|
|
|
содержание .. 21 22 23 24 ..
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* !)!@&’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
3
мышленности
.
В
развитых
машиностроительных
САПР
используют
как
2
D
,
так
и
3
D
моделирование
для
синтеза
конструкций
,
представления
траекторий
рабочих
органов
станков
при
обработке
загото
-
вок
,
генерации
сетки
конечных
элементов
при
анализе
прочности
и
т
.
п
.
В
3
D
моделировании
различают
модели
каркасные
(
проволочные
),
поверхностные
,
объемные
(
твердотельные
).
O)"%)+*)9
/#-$45
представляет
форму
детали
в
виде
конечного
множества
линий
,
лежащих
на
поверхностях
детали
.
Для
каждой
линии
известны
координаты
концевых
точек
и
указана
их
инци
-
дентность
ребрам
или
поверхностям
.
Оперировать
каркасной
моделью
на
дальнейших
операциях
маршрутов
проектирования
неудобно
,
и
поэтому
каркасные
модели
в
настоящее
время
используют
редко
.
!#($",*#+&*)9
/#-$45
отображает
форму
детали
с
помощью
задания
ограничивающих
ее
по
-
верхностей
,
например
,
в
виде
совокупности
данных
о
гранях
,
ребрах
и
вершинах
.
Особое
место
занимают
модели
деталей
с
поверхностями
сложной
формы
,
так
называемыми
+%7450&7"*./’
0#($",*#+&9/’
.
К
таким
деталям
относятся
корпуса
многих
транспортных
средств
(
например
,
судов
,
автомобилей
),
детали
,
обтекаемые
потоками
жидкостей
и
газов
(
лопатки
турбин
,
крылья
самолетов
),
и
др
.
U23$/*.$
/#-$4’
отличаются
тем
,
что
в
них
в
явной
форме
содержатся
сведения
о
принадлеж
-
ности
элементов
внутреннему
или
внешнему
по
отношению
к
детали
пространству
.
В
настоящее
время
применяют
следующие
подходы
к
построению
геометрических
моделей
.
1
.
Задание
граничных
элементов
—
граней
,
ребер
,
вершин
.
2.
O’*$/)&’1$+%’;
/$&#-
,
согласно
которому
задают
двумерный
контур
и
траекторию
его
пере
-
мещения
;
след
от
перемещения
контура
принимают
в
качестве
поверхности
детали
.
3.
!#6’=’#**.;
0#-,#-
,
в
соответствии
с
которым
рассматриваемое
пространство
разбивают
на
ячейки
(
позиции
)
и
деталь
задают
указанием
ячеек
,
принадлежащих
детали
;
очевидна
громоздкость
этого
подхода
.
4.
Представление
сложной
детали
в
виде
совокупностей
2)6#(.,
B4$/$*&#(
E#"/.
(
БЭФ
)
и
выпол
-
няемых
над
ними
теоретико
-
множественных
операций
.
К
БЭФ
относятся
заранее
разработанные
модели
простых
тел
,
это
,
в
первую
очередь
,
модели
параллелепипеда
,
цилиндра
,
сферы
,
призмы
.
Типичными
те
-
оретико
-
множественными
операциями
являются
объединение
,
пересечение
,
разность
.
Например
,
модель
плиты
с
отверстием
в
ней
может
быть
получена
вычитанием
цилиндра
из
параллелепипеда
.
Метод
на
основе
БЭФ
часто
называют
/$&#-#/
%#*+&"7%&’(*#;
8$#/$&"’’
.
Это
основной
спо
-
соб
конструирования
сборочных
узлов
в
современных
САПР
-
К
.
В
памяти
ЭВМ
рассмотренные
модели
обычно
хранятся
в
векторной
форме
,
т
.
е
.
в
виде
коорди
-
нат
совокупности
точек
,
задающих
элементы
модели
.
Выполнение
операций
конструирования
также
выполняется
над
моделями
в
векторной
форме
.
Наиболее
компактна
модель
в
виде
совокупности
свя
-
занных
БЭФ
,
которая
преимущественно
и
используется
для
хранения
и
обработки
информации
об
из
-
делиях
в
системах
конструктивной
геометрии
.
Однако
для
визуализации
в
современных
рабочих
станциях
в
связи
с
использованием
в
них
рас
-
тровых
дисплеев
необходима
")+&$"’6)=’9
—
преобразование
модели
в
растровую
форму
.
Обратную
операцию
перехода
к
векторной
форме
,
которая
характеризуется
меньшими
затратами
памяти
,
назы
-
вают
($%&#"’6)=’$;
.
В
частности
,
векторизация
должна
выполняться
по
отношению
к
данным
,
полу
-
чаемым
сканированием
изображений
в
устройствах
автоматического
ввода
.
K
.4
/.-
8+A.
,7+.
/
4
5.D+
.
Важной
составной
частью
геометрических
моделей
является
описа
-
ние
поверхностей
.
Если
поверхности
детали
—
плоские
грани
,
то
модель
может
быть
выражена
до
-
статочно
просто
определенной
информацией
о
гранях
,
ребрах
,
вершинах
детали
.
При
этом
обычно
ис
-
пользуется
метод
конструктивной
геометрии
.
Представление
с
помощью
плоских
граней
имеет
место
и
в
случае
более
сложных
поверхностей
,
если
эти
поверхности
аппроксимировать
множествами
пло
-
ских
участков
—
полигональными
сетками
.
Тогда
можно
поверхностную
модель
задать
одной
из
сле
-
дующих
форм
:
1
)
модель
есть
список
граней
,
каждая
грань
представлена
упорядоченным
списком
вершин
(
цик
-
лом
вершин
);
эта
форма
характеризуется
значительной
избыточностью
,
так
как
каждая
вершина
по
-
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
91
%
!#*%!#&
F
*:,$* $I*:+*
F
*)&* !)!@&’! +($*,#)KH (*L*)&M
5
@!"!
3
вторяется
в
нескольких
списках
.
2)
модель
есть
список
ребер
,
для
каждого
ребра
заданы
инцидентные
вершины
и
грани
.
Однако
аппроксимация
полигональными
сетками
при
больших
размерах
ячеек
сетки
дает
замет
-
ные
искажения
формы
,
а
при
малых
размерах
ячеек
оказывается
неэффективной
по
вычислительным
затратам
.
Поэтому
более
популярны
описания
неплоских
поверхностей
кубическими
уравнениями
в
форме
Безье
или
I
-
сплайнов
.
Знакомство
с
этими
формами
удобно
выполнить
,
показав
их
применение
для
описания
геомет
-
рических
объектов
первого
уровня
—
пространственных
кривых
.
+-0B.
F690.
.
Геометрическими
объектами
нулевого
,
первого
и
второго
уровней
называют
соответственно
точ
-
ки
,
кривые
,
поверхности
.
В
подсистемах
МГиГМ
используются
параметрически
задаваемые
кубические
кривые
x(t) = a
x
t
3
+ b
x
t
2
+ c
x
t + d
x
,
y(t) = a
y
t
3
+ b
y
t
2
+ c
y
t + d
y
,
(3.48)
z(t) = a
z
t
3
+ b
z
t
2
+ c
z
t + d
z
,
где
1
і
t
і
0.
Такими
кривыми
описывают
сегменты
аппроксимируемой
кривой
,
т
.
е
.
аппроксимируемую
кривую
разбивают
на
сегменты
и
каждый
сегмент
аппроксимируют
уравнениями
(3.48).
Применение
кубических
кривых
обеспечивает
(
соответствующим
выбором
четырех
коэффици
-
ентов
в
каждом
из
трех
уравнений
)
выполнение
четырех
условий
сопряжения
сегментов
.
В
случае
кривых
Безье
этими
условиями
являются
прохождение
кривой
сегмента
через
две
заданные
концевые
точки
и
равенство
в
этих
точках
касательных
векторов
соседних
сегментов
.
В
случае
I
-
сплайнов
вы
-
полняются
условия
непрерывности
касательного
вектора
и
кривизны
(
т
.
е
.
первой
и
второй
производ
-
ных
)
в
двух
концевых
точках
,
что
обеспечивает
высокую
степень
“
гладкости
”
кривой
,
хотя
прохожде
-
ние
аппроксимирующей
кривой
через
заданные
точки
здесь
не
обеспечивается
.
Применение
полино
-
мов
выше
третьей
степени
не
рекомендуется
,
так
как
велика
вероятность
появления
“
волнистости
”.
В
случае
формы
Безье
коэффициенты
в
(3.48)
определяются
,
во
-
первых
,
подстановкой
в
(3.48)
значений
t
=0
и
t
=
1
и
координат
заданных
концевых
точек
P
1
и
%
4
соответственно
,
во
-
вторых
,
подста
-
новкой
в
выражения
производных
dx/dt =
3
a
x
t
2
+
2
b
x
+ c
x
,
dy/dt =
3
a
y
t
2
+
2
b
y
t + c
y
,
dz/dt =
3
a
z
t
2
+
2
b
z
t + c
z
,
тех
же
значений
t
=0
и
t
=
1
и
координат
точек
%
2
и
%
3
,
задающих
направления
касательных
векторов
(
рис
. 3.27).
В
результате
для
формы
Безье
получаем
x
(
t
) =
T
Т
MG
x
,
y
(
t
) =
T
Т
MG
y
,
(3.49)
z
(
t
) =
T
Т
MG
z
,
где
T
Т
= (
t
3
, t
2
, t,
1
) —
вектор
-
строка
,
матрица
M
представлена
в
табл
. 3.
11
,
G
x
—
вектор
координат
S
,
i
точек
P
1
,
%
2
,
%
3
и
%
4
,
аналогично
G
y
,
G
z —
векторы
координат
S
yi
,
S
zi
тех
же
точек
.
В
случае
I
-
сплайнов
аппроксимируемая
кривая
делится
на
n
участков
,
выделяемых
последовательными
точками
P
0
,
P
1
,
P
2
,…
P
n
.
Участок
между
па
-
рой
соседних
точек
P
i
и
P
i+
1
аппроксимируется
I
-
сплайном
,
постро
-
енным
с
использованием
четырех
точек
P
i
-
1
,
P
i
,
P
i
+
1
,
P
i+
2
.
I
-
сплайн
на
участке
[
P
i
,
P
i+
1
]
может
быть
представлен
выражениями
,
аналогич
-
ными
(3.49),
x
(
t
) =
T
Т
MG
x
,
y
(
t
) =
T
Т
MG
y
,
z
(
t
) =
T
Т
MG
z
,
&
.
+
.
)
"#$%!#&’&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
92
%+,
. 3.27.
Кривая
Безье
-
1
3
-3
1
3
-6
3
0
-3
3
0
0
1
0
0
0
-
1
/6
1
/2
-
1
/2
1
/6
1
/2
-
1
1
/2
0
-
1
/2
0
1
/2
0
1
/6
2/3
1
/6
0
M:BD+=:
3.
))
M:BD+=:
3.
)
2
|