Метасистемный подход в управлении - часть 12

 

47

                                      

∑ ∑

≤

∑

= = =

L n

i

j

загр

пл

i

m

j

ij

Ф

K

X

t

1 1 1

ν

τ

τ

ν

,                 

(3.7) 

где  

ij

t - трудоемкость изготовления заказа i –го вида по j – ой технологиче-

ской структуре; 

τ

j

Ф - полезный фонд времени работы по j – ой технологической структу-

ре в 

τ – ом плановом периоде; 

К

пл

загр

 – плановый коэффициент загрузки оборудования; 

- по объему выпуска 

                                            

∑ ∑

≥

= =

L n

i

пл

i

i

С

X

C

1 1

ν

τ

τ

ν

,                 

(3.8) 

где  

С

пл

τ

 – программа выпуска заказов за 

τ – ый период планирования; 

- по признаку включения заказов в программу 

     







−

−

−

=

;

0

,

,

1

случае

противном

в

период

плановый

ый

в

включен

заказ

ый

i

если

X

i

τ

τ

ν

 

(3.9); 

- по ресурсам (металлу) 

                                         

∑ ∑

≤

∑

= = =

M L

i

i

n

i

н

i

M

X

M

1

1 1

ϕ ν

τ

ϕ

τ

ν

ϕ

,                 

(3.10) 

где 

М

iφ

н

 – норма расхода 

φ – го металла на i – ый заказ; 

      М

iφ

τ

 – наличный объем 

φ – го металла; 

- по заработной плате 

                                          

∑∑

≤

∑ ∑

i j

н

i

ij

ij

З

X

t

P

τ

τ

ν

ν

ψ

ψ

ψ

,                 

(3.11) 

где  P

ijψ

 – расценка; 

 

48

        t

ijψ

 – разряд; 

       З

н

τ

 – норматив заработной платы. 

Однако в этой модели затраты на организацию производства продукции 

рассматриваются  как  общее  ограничение  и  не  участвуют  в  формировании 

значения целевого критерия. Кроме того, не учитываются вероятностный ха-

рактер дохода, а также эффекты от эмерджентных свойств метасистем и свя-

занный с ними вид подключения технологических структур к ГПС. Обсудим 

эти вопросы подробнее. 

Исходя  из  концепции,  сформулированной  в  разделе 2.1, выделяем  два 

процесса: формирование спроса на рынке на данный вид продукции и подго-
товка и запуск изготовления данного вида продукции в технологической сис-
теме, например, в некой обобщенной ГПС. Ясно, что уже на этапе проекти-
рования автоматизация должна быть рассчитана на производство продукции 
с максимальной прибылью. 

Проведем  вероятностную  оценку  прибыли  от  текущей  реализации  про-

дукции.  Вероятность  того,  что  скалярный  марковский  случайный  процесс  

)

,

(

ω

ξ

t

(колебания цены на продукцию на рынке) в течение интервала времени 

)

,

(

τ

t

 превзойдет  значение  ее  себестоимости  для  данной  ГПС,  определяется 

равенством 

                                     

( )

( )

∫

=

∞

l

C

l

dy

y

W

P

,

τ

τ

    

s

l

,...,

1

=

,                        (3.12)

 

где  

)

,

( y

W

l

τ

– условная функция плотности вероятности,  y – значения цены,  

l

C

-  себестоимость  данного  вида  продукции,  s –  количество  видов  про-

дукции  (ассортимент),  учитываемых  при  расчете.  Тогда  средняя  величина 

превышения цены над себестоимостью определится интегралом                                         

                                 

( )

∫

=

∆

∞

l

C

l

ср

dy

y

yW

Ц

,

τ

   

s

l

,...,

1

=

.                         (3.13)

 

Поскольку процесс считается марковским, условная функция плотности 

вероятности  удовлетворяет  уравнению  Фоккера - Планка – Колмогорова 
(ФПК). 

Считая  переменную  цену  подчиняющейся  стохастической  модели  со-

стояния в форме Стратоновича 

 

49

                               

( )

( )

( )

(

)







=

+

−

=

,

,

0

,

,

,

,

0

2

x

t

dw

m

dt

t

t

d

ω

ξ

ω

ω

αξ

ω

ξ

                     (3.14) 

где  

( )

ω

,

t

w

 - винеровский случайный процесс,  

2

, m

α

 –  параметры  модели,  приходим  к  необходимости  решения  сле-

дующей смешанной задачи для уравнения ФПК 

                               

( )

( )

(

)

( )

( ) ( )
(

)

(

)



















=

∞

=

=

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

.

0

,

,

;

,

0

;

,

2

,

,

2

2

2

τ

τ

δ

τ

τ

α

τ

l

l

l

l

l

l

l

W

C

W

y

y

W

y

W

y

m

y

yW

y

t

y

W

        

(3.15) 

Решение  данной  задачи  проведено  в /21/ и  выражается  через  функцию 

параболического цилиндра 

( )

z

D

ν

. Подставляя его в формулу (3.13), получим 

            

∑

∫

























−











−

=

∆

∞

=

∞

1

2

2

2

2

2

exp

2

exp

k

C

k

k

ср

l

dy

y

m

D

m

y

y

c

Ц

α

α

τ

αν

ν

,      (3.16) 

где 

k

ν

- корни уравнения 

(

)

0

/

2

2

=

m

C

D

l

α

ν

, 

с

k

 - нормирующий множитель вычисляется по формуле 

                                 

K

,

2

,

1

,

2

2

1

2

=















∫













=

−

∞

k

dy

y

m

D

c

l

k

c

k

α

ν

 .                   (3.17) 

Определим теперь среднее время пребывания цены на продукцию в об-

ласти превышения над себестоимостью. Пусть 

( )

z

f

ρ

 - функция плотности ве-

роятности времени пребывания скалярного марковского процесса в заданной 
области.  Если  в  момент  времени  τ  значения  рассматриваемого  случайного 
процесса (цены на продукцию) еще ни разу не достигали границ области, то 
время ρ их пребывания там будет не менее чем 

t

−

τ

. Вероятность реализации 

этого события равна 

                                                

( )

∫

∞

−t

dz

z

f

τ

ρ

.                                             (3.18) 

С другой стороны, эта же вероятность определяется через плотность ве-

роятности 

                                    

( )

( )

∫

=

∫

∞

∞

−

l

C

l

t

dy

y

W

dz

z

f

,

τ

τ

ρ

.                                   (3.19) 

Таким образом, 

 

50

                            

( )

( )

∫

∂

∂

−

=

′

−

=

∞

+

=

+

=

l

C

z

t

l

z

t

dy

W

P

z

f

τ

τ

ρ

τ

τ

|

|

.                   (3.20) 

Математическое  ожидание  времени  пребывания  процесса  в  заданной 

области 

                                      

( )

( )

∫

∫

=

=

∞

∞

0

t

l

d

P

dz

zf

τ

τ

ρ

ρ

.                               (3.21) 

Для  того  момента,  когда  значения  случайного  процесса  достигают  гра-

ницы допустимой области, функция 

( )

y

t

W

,

 является решением первого урав-

нения Колмогорова 

                                      

0

2

1

2

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

−

∂

∂

y

W

m

y

W

y

t

W

l

l

l

α

.                    (3.22) 

Заменив в этом уравнении производную 

t

W ′ на 

τ

W ′

−

 и проинтегрировав 

его по переменному y в пределах от 

l

C  до ∞ с учетом равенства (3.12), при-

ходим к дифференциальному уравнению 

                                       

2

2

2

2

1

y

P

m

y

P

y

P

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

α

τ

.                             (3.23) 

Так как, согласно определению вероятности 

( )

τ

P

, имеют место равенст-

ва 

                                      

( )

,

1

=

t

P

    

( )

0

=

∞

P

,                                        (3.24) 

то, после интегрирования этого уравнения по τ в пределах от t до ∞ в соот-
ветствии  с  равенством (3.21), приходим  к  обыкновенному  дифференциаль-
ному уравнению второго порядка относительно 

( )

y

ρ

ρ

=

 с соответствующи-

ми граничными условиями:

  

                           

( )

( )

( )

( )









=

∞

=

=

+

′

+

′′

′

.

0

,

0

1

2

1

2

l

l

l

l

l

C

y

y

y

m

ρ

ρ

ρ

α

ρ

        

,

∞

<

< y

C

l

                (3.25) 

Решая эту краевую задачу, находим 

                   

( )

∫



























∫













−

−

=

y

C

y

C

l

l

l

dy

m

y

dz

m

z

C

m

y

2

2

2

2

2

exp

exp

2

α

α

ρ

, 

                   

(

)

∫ ∫













−















∫













=

∞ ∞

−

∞

l l

l

C C

C

dzdy

z

y

m

dy

m

y

C

2

2

2

1

2

2

exp

exp

α

α

.           (3.26) 

Оценим теперь среднее число выбросов значений марковского процесса 

за данный уровень. Рассмотрим временной интервал (t, t+∆t). Поскольку его 
длина не зависит ни от τ, ни от y, то функция вероятности того, что значения 
процесса  не  опустятся  ниже  уровня  C

ℓ

,  должна  удовлетворять  уравнению 

ФПК 

         

( )

( )

( )

(

)

0

,

2

1

,

,

2

2

2

=

∂

∂

−













∂

∂

∂

∂

−

∂

∂

y

v

m

y

y

y

v

y

y

y

v

τ

τ

α

τ

τ

.                 (3.27)