
то
им
можно
пренебречь
.
Приведем
примеры
округления
результатов
измерений
.
Запись
до
округления
Запись
после
округления
1
23357
±
678
А
/
м
.
1
23400
±
700
А
/
м
.
1
23357
±
678
В
.
1
23,4
±
0.7
кВ
.
237,46
±
0,
1
3
мм
237,5
±
0,
1
мм
.
0,00283
±
0,00034
кг
.
(2,8
±
0,3)
1
0
-3
кг
.
1
,045
±
0,000003
с
.
1
,045000
±
0,000003
с
.
359623
±
307
с
.
(359,6
±
0,3)
1
0
3
с
.
0,000000047
±
0,0000000098
м
.
50
±
1
0
нм
.
67.89
⋅
1
0
-7
±
49,3
⋅
1
0
-8
А
6,8
±
0,5
мкА
.
589
±
0,69
Н
.
589,0
±
0,7
Н
.
589
±
0,078
Н
.
589,00
±
0,08
Н
.
1
5
1
6
№
U,
В
1
1
45
2
1
40
3
1
45
4
1
05
5
1
30
6
1
50
7
1
50
8
1
55
9
1
75
1
0
1
60
№
U,
В
1
1
45
2
1
40
3
1
45
4
1
30
5
1
50
6
1
50
7
1
55
8
1
75
9
1
60
5.
ПРИМЕРЫ
ОБРАБОТКИ
РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЙ
Пример
5.
1
.
Обработка
прямых
измерений
.
Вольтметром
измерено
1
0
отсчетов
напряжение
U
в
электрической
цепи
.
Вольтметр
,
класс
точности
которого
K=2.5,
имеет
максимальное
значение
шкалы
,
равное
A=200
В
.
Результаты
измерений
представлены
в
таблице
.
Обработать
результаты
измерений
,
обеспечив
98%
надежность
оценки
на
-
пряжения
.
•
Вычисляем
инструментальную
погрешность
.
В
5
1
00
200
2.5
=
=
⋅
=
∆
⋅
1
00
A
K
a
•
Для
заданной
доверительной
вероятности
%
98
=
α
и
количества
отсчетов
1
0
=
N
определяем
коэффициент
доверия
2.8
=
1
0
;
98
t
(
приложение
1
).
•
Вычисляем
среднее
значение
N
U
U
N
n
n
∑
=
=
1
.
В
1
46
=
U
•
Вычисляем
среднее
квадратическое
отклонение
отсчетов
1
)
(
1
2
−
>
<
−
=
∑
=
N
U
U
S
N
n
n
U
.
В
1
8.6
=
U
S
•
Проверяем
отсчеты
на
наличие
промахов
.
Аномальным
отсчетом
является
отсчет
№
4.
Вычисляем
нормированное
от
-
клонение
4
U
от
среднего
значения
2.
1
7
1
8.6
1
46
1
05
=
−
=
−
=
U
S
U
U
z
4
.
Согласно
данным
приложения
3,
количество
опытов
,
при
котором
полу
-
ченный
отсчет
нельзя
считать
промахом
,
равно
1
7.
Это
число
больше
,
чем
1
0
=
N
.
Следовательно
,
отсчет
В
1
05
=
4
U
является
промахом
и
его
нужно
удалить
из
обрабатываемого
ряда
.
Новый
ряд
отсчетов
напряжения
(
9
=
N
,
2.9
=
9
;
98
t
)
•
Вычисляем
новое
среднее
значение
.
В
1
50
=
U
•
Вычисляем
среднее
квадратическое
отклонение
.
В
1
2.7
=
U
S
•
Вычисляем
случайную
составляющую
погрешности
В
,
4.23
9
1
2.7
=
=
=
N
S
S
U
U
В
1
2.2
4.23
2.9
=
⋅
=
⋅
=
∆
U
N
U
S
t
;
α
•
Вычисляем
полную
погрешность
абсолютную
,
В
1
0
1
3
2
1
2.2
2
5
≈
=
+
=
∆
+
∆
=
∆
2
2
U
a
U
относительную
6.6%
1
50
1
0
=
=
∆
=
U
U
U
δ
.
•
После
округлений
результат
измерения
напряжения
записываем
в
виде
:
98%
7%
В
1
0
1
50
=
=
=
±
α
δ
U
.
Пример
5.2
.
Объединение
результатов
прямых
измерений
.
В
трех
различных
условиях
измерено
сопротивление
одного
и
того
же
про
-
водника
.
Результаты
измерений
представлены
в
виде
:
.
1
Ом
2
11
±
=
R
Ом
.
2
1
2
±
=
2
R
.
Ом
3
1
0
±
=
1
R
Необходимо
объединить
эти
измерения
.
•
Находим
статистический
вес
(
вклад
)
каждого
измерения
2
Ом
1
0.25
2
1
2
=
=
∆
=
2
1
1
1
R
w
,
1
7
1
8
содержание .. 1 2 3 ..
|
|
|