МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ - ЧАСТЬ 10

pd

≤ 0.02 Па · м.

(90)

Режим течения газа по трубопроводу называется молеку-

лярно-вязкостным в пределах

5

· 10

−3

≤

λ

d

≤

1
3

,

(91)

или для воздуха при 298 K

0.02

≥ pd ≥ 1.33 Па · м.

(92)

Часто полагают, что рассмотрение турбулентного режима

можно опустить. Давайте проверим это утверждение.

Задача 4

Полагая, что типичная быстрота действия форвакуумного

насоса равна 5 л/c, определить, возможен ли турбулентный ре-
жим течения при откачке им трубопровода диаметром 1 см с
азотом от атмосферного давления до 10

−3

торр. Вязкость азота

η = 17.9

· 10

−6

Па

·с.

Решение

Сосчитаем число Рейнольдса для наших условий:

Re =

4m

πkT η

Q

d

.

(93)

Учитывая, что постоянная Больцмана k = R/N

A

, и то, что

µ = m/N

A

, получим

Re =

4µ

πRT η

Q

d

.

(94)

Оценим максимальный поток как

Q

max

= (p

H

)

max

S

H

= 10

5

· 5 · 10

−3

= 5

· 10

2

Па

· м

3

/с.

(95)

40

Тогда (R = 8.31 Дж/(моль К))для числа Рейнольдса

Re =

4

· 28 · 10

−3

3.14

· 298 · 17.9 · 10

−6

500

10

−2

= 3

· 10

5

,

(96)

то есть течение турбулентно. Для давления 1 торр получим
Re

∼ 300, то есть течение вязкостное. При давлении же

10

−3

торр длина свободного пробега

λ =

1

nσ

≈

1

10

−3

· 3.3 · 10

16

· 10

−15

≈ 30 см,

(97)

то есть режим откачки – молекулярный.

Очевидно, что проводимость трубопровода должна суще-

ственным образом зависеть от режима откачки. Рассмотрим
данный вопрос более подробно.

3.4.

Проводимости вакуумных трубопроводов

Течение газа по трубопроводам в турбулентном и вязкостном
режимах сопровождается потерями энергии на трение, которые
могут быть выражены в виде потери давления:

∆p = p

1

− p

2

,

(98)

где p

1

и p

2

– давления на концах соответствующего участка

трубопровода. Потерю давления ∆p выразим через плотность
ρ и среднюю скорость потока газа < u >= Q/(A < p >), где
“среднее давление” равно < p > = (p

1

+ p

2

)/2:

∆p = ζ

l

d

ρ < u >

2

2

,

(99)

Здесь ζ – коэффициент сопротивления, зависящий от гео-

метрических размеров, формы поперечного сечения трубопро-
вода и числа Рейнольдса Re = (ρ < u > d)/η:

ζ =

C

Re

m

,

(100)

41

где C и m – постоянные. К примеру, для турбулентных течений
(2

· 10

3

< Re < 10

5

) эти постоянные для гладких труб прини-

мают значения m = 0.25 и C = 0.32. Для вязкостного течения
(Re < 2

· 10

3

) m = 1, C = 64.

Получим выражение для проводимости цилиндра круглого

сечения в вязкостном режиме. Как следует из выражений (98)–
(100),

∆p =

C

Re

m

l

d

ρ < u >

2

2

=

64

· l

Re

· d

ρ < u >

2

2

=

64

· lη

ρ < u > d

2

ρ < u >

2

2

.

(101)

С другой стороны, поток через трубопровод определяется

проводимостью U и разностью давлений δp:

Q =< p >< u > A = ∆pU.

(102)

Здесь A = πd

2

/4 – площадь поперечного сечения трубопро-

вода. Из (101), (102) следует выражение для проводимости:

U

B

=

Q

∆p

=

< p >< u > A

∆p

=

< p >< u > πd

2

ρ < u > d

2

· 2

4

· 64lηρ < u >

2

;

(103)

U =

πd

4

128lη

< p >=

πd

4

128lη

p

1

+ p

2

2

.

(104)

Таким образом, мы получили выражение для проводимости

длинного цилиндрического трубопровода в вязкостном режиме
течения газа.

Это выражение можно переписать через длину свободного

пробега при давлении 1 Па (обозначим ее λ

1

):

U

B

= 2.82

d

4

λ

1

l



T

µ

p

1

+ p

2

2

,

(105)

или для воздуха при 293 К:

42

U

B

= 1.36

· 10

3

d

4

l

p

1

+ p

2

2

.

(106)

Для турбулентного течения газа по цилиндрическому тру-

бопроводу аналогичные выкладки приведут к следующему вы-
ражению (ρ

1

– плотность газа при давлении 1 Па):

U

T

=

1.52

ρ

3/7
1

η

1/7

d

19/7

l

4/7

(p

1

+ p

2

)

4/7

(p

1

− p

2

)

3/7

,

(107)

или через длину свободного пробега

U

T

=

1.57

λ

1/7
1



RT

µ

d

19/7

l

4/7

(p

1

+ p

2

)

4/7

(p

1

− p

2

)

3/7

.

(108)

Следует иметь в виду, что вязкостный режим течения газа

устанавливается на расстоянии 15–20 диаметров, и в случае бо-
лее коротких трубопроводов необходимо введение некоторого
поправочного коэффициента, учитывающего неустановивший-
ся режим течения.

Для предельно короткого трубопровода – отверстия с пере-

падом давлений p

− p

c

и для вязкостного, и для турбулентного

течений проводимость равна

U

B

= U

T

=

A

1

− p/p

c



RT

µ

2γ

γ

− 1

p

p

c



2/γ



1

−

p

p

c



γ

−1

γ



.

(109)

Вслучае молекулярного течения газа проводимость длин-

ного цилиндрического трубопровода длиной l и диаметром d
равна

U

M

= 38.1

d

3

l



T

M

.

(110)

Для воздуха при температуре 293 К

43