|
|
|
содержание .. 23 24 25 26 ..
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* :&)#*’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
4
Нетрудно
видеть
,
что
если
прологарифмировать
(4.3),
то
мультипликативный
критерий
превра
-
щается
в
аддитивный
.
Более
предпочтительным
является
/)%+’/’**.;
%"’&$"’;
,
в
качестве
целевой
функции
которо
-
го
принимают
выходной
параметр
,
наиболее
неблагополучный
с
позиций
выполнения
условий
рабо
-
тоспособности
.
Для
оценки
степени
выполнения
условия
работоспособности
j
-
го
выходного
параме
-
тра
вводят
запас
работоспособности
этого
параметра
S
j
и
этот
запас
можно
рассматривать
как
норми
-
рованный
j
-
й
выходной
параметр
.
Например
(
здесь
и
далее
для
лаконичности
изложения
предполага
-
ется
,
что
все
выходные
параметры
приведены
к
виду
,
при
котором
условия
работоспособности
стано
-
вятся
неравенствами
в
форме
y
j
<
T
j
):
S
j
= ( T
j
- y
j
) / T
j
или
S
j
= (
T
j
- y
ном
j
) /
δ
j
,
где
y
ном
j
—
номинальное
значение
,
а
δ
j
—
некоторая
характеристика
рассеяния
j-
го
выходного
параме
-
тра
,
например
,
трехсигмовый
допуск
.
Тогда
целевая
функция
в
максиминном
критерии
есть
F
(
X
) =
min
Z
j
(
X
).
j
∈
[
1
:
m
]
Здесь
запись
[
1
:
m
]
означает
множество
целых
чисел
в
диапазоне
от
1
до
m
.
Задача
(4.
1
)
при
макси
-
минном
критерии
конкретизируется
следующим
образом
:
F
(
X
) =
max
min
Z
j
(
X
),
(4.4)
X
∈
D
x
j
∈
[
1
:
m
]
где
допустимая
область
D
x
определяется
только
прямыми
ограничениями
на
управляемые
параметры
x
i
:
x
i
min
<
x
i
<
x
i
max
.
W:5:
A+
43-+/+?:=++
,
<A.-
4
/
543<
,7
4
9
.
Содержательную
сторону
оптимизации
с
учетом
до
-
пусков
поясняет
рис
. 4.2,
на
котором
представлены
области
работоспособности
и
допусковая
в
дву
-
мерном
пространстве
управляемых
параметров
.
Если
собственно
допуски
заданы
и
не
относятся
к
управляемым
параметрам
,
то
цель
оптимизации
—
максимальным
образом
совместить
эти
области
так
,
чтобы
вероятность
выхода
за
пределы
области
работоспособ
-
ности
была
минимальной
.
Решение
этой
задачи
исключительно
трудоемко
,
так
как
на
каждом
шаге
оптимизации
нужно
выполнять
оценку
упомянутой
вероятности
методами
статистического
анализа
,
а
для
сложных
мо
-
делей
объектов
таким
методом
является
метод
статистических
ис
-
пытаний
.
Поэтому
на
практике
подобные
задачи
решают
,
принимая
те
или
иные
допущения
.
Например
,
если
допустить
,
что
цель
оптимизации
достигает
-
ся
при
совмещении
центров
областей
работоспособности
Q
и
допусковой
N
ном
,
то
оптимизация
сво
-
дится
к
6)-)1$
=$*&"’"#()*’9
,
т
.
е
.
к
определению
центра
Q
.
Задачу
центрирования
обычно
решают
путем
предварительного
нормирования
управляемых
параметров
x
i
c
последующим
вписыванием
ги
-
перкуба
с
максимально
возможными
размерами
в
нормированную
область
работоспособности
.
+-0B.
F690.
.
Нормирование
проводят
таким
образом
,
что
допусковая
область
приобретает
форму
гиперкуба
,
получающегося
после
нормирования
.
Очевидно
,
что
решение
задачи
центрирования
позволяет
не
только
оптимизировать
номиналь
-
ные
значения
проектных
параметров
,
но
и
их
допуски
,
если
последние
относятся
к
управляемым
па
-
раметрам
.
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
99
%+,
. 4.2.
Области
допусковая
и
работоспособности
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* :&)#*’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
4
4.2.
$B?48
/.-4549
43-+/+?:=++
’D:,,+H+7
:=+>
/.-
4
54
9
/
:
-./
:
-+A.
,7
4@
4
384@8://+84
9:0+>
.
В
САПР
основными
метода
-
ми
оптимизации
являются
поисковые
методы
.
Поисковые
методы
основаны
на
пошаговом
изменении
управляемых
параметров
X
k
+
1
=
X
k
+
∆
X
k
,
(4.5)
где
в
большинстве
методов
приращение
∆
X
k
вектора
управляемых
параметров
вычисляется
по
формуле
∆
X
k
=
h
g
(
X
k
).
(4.6)
Здесь
X
k
—
значение
вектора
управляемых
параметров
на
k
-
м
шаге
,
h
—
шаг
,
а
g
(
X
k
) —
направление
поиска
.
Следовательно
,.
если
выполняются
условия
сходимости
,
то
реализуется
пошаговое
(
итераци
-
онное
)
приближение
к
экстремуму
.
Методы
оптимизации
классифицируют
по
ряду
признаков
.
В
зависимости
от
числа
управляемых
параметров
различают
методы
#-*#/$"*#;
и
/*#8#/$"*#;
оптимизации
,
в
первых
из
них
управляемый
параметр
единственный
,
во
вторых
размер
вектора
X
не
менее
двух
.
Реальные
задачи
в
САПР
многомерны
,
методы
одномерной
оптимизации
играют
вспомо
-
гательную
роль
на
отдельных
этапах
многомерного
поиска
.
Различают
методы
7+4#(*#;
и
2$67+4#(*#;
оптимизации
по
наличию
или
отсутствию
ограниче
-
ний
.
Для
реальных
задач
характерно
наличие
ограничений
,
однако
методы
безусловной
оптимизации
также
представляют
интерес
,
поскольку
задачи
условной
оптимизации
с
помощью
специальных
ме
-
тодов
могут
быть
сведены
к
задачам
без
ограничений
.
В
зависимости
от
числа
экстремумов
различают
задачи
одно
-
и
многоэкстремальные
.
Если
ме
-
тод
ориентирован
на
определение
какого
-
либо
локального
экстремума
,
то
такой
метод
относится
к
4#
-
%)45*./
/$&#-)/
.
Если
же
результатом
является
глобальный
экстремум
,
то
метод
называют
/$&#-#/
84#2)45*#8#
0#’+%)
.
Удовлетворительные
по
вычислительной
эффективности
методы
глобального
по
-
иска
для
общего
случая
отсутствуют
и
потому
на
практике
в
САПР
используют
методы
поиска
локаль
-
ных
экстремумов
.
Наконец
,
в
зависимости
от
того
,
используются
при
поиске
производные
целевой
функции
по
уп
-
равляемым
параметрам
или
нет
,
различают
методы
нескольких
порядков
.
Если
производные
не
ис
-
пользуются
,
то
имеет
место
метод
*74$(#8#
0#"9-%)
,
если
используются
первые
или
вторые
производ
-
ные
,
то
соответственно
метод
0$"(#8#
или
(&#"#8#
0#"9-%)
.
Методы
первого
порядка
называют
так
-
же
градиентными
,
поскольку
вектор
первых
производных
F
(
X
)
по
N
есть
градиент
целевой
функции
grad
(
F
(
X
)) = (
∂
F
/
∂
x
1
,
∂
F
/
∂
x
2
,...
∂
F
/
∂
x
n
).
Конкретные
методы
определяются
следующими
факторами
:
1
)
способом
вычисления
направления
поиска
g
(
X
k
)
в
формуле
(4.6);
2)
способом
выбора
шага
h
;
3)
способом
определения
окончания
поиска
.
Определяющим
фактором
является
первый
из
перечисленных
в
этом
списке
,
он
подробно
опи
-
сан
ниже
.
Шаг
может
быть
или
постоянным
,
или
выбираться
исходя
из
одномерной
оптимизации
—
поис
-
ка
минимума
целевой
функции
в
выбранном
направлении
g
(
X
k
).
В
последнем
случае
шаг
будем
назы
-
вать
оптимальным
.
Окончание
поиска
обычно
осуществляют
по
правилу
:
если
на
протяжении
r
подряд
идущих
ша
-
гов
траектория
поиска
остается
в
малой
ε
-
окрестности
текущей
точки
поиска
X
k
,
то
поиск
следует
прекратить
,
следовательно
,
условие
окончания
поиска
имеет
вид
|
X
k
-
X
k-r
| <
ε
.
E
.-
4
51
4
504
/.8042
43-+/+?:=++
.
К
методам
одномерной
оптимизации
относятся
методы
ди
-
хотомического
деления
,
золотого
сечения
,
чисел
Фибоначчи
,
полиномиальной
аппроксимации
и
ряд
их
модификаций
.
Пусть
задан
отрезок
[
A,B
],
на
котором
имеется
один
минимум
(
в
общем
случае
нечетное
число
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
100
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* :&)#*’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
4
минимумов
).
Согласно
/$&#-7
-’,#&#/’
-
1$+%#8#
-$4$*’9
(
рис
. 4.3,
а
)
отрезок
делят
пополам
и
в
точках
,
отстоящих
от
центра
:
отрезка
на
величину
допустимой
погреш
-
ности
q
,
рассчитывают
значения
целевой
функции
F
(
C+q
)
и
F
(
C-q
).
Если
окажется
,
что
F
(
C+q
)
> F
(
C-q
),
то
минимум
находит
-
ся
на
отрезке
[
A,C
],
если
F
(
C+q
)
< F
(
|