Метасистемный подход в управлении - часть 31

 

123

 

Рисунок 8.1 – Система управления уровнем безопасности региона

Уровень опас-

ных пред-тий 

Уровень опас-

ных установок 

и сооружений

Уровень опас-

ных мест 

Уровень технологий 

повышения безопасно-

сти 

Цель

 – 

по

дде

ржание

 безоп

асности

рег

ио

на

 на

 максимальном

 уровн

е 

Предпри

-

ятие

 1 

Пр

едпр

иятие

 

N

 

Уста

-

новка

 11 

Уста

-

новка

 12 

Установ

-

ка

 1M 

Опасное

 

место

 111 

Опасное

 

место

 112 

Опасное

 

место

 11K 

Объект

 уп

равлен

ия

 – 

уровен

ь 

безопасности

 реги

он

а 

Изменение внешних ус-

ловий 

Мониторинг 

безопасно-

сти 

Оптималь-
ное  перерас-
пределение 
ресурсов 
предприятия

оптимальное 
перераспре-
деление  ре-
гиональных 
ресурсов 

Выбор и реа-
лизация  оп-
тимальной 
технологии 
повышения 
безопас-сти 

Оптималь-
ное  перерас-
пределение 
ресурсов, 
выделенных 
на установку

Технология 1111 

Технология 1112 

Технология 111L 

• • •

• • •

• • •

• 

• 

• 

• 

• 

• 

значений факторов, в которых опасность от конкретного объекта повышается 
до предельной. Это необходимо для построения многомерного пространства, 
в котором конкретные условия в регионе будут давать изображающую точку 
(или некоторую область вокруг этой точки в силу приблизительности многих 
оценок),  по  движению  которой  может  быть  спрогнозирована  стратегия  на-
правления управляющих воздействий. 

Сама стратегия должна определять моменты переключения управленче-

ского  внимания,  а  также  количество  опасных  объектов,  принимаемых  во 
внимание  на  каждом  промежутке  времени.  При  этом  для  ее  разработки  мо-
жет использоваться метод, отличающийся от вышеописанного, что приведет 
к соответствующему изменению первой задачи метасистемного подхода. 

Третья  задача,  решаемая  при  метасистемном  подходе  к  управлению 

уровнем промышленной опасности в регионе, диаметрально противоположна 
обычному подходу, когда система, входящая в метасистему, заранее готови-
лась к использованию (включению) /115/. В данном случае все мероприятия 
направлены  как  раз  на  отстранение  опасного  объекта  от  попадания  в  зону 
управления.  Следовательно  критерий оптимизации, разработанный в /115/ в 
виде  разности  плотностей  вероятности  потребности  в  системе  и  готовности 
ее  к  использованию  меняется  на  разность  плотности  вероятности  (ω),  что 
внешние  и внутренние неуправляемые параметры выведут данный объект на 
предел  опасности  и  вероятности  (ω

1

)  того,  что  проводимые  мероприятия 

«уведут» его от этого 

                                                           

1

ω

−

ω

=

s

.                                        (8.1) 

 Понятно, что новый критерий должен максимизироваться в отличие от 

известного. Данный критерий требует даже прекращения эксплуатации опас-
ного промышленного объекта при достижении им критического значения. 

Таким  образом,  возникает  задача  поддержания  низкого  уровня  опасно-

сти  объекта,  за  счет  различных  мероприятий,  несмотря  на  изменение  не-
управляемых параметров. 

Внешним  (возмущающим)  процессом  при  управлении  является  резкое 

изменение  таких  параметров  как  ресурс  опасного  объекта,  неблагоприятная 
экологическая, экономическая обстановка, соседство с другими опасными и 
некоторых  других,  описываемых  вектором X. Считая  этот  процесс  марков-
ским, воспользуемся уравнением Колмогорова с правой частью: 

                                            

)

t

(

f

X

2

)

t

,

X

(

b

X

)

t

,

X

(

a

t

2

2

=

∂

ω

∂

−

∂

ω

∂

+

∂

ω

∂

,                  (8.2) 

где   а – коэффициент сноса; 

b – коэффициент диффузии; 

f(t) – возмущающее воздействие. 

Для  адекватного  функционирования  метасистема,  включающая  набор 

средств  снижения  риска  аварии,  должна  подчиняться  тому  же  уравнению, 

что и внешний процесс (для адекватного реагирования) с добавлением в пра-

 

125 

   

вой  части  управляющего  воздействия – u(X,t). Самостоятельность  метаси-

стемы выражается не только в появлении управляющих воздействий, но и в 

другой величине плотности вероятности, которая отражает вероятность при-

ближения риска аварии к недопустимой границе – ω

1

. Таким образом, урав-

нение (2) преобразуется к следующему виду:  

                       

)

t

,

X

(

u

)

t

(

f

X

2

)

t

,

X

(

b

X

)

t

,

X

(

a

t

2

1

2

1

1

+

=

∂

ω

∂

−

∂

ω

∂

+

∂

ω

∂

,                (8.3) 

Принимая, что оба процесса подвергаются одинаковым возмущениям, и 

подставляя сюда вместо f(t) его выражение из уравнения (2), после приведе-
ния подобных членов, получаем:  

                      

)

t

,

X

(

u

X

)

(

2

)

t

,

X

(

b

X

)

(

)

t

,

X

(

a

t

)

(

2

1

2

1

1

=

∂

ω

−

ω

∂

−

∂

ω

−

ω

∂

+

∂

ω

−

ω

∂

.      (8.4) 

Используя (1) преобразуем уравнение (4) к следующему виду  

                                

)

t

,

X

(

u

X

s

2

)

t

,

X

(

b

X

s

)

t

,

X

(

a

t

s

2

2

=

∂

∂

−

∂

∂

+

∂

∂

.                    (8.5) 

Теперь можно сформулировать задачу оптимизации.  
В качестве критерия оптимальности можно было бы принять сумму по-

терь от малой разности двух вероятностей и затрат на рискоснижающие ме-
роприятия, которые можно оценивать в соответствии с /115/ с помощью вир-
туальной работы управляющих воздействий: 

                                         

( )

( )

τ

π

σ

τ

=

σ

∫ ∫

∞

−

σ

−

∞

∞

−

dXd

e

2

1

,

X

u

A

t

2

X

2

2

                      (8.6) 

В данном случае принят закон распределения Гаусса с дисперсией σ для 

вероятности  отклонения  потребности  от  среднего  значения.  Однако  в  этом 
случае приходим к вырожденным уравнениям Эйлера, которые не позволяют 
определить минимум. 

Примем в соответствии с теорией аналитического конструирования оп-

тимальных  регуляторов,  предложенной  профессором  Летовым  А.М. /116/, в 
качестве критерия оптимальности сумму квадратов потерь, зависящих от раз-
ности вероятностей (1) и затрат управляющих воздействий: 

                                   

min

dt

)

qs

u

(

F

→

−

=

∫

τ

0

2

2

                                      (8.7) 

где 

q

 – размерный коэффициент. 

В такой постановке задача оптимизации включает критерий (8.7), урав-

нение (8.5) с  соответствующим  начальным  и  граничными  значениями,  иг-
рающее роль некоторых условий обязательных к выполнению. Кроме того, в 
зависимости  от  времени  начала  рискоснижающих  мероприятий  по  отноше-
нию  к  возникающей  возможности  повышения  опасности,  меняется  интен-
сивность  проведения  этих  мероприятий  и  соответственно  затраты  на  управ-

 

126 

   

ление. Это означает, что имеет место задача с подвижной верхней границей, 
а,  значит,  на  этой  границе  должно  выполняться  условие  трансверсальности 
экстремалей функционала (8.7) кривой, по которой скользит верхняя грани-
ца.  

Таким  образом,  сформулированная  задача  позволяет  определить  опти-

мальный закон изменения управляющих воздействий, направляемых на под-
держание вероятности повышения опасности на приемлемом уровне во вре-
мени и в зависимости от изменения внешних условий.  

Данная задача оптимизации относится к классу задач на условный экс-

тремум  и  сводится  к  классическому  случаю  с  помощью  одного  множителя 
Лагранжа 

λ

: 

               

min

dt

)

u

x

s

b

x

s

a

dt

ds

qs

u

(

F

→













−

∂

∂

+

∂

∂

+

λ

+

−

=

∫

τ

0

2

2

2

2

1

2

              (8.8). 

Для  нахождения  экстремалей  данного  функционала  составляем  три 

уравнения Эйлера: 

                                               

;

0

=

∂

∂

−

∂

∂

s

f

dt

d

s

f

&

 

                                               

;

0

=

∂

∂

−

∂

∂

u

f

dt

d

u

f

&

  

                                                

0

=

∂

∂

−

∂

∂

λ

λ

&

f

dt

d

f

                                           (8.9) 

где 

f

 – подынтегральное  выражение  функционала (8.8). Здесь  точка 

сверху символа означает производную по времени. 

Выполняя дифференцирование, имеем: 

                                               

;

dt

d

qs

0

2

=

λ

−

−

 

                                               

;

u

0

2

=

λ

+

 

                                               

;

0

2

dt

ds

2

2

=

−

∂

∂

+

∂

∂

+

u

x

s

b

x

s

a

                        (8.10) 

Сюда  же  добавляем  условия  трансверсальности  на  подвижной  верхней 

границе функционала /117/ 

                                                 

0

|

)

)

(

(

'

=

−

+

=

τ

ϕ

t

s

f

s

f

&

&

&

                             (8.11) 

где   

φ

 - уравнение

 

кривой,  по  которой  скользит  верхний  предел  функ-

ционала.  Здесь  штрих  сверху  символа  означает  дифференцирование  по 
параметру, приведенному в качестве нижнего индекса.  

Для использования этого условия необходимо знать зависимость разно-

сти  вероятностей 

s

  от  интенсивности  проведения  рискоснижающих  меро-

приятий. Очевидно, что чем выше эта интенсивность (обусловленная резким 
изменением  условий)  тем  больше  вероятность  того,  что  подготовительные 
мероприятия в срок не завершатся. Поэтому примем указанную зависимость 
в первом приближении линейной.